Можно ли построить логику с помощью школьной математики?

[BorisK]

epros в сообщении #1693439 писал(а):

BorisK, правильно ли я понял, что Вы собираетесь положительно ответить на вопрос, вынесенный в заголовок темы?

Вы уже не первый раз задаете мне трудные вопросы. Спасибо.
Нет не собираюсь. Но, думаю, что не только я интересуюсь тем, какую часть логики можно построить с помощью школьной математики, и что можно добавить в школьную математику для решения этой проблемы. Может быть, некоторые новые свойства ДП, с помощью которых можно, допустим, решать логические задачи на перебор возможных вариантов? Могу привести пример такой задачи. «Вадим, Сергей и Михаил изучают разные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?».
Ее можно решить и с помощью исчисления высказываний, но с помощью свойств ДП, как мне кажется, проще.

Цитата:

В таком случае объясните пожалуйста, как Вы будете доказывать "с помощью школьной математики" или этой самой алгебры множеств вот такую важную для логики тавтологию:
$\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\varphi) \to (\forall x~\psi)\bigr)$?

Вот тут Вы попали в точку! АК сравнительно молодая система и многие проблемы там пока что не решены. Во всех АК-объектах присутствуют множества (из множеств составлены ячейки матрицеподобных структур). В АК сейчас можно анализировать структуры, у которых эти множества можно перечислить или, если нельзя, то хотя бы можно знать свойства множеств, получаемых в результате применения операций, или знать, включено ли одно множество в другое. Например, даны бесконечные мн-ва целых чисел, одно из них $S_4$ содержит все числа, кратные 4, а другое $S_6$ - все числа, кратные 6. Тогда мы точно знаем, что в результате операции $S_4 \cap S_6$ будет получено бесконечное мн-во целых чисел, кратных 12. Также нетрудно доказать, что множество чисел, кратных 6, строго включено в множество чисел, кратных 3.
Задачи и формулы, у которых этого свойства (не знаю, как его назвать) у множеств нет, на данном этапе только начали исследоваться. Например, в терминах АК сформулирована и решена задача про пациентов, докторов и знахарей (ее можно найти в Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука, 1983, стр. 48 и 92, где она решается двумя методами – с использованием интерпретации и методом резолюций). Но общего метода такого «перевода» формул исчисления предикатов в АК пока что нет. Ваш вопрос, возможно, поможет выбрать более точное направление поиска.

epros в сообщении #1693467 писал(а):

Силлогистика - устаревший подход к изложению логики, который сейчас для математической логики представляет чисто исторический интерес.

Позволю себе не согласиться с Вами. Силлогистика по структуре суждений намного ближе к естественному языку, чем математическая логика. Например, фразу «Онегин добрый мой приятель родился на брегах Невы» можно выразить как конъюнкцию двух Аристотелевых суждений. И несмотря на примитивность силлогистики, она пригодна для моделирования многих естественных рассуждений. Сейчас готовится к изданию книга (не моя), в которой автор с помощью программы, в которой используется математическая модель полисиллогистики, выполняет логический анализ одного важного юридического документа, содержащего несколько страниц текста. Плохо то, что методика анализа силлогизмов со времен Аристотеля и его ученика Теофраста почти не изменилась и нуждается в модернизации с использованием математических методов, разработанных в наше время (в XIX и XX веках).

пианист в сообщении #1693454 писал(а):

Мендельсон говорит, вроде бы, только что интуитивная теория множеств противоречива (почему и потребовалась матлогика). Разве он где-то называет NBG, которую излагает, "шаткой основой"?

Привожу точную цитату из Мендельсона (cтр. 65 русского издания 1971 г. и стр. 66 Sixth edition (2015 г.) – сноска со знаком *):
«Поскольку семантические понятия носят теоретико-множественный характер, а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований в области математической логики, то многие логики считают более надѐжным синтаксический подход, состоящий в изучении формальных аксиоматических теорий с применением лишь довольно слабых арифметических методов».
Речь идет о теории множеств вообще.

Mihr в сообщении #1693456 писал(а):

Ну, то есть, Вы делаете попытку запрячь в одну повозку коня и трепетную лань. Вы можете, конечно, пытаться это сделать. Но вряд ли это кончится чем-нибудь реально интересным.

Для Вас, может быть, и неинтересно. Хотел бы только добавить, что в одной повозке они потому для них предлагаются хотя и разные математические модели, но они, связаны тем, что основаны на законах алгебры множеств. А силлогистика, как я уже говорил выше, по структуре значительно ближе к естественному языку, чем математическая логика.

Цитата:

Если же речь о противоречивости теории Цермело - Френкеля, то приведите, пожалуйста, точную цитату из Мендельсона, где он говорит об этом.

В ответе выше я приводил точную цитату в русском издании, для Вас привожу на английском:
Since semantical notions are set-theoretic in character, and since set theory, because of the paradoxes, is considered a rather shaky foundation for the study of mathematical logic, many logicians consider a syntactical approach, consisting of a study of formal axiomatic theories using only rather weak number-theoretic methods, to be much safer.

Цитата:

Но обойтись без аксиом де-факто - не получится. А если что-то и получится, то получившееся просто не будет иметь отношения к математике.

Речь идет о чрезмерно формализованном подходе к математике, против которого имеется высказывание в книге Куранта и Роббинса. Это высказывание приведено в моем первом сообщении. Определения основных понятий математической теории (например, «элемент», «множество»), а также операций и отношений (например, «принадлежность» «включение») можно, по-видимому, принять как аксиомы. А дальше можно определить правила и переходить к обоснованию законов. По возможности более содержательно и просто, чем это сделано в аксиоматической теории множеств.

Anton_Peplov в сообщении #1693491 писал(а):

Вот, например, фраза:

Цитата:

С точки зрения потенциальной бесконечности натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, … – это конечный ряд

Я правильно понимаю, что "с точки зрения потенциальной бесконечности" Вы можете назвать самое большое натуральное число?

Да, Вы правильно понимаете, когда вырываете мое высказывание из контекста. Дальше идут такие слова

Цитата:

, о котором известно только, что он не имеет предела.

Эти слова подтверждают неправильность Вашего «понимания».

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Эти слова подтверждают неправильность Вашего «понимания»

Я вынужден повторить вопрос: существует ли самое большое натуральное число? Если нет, то согласно какому определению конечного множества Вы называете натуральный ряд конечным? Приведите это определение. Точное математическое определение, без тумана.

Согласно правилам форума, в дискуссионном разделе Вы обязаны отвечать на вопросы заслуженных участников. Не люблю пользоваться этим пунктом правил, но раз уж топикстартер начал уклоняться от ответов, то приходится.

[пианист]

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Речь идет о теории множеств вообще.

Да, Вы победили. Снимаю шляпу. Увы мне!
Поскольку мистер Мендельсон не добавил никаких определений, речь, несомненно, идет о том, что любые теории множеств противоречивы. Контекст, разумеется, принимать во внимание незачем, равно как и задаваться вопросом, а зачем же автор тогда целую главу посвятил этой шаткой основе.
С позором удаляюсь.

[Mihr]

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Привожу точную цитату из Мендельсона (cтр. 65 русского издания 1971 г. и стр. 66 Sixth edition (2015 г.) – сноска со знаком *)

Странно, что добравшись до 65-й страницы "Введения в математическую логику" Мендельсона, Вы не заметили, что уже с 36-й страницы автор решительно переходит к аксиоматическому построению матлогики и далее к таблицам истинности уже не возвращается. То есть, аксиоматический подход для Мендельсона - не только основной, но и, по сути, единственно возможный для сколько-нибудь серьёзного изложения предмета (против такого подхода Вы как раз и возражаете, если я правильно понял). Это во-первых.
Во-вторых, по поводу так понравившейся Вам цитаты:

BorisK, цитируя Мендельсона, в сообщении #1693520 писал(а):

а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований в области математической логики

Вы читали в учебнике Мендельсона всё то, что есть там до этой фразы? В частности, каково определение множества у Мендельсона?
Я лично определения множества там не видел. Вообще. Есть лишь простейшее пояснение в духе наивной теории множеств Кантора: "Множество есть собрание объектов" (стр. 11). Это всё! Если где-то всё-таки я пропустил математически корректное определение множества у Мендельсона до страницы 65, то не сочтите за труд, ткните меня носом в это место, и я принесу Вам самые искренние извинения за свою невнимательность. Если же такого определения в данном диапазоне страниц всё же нет, то давайте признаем, что Мендельсон говорит лишь о противоречивости вот этого самого простейшего "определения" из наивной теории множеств. С чем, вроде бы, здесь никто и не спорит.

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Силлогистика по структуре суждений намного ближе к естественному языку, чем математическая логика.

Странный аргумент. Поэзия, скажем, ещё ближе. Но ведь поэзия - не математика. Силлогистика (да и вся логика Аристотеля) - тоже.

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Для Вас, может быть, и неинтересно.

Наверно, не только для меня. На этом форуме тысячи активных участников. Кто-нибудь поддержал Ваше творчество, заинтересовался им? Некоторые участники форума лишь указали Вам на ошибки или недочёты, а большинство просто прошло мимо, не сочтя нужным вообще что-то отвечать. Выводы делайте сами.

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Хотел бы только добавить, что в одной повозке они потому для них предлагаются хотя и разные математические модели, но они, связаны тем, что основаны на законах алгебры множеств.

Ну, тогда давайте рассматривать вместе арифметику и матанализ, поскольку и там и там встречаются числа.

[epros]

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Ее можно решить и с помощью исчисления высказываний, но с помощью свойств ДП, как мне кажется, проще.

Проще всего эту школьную задачу решить с помощью булевой алгебры. Кстати, вот это:

BorisK в сообщении #1693415 писал(а):

Но все равно я считаю, что булева алгебра в широком смысле «беднее» алгебры множеств, в которой «атомы» (т.е. множества) могут иметь бесконечное число значений, а не 2, как в булевой алгебре.

- неверно:

Википедия в статье Булева алгебра писал(а):

Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций $\lor:= \cup$ (объединение), $\land:= \cap$ (пересечение) и унарной операции дополнения.

Та булева алгебра, которая имеет только 2 элемента, это минимальная булева алгебра.

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

Но общего метода такого «перевода» формул исчисления предикатов в АК пока что нет. Ваш вопрос, возможно, поможет выбрать более точное направление поиска.

Я задал этот вопрос не ради перевода формул исчисления предикатов в какую-то АК, а чтобы понять, как Вы собираетесь излагать современную логику. Булеву алгебру, например, привлекать для объяснения того, откуда взялась тавтология $\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\varphi) \to (\forall x~\psi)\bigr)$, довольно странно, ибо с точки зрения булевой алгебры выражения, стоящие слева и справа от внешней импликации, примерно об одном и том же: о том, что $\varphi$ является подмножеством $\psi$. Т.е. булева алгебра изначально построена таким образом, что не различает эти формулы. Но формулы-то разные, и доказательство этой импликации в логике довольно нетривиально, во всяком случае, оно использует довольно нетривиальные элементы аксиоматики.

И это я ещё взял один из простейших случаев. Если вспомнить любимую Вами силлогистику, то первый же категорический силлогизм Barbara в синтаксисе логики первого порядка формализуется вот так:
$\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\xi \to \varphi) \to (\forall x~\xi \to \psi)\bigr)$.
Как видите, уже чуть посложнее. И при доказательстве этой тавтологии (а это тоже тавтология) нам придётся привлекать те же нетривиальные элементы аксиоматики.

BorisK в сообщении #1693520 писал(а):

epros в сообщении #1693467 писал(а):

Силлогистика - устаревший подход к изложению логики, который сейчас для математической логики представляет чисто исторический интерес.

Позволю себе не согласиться с Вами. Силлогистика по структуре суждений намного ближе к естественному языку, чем математическая логика. Например, фразу «Онегин добрый мой приятель родился на брегах Невы» можно выразить как конъюнкцию двух Аристотелевых суждений. И несмотря на примитивность силлогистики, она пригодна для моделирования многих естественных рассуждений. Сейчас готовится к изданию книга (не моя), в которой автор с помощью программы, в которой используется математическая модель полисиллогистики, выполняет логический анализ одного важного юридического документа, содержащего несколько страниц текста. Плохо то, что методика анализа силлогизмов со времен Аристотеля и его ученика Теофраста почти не изменилась и нуждается в модернизации с использованием математических методов, разработанных в наше время (в XIX и XX веках).

Вы имеете право на своё мнение, а я Вам изложу своё: Если Вы хотите, чтобы Вас услышали математики, то будьте добры пользоваться языком математической логики, а не силлогистики. Вместо архаичного термина "полисиллогизм" нормальные современные логики используют термины "доказательство" или "формальный вывод". Вот о чём речь:

Википедия в статье Математическое доказательство от писал(а):

Формальным выводом называется конечное упорядоченное множество строк, написанных на формальном языке, таких, что каждая из них либо является аксиомой, либо получена из предыдущих строк применением одного из правил вывода.

Исследованию этого понятия посвящён большой раздел серьёзной математики, именуемый теорией доказательств. Если Вы продемонстрируете глубокое понимание современного состояния дел в этой области математики, да ещё и ухитритесь предложить что-то действительно новое, то математики несомненно будут с интересом Вас слушать.

Если же Вам почему-то интересна именно силлогистика, то Вы просто предлагаете свою статью вниманию не той аудитории. Для тех юристов и бухгалтеров, которым в институте преподавали "логику" те люди, которые уверены, что вся логика изложена в фундаментальном труде Боэция De syllogismo categorico, написанном на рубеже 5 и 6 веков (увы, есть в нашем преподавании такая прискорбная практика), может быть и будут открытием указанные Вами в статье вещи: что, оказывается, порядок посылок не должен иметь значения, или что, оказывается, считающиеся правильными некоторые из силлогизмов неверны без уточнения, что множество рассматриваемых объектов не пусто. Математики же давно об этом знают, все эти фигуры и модусы силлогизмов им неинтересны, а предложения построить модель полисиллогистики звучат для них странно, потому что им хорошо известно, что современной моделью для неё и является логика первого порядка.

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1693491 писал(а):

Просто исследования по логике логично публиковать в журналах, специализирующихся на логике, чтобы редакторы и рецензенты были специалистами по логике А если Вы их публикуете в "Автоматике и телемеханике", это выглядит странно. Как будто специалистам-логикам Вы свои труды предъявить не рискуете.

Вообще-то научное творчество не всегда логично. Об этом и математик Адамар высказался (книга «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»). А то, что я не публиковался в сугубо математических журналах, так уж получилось. Хотя ведь все-таки мне присвоили за что-то степень д.ф.-м.н. А специализировался я не только на системном анализе, но также и на структурах данных и алгоритмах. И так получилось, что для них нашлось применение в логике. Кстати, кандидатская называлась «Методы уменьшения трудоемкости решения сложных интеллектуальных задач на основе алгебры кортежей»

Anton_Peplov в сообщении #1693522 писал(а):

Я вынужден повторить вопрос: существует ли самое большое натуральное число? Если нет, то согласно какому определению конечного множества Вы называете натуральный ряд конечным? Приведите это определение. Точное математическое определение, без тумана.

Согласен, определение дано мной в статье не корректно. А как Вы смотрите на такое определение:
Потенциальная бесконечность – это последовательность, в которой для любого числа $R$ может быть определено (вычислено) число, большее (меньшее) по (абсолютной) величине, чем $R$?
Не знаю, откуда это определение. Может быть, просто память не подсказала источник.
Обратите внимание, что если $R$ – мера интервала, то с точки зрения этого определения в потенциальной бесконечности довести интервал до точки невозможно. Об этом и так известно, но здесь это непосредственно следует из определения. И для натурального ряда здесь местечко найдется.

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1693592 писал(а):

Согласен, определение дано мной в статье не корректно.

Ну хорошо хоть это признали. Качество рецензирования в журнале видно невооруженным глазом: в эту ошибку должны были ткнуть и редактор, и рецензент. То, что в журнал приняли явно непрофильную статью, тоже говорит о нем не очень хорошо. Впрочем, им, небось, и рак рыба. Надо же чем-то номера заполнять.

BorisK в сообщении #1693592 писал(а):

А как Вы смотрите на такое определение

Как на попытку изобретения велосипеда с квадратными колесами. Есть определение бесконечного множества: для любого натурального числа $N$ в бесконечном множестве найдется $N$ элементов. Не вижу смысла в попытке его переопределить, а также в обдувании пыли с "потенциальных" и "актуальных" бесконечностей, закинутых в подвал век назад, и в целом в попытке что-то переопределять в теории множеств без владения ее современным аппаратом.

[epros]

BorisK в сообщении #1693592 писал(а):

А как Вы смотрите на такое определение:
Потенциальная бесконечность – это последовательность, в которой для любого числа $R$ может быть определено (вычислено) число, большее (меньшее) по (абсолютной) величине, чем $R$?
Не знаю, откуда это определение. Может быть, просто память не подсказала источник.
Обратите внимание, что если $R$ – мера интервала, то с точки зрения этого определения в потенциальной бесконечности довести интервал до точки невозможно. Об этом и так известно, но здесь это непосредственно следует из определения. И для натурального ряда здесь местечко найдется.

Я не понял этого определения. В частности, непонятно, какое отношение имеет число $R$ к последовательности. Возможно, что Вы хотели привести определение предела последовательности:

Википедия в статье Предел последовательности писал(а):

Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall \text{ } \varepsilon > 0 \text{ } \exists N: \text{ } \forall \text{ } n, n > N \text{ } \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon$,

где $d(x,y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x_n$.

Это не имеет отношения ни к каким бесконечностям. Предел (при наличии формулы) может быть подсчитан с любой точностью за конечное количество шагов. Бесконечности возникают, например, в форме отдельной аксиомы в теории множеств Цемерло-Френкеля.

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1693596 писал(а):

Есть определение бесконечного множества: для любого натурального числа $N$ в бесконечном множестве найдется $N$ элементов. Не вижу смысла в попытке его переопределить, а также в обдувании пыли с "потенциальных" и "актуальных" бесконечностей, закинутых в подвал век назад, и в целом в попытке заниматься теорией множеств без владения ее современным аппаратом.

А мне почему-то трудно увидеть смысл в данном Вами определении бесконечного множества. Может быть, потому, что уважение к потенциальной бесконечности мешает. А «пыль сдувать» не возбраняется. В истории науки часто в «пыли» находится что-то весьма ценное и незаслуженно забытое.

epros в сообщении #1693580 писал(а):

Булеву алгебру, например, привлекать для объяснения того, откуда взялась тавтология $\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\varphi) \to (\forall x~\psi)\bigr)$, довольно странно, ибо с точки зрения булевой алгебры выражения, стоящие слева и справа от внешней импликации, примерно об одном и том же: о том, что $\varphi$ является подмножеством $\psi$.

Я не стал анализировать эту формулу, потому что решил, что она подразумевает вариант, когда формула $\psi$ не общезначима и содержит свободную переменную $x$ и другие свободные переменные. Тогда для этой Вашей формулы можно найти интерпретацию, при которой она не является тавтологией. Это случай, когда $\psi \to \forall x~\psi$ не общезначима и даже может быть противоречием. Объясняется это так. Формула $\forall x~\psi \to \psi$ общезначима, так как соответствует одной из аксиом исчисления предикатов. Однако для случая, когда не общезначимая $\psi$ содержит свободную переменную $x$ и другие свободные переменные, формула $\forall x~\psi$ может содержать строгое подмножество выполняющих подстановок формулы $\psi$, из чего следует не общезначимость формулы $\psi \to \forall x~\psi$. Это случай, когда правило обобщения нельзя применить в ситуациях, когда не выполняется теорема дедукции (ведь она же, как известно, полностью работает только в исчислении высказываний).
Для этого случая можно найти соответствующую интерпретацию. Но из-за сильной занятости я решил отложить эту задачу на потом, а Вам ответил, что многие соотношения и задачи в исчислении предикатов на данном этапе исследований пока что не выражены в формулах АК, что соответствует действительности.

Цитата:

Barbara в синтаксисе логики первого порядка формализуется вот так:
$\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\xi \to \varphi) \to (\forall x~\xi \to \psi)\bigr)$.
Как видите, уже чуть посложнее. И при доказательстве этой тавтологии (а это тоже тавтология) нам придётся привлекать те же нетривиальные элементы аксиоматики

Не понимаю, зачем для анализа силлогизмов нужны «нетривиальные элементы аксиоматики» исчисления предикатов, когда все можно решить значительно проще с помощью соответствующей интерпретации. Для этого достаточно термины силлогистики интерпретировать как множества или их дополнения, а связку «есть» интерпретировать как отношение $\subseteq$ (квантор $\forall$ в общих суждениях присутствует неявно). Тогда легко решаются не только силлогизмы, но и полисиллогизмы. Упрощение происходит также и потому, что используется граф включений. Кстати, для него есть достойный аналог в математической логике - для доказательства полиномиальности алгоритма решения задачи 2-выполнимость (2-SAT) М.Р.Кром применил граф импликаций (Krom, Melven R. (1967), "The Decision Problem for a Class of First-Order Formulas in Which all Disjunctions are Binary", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 13 (1–2): 15–20).

Я решил сильно ограничить свое участие в форуме. Во-первых, и самое главное – нет времени на это. На многие ваши замечания мне не удается быстро ответить.
Во вторых, когда меня раскрыли, и я, имярек, публично получаю оплеухи неизвестно, от кого, и иногда непонятно, за что, то удовольствия от этого мало. Ошибаться могут все, но я не понимаю, зачем при анализе ошибок высказывать унизительные комментарии?
Прошу прощения у тех собеседников, которым я не ответил на замечания и вопросы.
Если кто-то захочет пообщаться со мной, то мой e-mail можно найти в публикациях. Если собираетесь ругать, то, по крайней мере, я буду знать, кому я так насолил. И даже спасибо скажу за критику.
Я все же буду следить за форумом. И если будут интересные вопросы, то я с разрешения Модератора постараюсь ответить.
Спасибо всем за интерес к теме, вопросы и комментарии!

[пианист]

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

получаю оплеухи неизвестно, от кого

Это в мой адрес, видимо. Прошу прощения за излишне эмоциональную реакцию, не имел намерения никого унизить, просто не люблю, когда пользуются некорректными приемами дискуссии.

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

А мне почему-то трудно увидеть смысл в данном Вами определении бесконечного множества.

Это определение из учебника для первого курса. Его дал не я. Если у Вас не получается найти в нем смысл, то это точно не проблема теории множеств.

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Ошибаться могут все, но я не понимаю, зачем при анализе ошибок высказывать унизительные комментарии?

Ошибаясь в материале для первого курса, нужно либо идти читать учебники, либо просто не трогать эту тему. А не ваять "научные" статьи в те журналы, которые согласны такие статьи публиковать.

[epros]

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1693596 писал(а):

Есть определение бесконечного множества: для любого натурального числа $N$ в бесконечном множестве найдется $N$ элементов.

А мне почему-то трудно увидеть смысл в данном Вами определении бесконечного множества.

Кстати, это странно. Anton_Peplov всего лишь сказал (немного другими словами), что бесконечным является такое множество, для нумерации элементов которого не хватит натуральных чисел меньших любого заданного натурального числа. Разве в этом определении есть что-то неожиданное?

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

epros в сообщении #1693580 писал(а):

Булеву алгебру, например, привлекать для объяснения того, откуда взялась тавтология $\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\varphi) \to (\forall x~\psi)\bigr)$, довольно странно, ибо с точки зрения булевой алгебры выражения, стоящие слева и справа от внешней импликации, примерно об одном и том же: о том, что $\varphi$ является подмножеством $\psi$.

Я не стал анализировать эту формулу, потому что решил, что она подразумевает вариант, когда формула $\psi$ не общезначима и содержит свободную переменную $x$ и другие свободные переменные.

Нет, тут никаких неявных подразумеваний не закладывалось. Это просто строка, в которой вместо $\varphi$ и $\psi$ подставляются любые формулы, с любыми свободными переменными или без таковых, включая $x$, которая может быть или не быть свободной в этих формулах.

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Тогда для этой Вашей формулы можно найти интерпретацию, при которой она не является тавтологией.

Нет, это доказуемо тавтология.

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Это случай, когда $\psi \to \forall x~\psi$ не общезначима и даже может быть противоречием. Объясняется это так. Формула $\forall x~\psi \to \psi$ общезначима, так как соответствует одной из аксиом исчисления предикатов. Однако для случая, когда не общезначимая $\psi$ содержит свободную переменную $x$ и другие свободные переменные, формула $\forall x~\psi$ может содержать строгое подмножество выполняющих подстановок формулы $\psi$, из чего следует не общезначимость формулы $\psi \to \forall x~\psi$. Это случай, когда правило обобщения нельзя применить в ситуациях, когда не выполняется теорема дедукции (ведь она же, как известно, полностью работает только в исчислении высказываний).

А Вы в правильном направлении копаете. Да, та нетривиальность, о которой я говорил, заключается в применении правила обобщения, без чего доказать эту тавтологию не получится. И да, фокус в том, что $\psi \to \forall x~\psi$ - не тавтология.

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Цитата:

Barbara в синтаксисе логики первого порядка формализуется вот так:
$\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\xi \to \varphi) \to (\forall x~\xi \to \psi)\bigr)$.
Как видите, уже чуть посложнее. И при доказательстве этой тавтологии (а это тоже тавтология) нам придётся привлекать те же нетривиальные элементы аксиоматики

Не понимаю, зачем для анализа силлогизмов нужны «нетривиальные элементы аксиоматики» исчисления предикатов, когда все можно решить значительно проще с помощью соответствующей интерпретации.

Так я затем и задал вопрос, чтобы понимание родилось. Силлогизмы-то примитивны как пробка и для их интерпретации может быть и не нужно ничего, кроме булевой алгебры. Но вот Вы попробуйте обосновать ту тавтологию, которую я Вам назвал первой. Булева алгебра и теория множеств тут не будут особо полезны, ибо они уже построены на знании о том, что это - тавтология. А как только рождается понимание того, откуда в логике первого порядка берутся доказательства таких формул, так Вы по той же схеме легко докажете все формулы, соответствующие силлогизмам.

Я же сказал, что логика первого порядка - и есть та современная модель, которая прекрасно обосновывает все силлогизмы. При этом сама она не нуждается в обосновании силлогизмами - у неё своя аксиоматика.

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Тогда легко решаются не только силлогизмы, но и полисиллогизмы.

Как я уже сказал, полисиллогизм - это то же самое доказательство (формальный вывод), т.е. конечная последовательность формируемых по определённым правилам утверждений. Если быть точнее, то он - очень примитивный вариант доказательства. Логика первого порядка нормально работает и с гораздо более сложными схемами доказательств.

BorisK в сообщении #1693712 писал(а):

Я решил сильно ограничить свое участие в форуме. Во-первых, и самое главное – нет времени на это. На многие ваши замечания мне не удается быстро ответить.
Во вторых, когда меня раскрыли, и я, имярек, публично получаю оплеухи неизвестно, от кого, и иногда непонятно, за что, то удовольствия от этого мало. Ошибаться могут все, но я не понимаю, зачем при анализе ошибок высказывать унизительные комментарии?

Зря, по-моему, Вы так реагируете. Некоторые участники, конечно, могут быть излишне резкими (надеюсь, что про "оплеухи" - это не обо мне?). Можно понять реакцию на статью, которая предлагает математическую модель того, что математиками давно промоделировано, и при этом содержит странные философские формулировки типа конечности натурального ряда "с точки зрения потенциальной бесконечности" (которая математическим понятием не является). Но лично я, например, пока нахожу, что с Вами вполне можно нормально общаться, Вы вполне разумно реагируете на вопросы, ну а наличие собственной точки зрения - не криминал.

[BorisK]

epros в сообщении #1693727 писал(а):

А Вы в правильном направлении копаете. Да, та нетривиальность, о которой я говорил, заключается в применении правила обобщения, без чего доказать эту тавтологию не получится. И да, фокус в том, что $\psi \to \forall x~\psi$ - не тавтология.

Ёжкин кот! Как же я не допёр, что к Вашей формуле можно применить правило Бернайса! Ну. что еще можно взять с такого динозавра, как я!
А опровергающую интерпретацию я придумал. До обеда представлю на суд общественности.

[BorisK]

Если кому это интересно, то прошу прощения, раньше 15-00 вряд ли смогу выполнить обещанное.

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1693722 писал(а):

Это определение из учебника для первого курса.

К сожалению, в последнее время я не читал учебников. Чаще, видите ли, классику почитываю. Буду Вам весьма признателен, если Вы назовете учебник, который процитировали. Может быть, я найду там другие непонятные для меня определения и пойму, наконец-то, почему я их не понимаю.

epros в сообщении #1693439 писал(а):

В таком случае объясните пожалуйста, как Вы будете доказывать "с помощью школьной математики" или этой самой алгебры множеств вот такую важную для логики тавтологию:
$\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\varphi) \to (\forall x~\psi)\bigr)$?

По сути, для доказательства этой тавтологии использовано правило Бернайса, которое можно считать равносильным правилу обобщения в такой формулировке: $\frac {\psi}{\forall x~\psi }$. Я сначала хотел бы ограничиться опровергающей интерпретацией (ОИ) для формулы $\psi \to \forall x~\psi$. Тем самым в силу равносильности этих правил будет доказано, что ОИ можно сформировать и для Вашей формулы (ВФ). Если Вы скажете, что этого недостаточно, то мне придется в следующий раз привести ОИ для ВФ.
Для выражения интерпретаций логических формул проще и наглядней использовать понятия АК. Поэтому для начала будет небольшая вводная часть.
Для данного случая можно, не нарушая общности, ограничиться логическими формулами с двумя переменными и соответственно бинарными отношениями для ОИ. Для интерпретации формул в нашем примере достаточно использовать только 2 типа АК-объектов: $C$-кортежи и $C$-системы, которые заданы в универсуме (т.е. в области истинности)
$X \times Y = \{a,b,c\} \times \{a,b,c\}$
Можно было бы задать множества с двумя элементами, но я опасаюсь, что найдутся участники, которые попытаются меня размазать по стенке за то, что я, говоря об исчислении предикатов, использую модель исчисления высказываний.
У всех наших АК-объектов будет одна и та же схема отношения $[XY]$.
$X,Y$ - атрибуты, а множества их значений – домены атрибутов. Другими словами, $X,Y$ - обозначение областей значений (domains) переменных $x,y$, а $a,b,c$ - константы.
$C$-кортеж $C_1[XY] = [A~~B]$ означает $ C_1 = A \times B$;
$C$-кортеж $C_2[XY] = [A~~\ast]$ означает $C_2 = A \times Y$ ;
$\ast$ - это фиктивная (в данном случае полная) компонента, бывают еще и пустые ($\emptyset$);
$C$-система $C_3[XY] = \left [\begin{array} {cc} A & \ast\\ \ast & B \end{array}\right ] = (A \times Y) \cup (X \times B)$.
Путь задана интерпретация $\psi$:
$I(\psi) = \left [\begin{array} {cc} \{a,c\} & \{c\}\\ \ast & \{a,b\} \end{array}\right ]$.
Тогда
$I(\forall x~\psi ) = [\ast~~\{a,b\}]$.
Ясно, что $I(\forall x~\psi )$ - строгое подмножество $I(\psi)$. Поэтому формула $\psi \to \forall x~\psi$ не может быть тавтологией..
На основе этого примера, можно написать программу, которая будет генерировать разные ОИ для формулы $\psi \to \forall x~\psi$, и эта программа может безостановочно работать до тех пор, пока не истощатся ресурсы компьютера. Не слишком ли много исключений для правила обобщения?