2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение05.07.2025, 11:48 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693324 писал(а):
это будет уже, как сказал dgwuqtj, не булева алгебра, а булева решетка

Но Вы же в первом сообщении ссылаетесь не на уважаемого dgwuqtj, а на Куранта и Роббинса.
Или Вы уже передумали?

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение05.07.2025, 14:45 
пианист в сообщении #1693331 писал(а):
Но Вы же в первом сообщении ссылаетесь не на уважаемого dgwuqtj, а на Куранта и Роббинса.
Или Вы уже передумали?
О чем я передумал??? И в чем высказывания Куранта и Роббинса противоречат высказыванию уважаемого dgwuqtj? То, что они не говорили о булевой решетке? Но зато у них есть такое соответствие: высказываниям математической логики «Всякое A есть B», «Если A, то B» и «Из A следует B» соответствует в алгебре множеств выражение $A \subseteq B$ (с. 139) – в современных обозначениях. И именно это соответствие используется и в математической модели полисиллогистики, и в алгебре кортежей.
А ссылаться могу на кого захочу. В данном случае я заодно хотел Вам показать, что не только я согласен с тем, что «булева алгебра», которую Вы с завидным постоянством упоминаете в своих аргументах, к теме дискуссии имеет мало отношения.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение05.07.2025, 15:22 
BorisK в сообщении #1693319 писал(а):
Кванторы есть. См. Теоремы 30, 31 и 32 на стр. 118 - 120 в книге
.

Её же невозможно читать... В любом случае это не школьная математика.

Вот в классической логике есть синтаксис (языки первого порядка), семантика (модели) и системы вывода. А алгебра кортежей — это о чём вообще, если кратко?

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение05.07.2025, 17:13 
dgwuqtj в сообщении #1693357 писал(а):
Её же невозможно читать... В любом случае это не школьная математика.
Разумеется, невозможно, если начать со 118-й страницы, а не, допустим, с 67-й. Одна из главных трудностей для понимания алгебры кортежей (АК) в том, что в ней используются ранее неизвестные свойства декартовых произведений (ДП). Для справки: в АК 30 с лишним теорем описывают свойства ДП и только 3 теоремы из них – те свойства, которые были известны до АК. Формулировку этих ранее известных свойств можно, например, найти в книге Н. Бурбаки «Основные структуры анализа. Книга 1. Теория множеств». Кое-что по новым свойствам ДП есть в статье "Прямое произведение" в русской Википедии в разделе «Теоретико-множественные операции с прямыми произведениями». В английской Wiki это тоже имеется (в статье Cartesian product), но там другое название раздела.
dgwuqtj в сообщении #1693357 писал(а):
А алгебра кортежей — это о чём вообще, если кратко?
Краткие, но не совсем точные сведения получите, если наберете «алгебра кортежей» в Яндексе и кликните кнопку «алиса» ниже строки ввода. А вот мой вариант кратких сведений.
Алгебра кортежей -- это математическая система, предназначенная для моделирования и анализа многоместных отношений. Она основана на свойствах декартова произведения множеств. С помощью АК решаются задачи моделирования и анализа рассуждений, логико-семантического анализа моделируемых систем, вероятностного анализа логических систем, обобщенного представления различных структур данных и знаний.
Многоместные отношения в алгебре кортежей могут быть выражены с помощью 4 х типов АК-объектов:
C-кортежи -- отношения, эквивалентные одиночным декартовым произведениям множеств.
C-системы -- отношения, представленные объединениями декартовых произведений множеств, выраженными в виде матриц.
D-кортежи -- отношения, моделирующие сжатые выражения для дополнений C-кортежей.
D-системы -- отношения, представленные сжатыми выражениями для дополнений C-систем.
Для этих АК-объектов разработаны алгоритмы выполнения операций алгебры множеств (пересечение, объединение, дополнение и др.) и алгоритмы проверки соотношений между ними (включение и равенство). Обоснованы соответствия этих структур и алгоритмов формулам и методам математической логики. Операции в алгебре кортежей соответствуют логическим связкам математической логики (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, кванторы существования и всеобщности). А отношение обобщённое включение — отношению выводимости.
Использование алгебры кортежей позволяет заменить формальные методы логического анализа алгебраическими и приблизить методы логического анализа к естественным рассуждениям.
Одно из основных отличий АК от реляционной алгебры заключается в том, что в АК отношения представлены в сжатом виде. Причем сжатие может оказаться весьма значительным, особенно для структур, являющихся объектами логического анализа. Каждый АК-объект с помощью определенных алгоритмов можно выразить как множество элементарных кортежей, но во многих случаях такое преобразование нецелесообразно, так как требует больших затрат времени и памяти. Алгоритмы операций и сравнений для сжатых структур позволяют значительно сократить требуемые вычислительные ресурсы.
В алгебре кортежей применяются те же операции и соотношения, что и в алгебре множеств, но когда эти операции и проверки включения используются для сжатых структур, их результат не так очевиден, как при простом переборе и сравнении элементов. Поэтому алгоритмы выполнения операций и проверок в АК нуждаются в доказательствах и выражаются в виде теорем.
АК изоморфна алгебре множеств и является полной алгебраической системой - в ней выполнимы операции и сравнения по включению для любых пар АК-объектов.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение05.07.2025, 17:59 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693350 писал(а):
А ссылаться могу на кого захочу

Да в путь, я что, мешаю?
Просто высказываю свое мнение, это же дискуссионный раздел.
BorisK в сообщении #1693313 писал(а):
В алгебре множеств по Куранту и Роббинсу ... определено и используется отношение $\subseteq$, которое можно применить в логическом выводе. В булевой алгебре ничего подобного нет


Курант, Роббинс писал(а):
утверждения 1)-26), вместе со всеми прочими теоремами алгебры множеств могут быть логически выведены из следующих трех равенств:
...
Такие системы называются "булевыми алгебрами".


Курант, Роббинс писал(а):
18) соотношение $A \subset B$ эквивалентно каждому из двух соотношений $A+B=B, A B=A$

Может быть, Вам стоит все-таки ознакомиться с книжкой, на которую Вы ссылаетесь?

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение05.07.2025, 19:33 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693367 писал(а):
если наберете «алгебра кортежей» в Яндексе

Вау, а в гугле уже не получится?...
BorisK в сообщении #1693367 писал(а):
Алгебра кортежей -- это математическая система, предназначенная для моделирования и анализа многоместных отношений

Вы её нам продаёте, что ли?
BorisK в сообщении #1693367 писал(а):
отношения, эквивалентные одиночным декартовым произведениям множеств.

Расшифруйте эту фразу, пожалуйста.

BorisK в сообщении #1693367 писал(а):
АК изоморфна алгебре множеств

Что Вы называете изоморфизмом? Как Вы это доказываете?
BorisK в сообщении #1693367 писал(а):
для структур, являющихся объектами логического анализа

Что такое "логический анализ", что такое его объекты...?

BorisK в сообщении #1693367 писал(а):
Для справки: в АК 30 с лишним теорем описывают свойства ДП и только 3 теоремы из них – те свойства, которые были известны до АК.

Например?

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 00:54 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693208 писал(а):
ПРАВИЛА в книге выражены слишком кратко и недостаточно четко, но в статье О заблуждениях в современной логике этот недочет, по-видимому, исправлен.

У меня к Вам есть вопросы, как к автору этой статьи. (Вы ведь не отрицаете своё авторство?)
Цитата:
В статье обсуждается несостоятельность трѐх «бесспорных» положений в современной логике

Что такое "современная логика"? Это звучит как-то уж слишком неопределённо. Речь о математической логике? О классической (аристотелевой)? Может быть, о так называемой "женской логике"? Ещё о какой-то?
Логических систем потенциально бесконечно много. Неплохо сразу бы конкретизировать предмет разговора. Потому что разговор обо всём сразу - это разговор ни о чём.
Цитата:
о противоречивости понятия «множество»

Насколько мне известно, понятие "множество" в математике непротиворечиво. Если Вам хочется обсуждать "парадоксы" наивной теории множеств, то с этим Вам явно не в дискуссионный раздел. Разве что, в "Свободный полёт". А лучше - вообще не на этот форум.
Цитата:
о безусловной необходимости аксиом в логике

Опять же - в какой именно логической системе? Если речь о математической логике, то в ней без аксиом (либо схем аксиом) действительно не обойтись. А если об аристотелевой или о "женской", тогда как Вам будет угодно. Едва ли здесь это окажется для кого-то интересным.
Цитата:
о безошибочности силлогистики

Нет такого раздела математики: "силлогистика". С этим Вам лучше бы отправиться на какой-нибудь философский форум.
Цитата:
Первое заблуждениеие преодолевается...

Пока ясно не сформулирован предмет обсуждения, преодолевать просто нечего.
Цитата:
В утверждении о том, что логика лежит в основе всей математики, есть одно исключение

Прежде чем говорить об исключениях, хотелось бы уточнить смысл самого этого утверждения. Что имеется в виду? Конечно, люди, занимающиеся математикой (а равно и другими науками), пользуются какой-то логикой. Но из этого, вообще-то, никак не следует, будто в основе всей математики лежит матлогика. Или Вы считаете иначе?
Цитата:
Речь идѐт о математической системе, которая авторами книги названа алгеброй множеств

Алгебра множеств - это лишь одна из интерпретаций булевой алгебры. И в основе булевой алгебры (как и в основе любой алгебраической структуры) лежит свой список аксиом. См. хотя бы Математическую Энциклопедию под редакцией И.М. Виноградова, том 1 (1977 г.), колонка 550.

Возникает ещё немало вопросов, но для начала прокомментируйте, пожалуйста, хотя бы кратко, сказанное здесь.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 11:14 
пианист в сообщении #1693375 писал(а):
Может быть, Вам стоит все-таки ознакомиться с книжкой, на которую Вы ссылаетесь?
Да, я пропустил, что в книге Куранта и Роббинса есть термин «булева алгебра». Но это не булева алгебра в современном смысле, в которой в соответствии с понятием «алгебра» в теории алгебраических систем, есть операции, но нет отношений. Курант и Роббинс используют в булевой алгебре отношение $a \subset b$, которое интерпретируется ими и как импликация («Если A, то B»), и как отношение следования («Из A следует B») - с. 139. А я возражал Вам, так как считал, что Вы используете термин «булева алгебра» в современном понимании. Но все равно я считаю, что булева алгебра в широком смысле «беднее» алгебры множеств, в которой «атомы» (т.е. множества) могут иметь бесконечное число значений, а не 2, как в булевой алгебре.
Geen в сообщении #1693379 писал(а):
Вау, а в гугле уже не получится?...
Нет, не получится, там выдают для алгебры кортежей в «Обзоре от ИИ» что-то похожее на реляционную алгебру.
Geen в сообщении #1693379 писал(а):
Вы её нам продаёте, что ли?
Нет, все бесплатно.
Geen в сообщении #1693379 писал(а):
«отношения, эквивалентные одиночным декартовым произведениям множеств». Расшифруйте эту фразу, пожалуйста.
ДП из $n$ множеств по сути является $n$-местным отношением, элементами которого являются $n$-местные кортежи элементов, а также ДП может использоваться как универсум $n$-местного отношения.
Geen в сообщении #1693379 писал(а):
«АК изоморфна алгебре множеств» Что Вы называете изоморфизмом? Как Вы это доказываете?
Алгебра множеств по Куранту и Роббинсу и АК – это алгебраические системы с операциями ($\cap, \cup$, дополнение) и отношением $\subseteq$. Изоморфизм между ними определяется как взаимно однозначное соответствие между операциями и отношением в этих системах. Доказательство основано на том, что все АК-объекты можно с помощью определенных алгоритмов представить как обычные множества, элементами которых являются кортежи элементов.
Geen в сообщении #1693379 писал(а):
«для структур, являющихся объектами логического анализа» Что такое "логический анализ", что такое его объекты...?
Под логическим анализом понимается не только дедукция, но и поиск абдуктивных заключений, анализ неопределенностей в знаниях, логических ошибок в рассуждениях. Более строгого определения не знаю. Есть разные точки зрения на это. Например, есть задача вычисления следствий с заранее заданными свойствами. У автора АК есть докторская диссертация «Логический анализ систем на основе алгебраического подхода». Может быть, там можно найти что-то более определенное. Объекты: рассуждения, логические формулы, обоснования, возможно, в общем случае - знания в ИИ.
Geen в сообщении #1693379 писал(а):
«Для справки: в АК 30 с лишним теорем описывают свойства ДП и только 3 теоремы из них – те свойства, которые были известны до АК». Например?
Более точно речь идет о теоретико-множественных операциях и соотношениях для ДП. Чтобы мой ответ был более понятен, должен сказать, что в АК введены схемы отношений для АК-объектов. Если состав атрибутов в схемах отношения АК-объектов совпадает, то они однотипные. До АК были известны следующие 3 свойства: 1) алгоритм проверки включения однотипных ДП; 2) алгоритм вычисления пересечения двух однотипных ДП; 3) алгоритм вычисления разности двух однотипных ДП. В АК введены операции объединения и дополнения для ДП и их объединений. Причем возможны операции и проверки включения не только для однотипных АК-объектов, но и для случаев, когда у них разные схемы отношения. Осуществляется это с помощью операции добавления фиктивного атрибута, которая соответствует правилу обобщения для языка первого порядка по версии, которая изложена в разных изданиях книги Э. Мендельсона.

На вопросы Mihr отвечу позже.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 12:08 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693415 писал(а):
У автора АК есть докторская диссертация «Логический анализ систем на основе алгебраического подхода».
То есть у Вас? Или Вы не Борис Кулик?

Автореферат диссертации доступен бесплатно. Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления). Там ссылки на девять ВАКовских статей в журналах "Программирование", "Автоматика и телемеханика", "Известия РАН. Техн. кибернетика" и "Известия РАН. Теория и системы управления". Видно, что ни один из этих журналов не имеет отношения ни к логике (как разделу математики), ни к теории множеств, ни даже к алгебре. Тем страннее претензии автора на альтернативное построение логики.

BorisK в сообщении #1693415 писал(а):
Может быть, там можно найти что-то более определенное.
Так это Ваша диссертация или нет? Если да, то Вы должны знать, что там можно найти, а чего нельзя.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 13:44 
Аватара пользователя
BorisK, правильно ли я понял, что Вы собираетесь положительно ответить на вопрос, вынесенный в заголовок темы?

В таком случае объясните пожалуйста, как Вы будете доказывать "с помощью школьной математики" или этой самой алгебры множеств вот такую важную для логики тавтологию:

$\bigl(\forall x~\varphi \to \psi\bigr) \to \bigl((\forall x~\varphi) \to (\forall x~\psi)\bigr)$?

Как Вы можете заметить, это - предложение в языке логики предикатов первого порядка. Логику высказываний мы не рассматриваем по причине её явной недостаточности для выражения хоть сколько-нибудь содержательных теорий (хотя её-то наверняка можно изложить на уровне школьной математики). Поэтому минимальное требование - логика предикатов первого порядка. И вот её неотъемлемой частью является эта самая тавтология, которую надо как-то обосновать. Попробуйте.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 16:12 
Mihr в сообщении #1693385 писал(а):
У меня к Вам есть вопросы, как к автору этой статьи. (Вы ведь не отрицаете своё авторство?)
Придется признать. Хотя теперь, наверное, меня забанят за саморекламу, а тему отправят в Пургаторий. Впрочем, пора – я уже устал от дискуссии и слишком много времени у меня она отнимает, а других дел невпроворот.
На всякий случай, спасибо всем за участие, за вопросы и замечания. Они мне очень помогли.
Цитата:
Что такое "современная логика"? Это звучит как-то уж слишком неопределённо. Речь о математической логике? О классической (аристотелевой)? Может быть, о так называемой "женской логике"? Ещё о какой-то?
Каюсь, надо было уточнить это. Речь идет о силлогистике и математической логике, а также об аксиоматической теории множеств, которая в некоторых монографиях (например, у Э. Мендельсона) излагается как раздел математической логики.
Цитата:
Насколько мне известно, понятие "множество" в математике непротиворечиво.
Не все так считают. Например, у Э. Мендельсона (русское издание и издание 2015 года) говорится о теории множеств как о шаткой основе в силу парадоксов.
Цитата:
Нет такого раздела математики: "силлогистика". С этим Вам лучше бы отправиться на какой-нибудь философский форум.
Вообще-то силлогистику обсуждали и Гильберт с Аккерманом, и Лукасевич и др. и даже строили математические модели силлогистики. Ну даже если силлогистики нет в математике, то хоть о математической модели полисиллогистики я имею право говорить? Или Вы запрещаете?
Цитата:
Алгебра множеств - это лишь одна из интерпретаций булевой алгебры. И в основе булевой алгебры (как и в основе любой алгебраической структуры) лежит свой список аксиом.
Вообще-то есть и другой подход – алгебраический. См. «Алгебру множеств» у Куранта и Роббинса. Пусть некоторые математики считают ниже своего достоинства его обсуждать, я считаю, что он имеет право на существование.

Anton_Peplov в сообщении #1693425 писал(а):
BorisK в сообщении #1693415 писал(а):
У автора АК есть докторская диссертация «Логический анализ систем на основе алгебраического подхода».
То есть у Вас? Или Вы не Борис Кулик?

Автореферат диссертации доступен бесплатно. Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления). Там ссылки на девять ВАКовских статей в журналах "Программирование", "Автоматика и телемеханика", "Известия РАН. Техн. кибернетика" и "Известия РАН. Теория и системы управления". Видно, что ни один из этих журналов не имеет отношения ни к логике (как разделу математики), ни к теории множеств, ни даже к алгебре. Тем страннее претензии автора на альтернативное построение логики.

Да, я Борис Кулик. А почему Вы запрещаете мне по формальным признакам заниматься исследованиями в логике. Между прочим «самоучки» сыграли немалую роль в развитии науки. Почитайте хотя бы для начала книгу А. Сухотина «Прадоксы науки». Или у Вас не нашлось возражений по существу?

На вопросы epros отвечу позже. Если не забанят.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 17:53 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
у Э. Мендельсона (русское издание и издание 2015 года) говорится о теории множеств как о шаткой основе в силу парадоксов

Мендельсон говорит, вроде бы, только что интуитивная теория множеств противоречива (почему и потребовалась матлогика). Разве он где-то называет NBG, которую излагает, "шаткой основой"?

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 18:12 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Речь идет о силлогистике и математической логике, а также об аксиоматической теории множеств

Ну, то есть, Вы делаете попытку запрячь в одну повозку коня и трепетную лань. Вы можете, конечно, пытаться это сделать. Но вряд ли это кончится чем-нибудь реально интересным. Лично моё мнение не изменилось: об этом лучше в "Свободном полёте". Предмета для дискуссий здесь нет, на мой взгляд. (Или просто мне не дано его увидеть).
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Например, у Э. Мендельсона (русское издание и издание 2015 года) говорится о теории множеств как о шаткой основе в силу парадоксов.

Вероятно, там речь о наивной теории множеств Кантора. Тут и спорить не о чем, но это просто неинтересно. Если же речь о противоречивости теории Цермело - Френкеля, то приведите, пожалуйста, точную цитату из Мендельсона, где он говорит об этом.
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Ну даже если силлогистики нет в математике, то хоть о математической модели полисиллогистики я имею право говорить?

Имеете, конечно. Но лучше - в более подходящем разделе. Я лишь об этом.
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Или Вы запрещаете?

Я не могу ничего запретить или разрешить ни Вам, ни кому-либо ещё на этом форуме. На форуме есть сегодня не более трёх человек (а де-факто - один), кто мог бы Вам что-то запретить или разрешить.
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Вообще-то есть и другой подход – алгебраический.

При любом подходе построить математическую теорию без аксиом невозможно. Можете считать это утверждение метааксиомой. Вы можете лишь делать вид, будто не пользуетесь аксиомами. Или просто регулярно избегать самого слова "аксиома". Но обойтись без аксиом де-факто - не получится. А если что-то и получится, то получившееся просто не будет иметь отношения к математике.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение06.07.2025, 19:53 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Вообще-то силлогистику обсуждали и Гильберт с Аккерманом, и Лукасевич и др. и даже строили математические модели силлогистики.

Для справки: современная математическая логика не опирается на силлогистику. Силлогистика - устаревший подход к изложению логики, который сейчас для математической логики представляет чисто исторический интерес. Но авторы имеют право проявлять интерес к истории развития логики и строить математические модели силлогистики.

-- Вс июл 06, 2025 21:12:04 --

Википедия в статье Категорический силлогизм писал(а):
Силлогизм преобладал в логике до XIX века и имел ограниченное приложение в частности из-за привязки к категорическому силлогизму. Заменой аристотелевской силлогистике служит более простая логика первого порядка.

 
 
 
 Re: Можно ли построить логику с помощью школьной математики?
Сообщение07.07.2025, 10:02 
Аватара пользователя
BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
А почему Вы запрещаете мне по формальным признакам заниматься исследованиями в логике
Я Вам запрещаю? Бог с Вами. Просто исследования по логике логично публиковать в журналах, специализирующихся на логике, чтобы редакторы и рецензенты были специалистами по логике А если Вы их публикуете в "Автоматике и телемеханике", это выглядит странно. Как будто специалистам-логикам Вы свои труды предьявить не рискуете.

BorisK в сообщении #1693446 писал(а):
Или у Вас не нашлось возражений по существу?
Хотите по существу - давайте. Только не о диссертации (ее я не читал, автореферата недостаточно), а о статье, которую Вы тут цитировали. Вот, например, фраза:
Цитата:
С точки зрения потенциальной бесконечности натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, … – это конечный ряд
Я правильно понимаю, что "с точки зрения потенциальной бесконечности" Вы можете назвать самое большое натуральное число? Если да, то назовите его, пожалуйста. Если нет, то приведите определение конечного множества, которым Вы пользуетесь.

 
 
 [ Сообщений: 101 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group