Можно ли построить логику с помощью школьной математики?

[BorisK]

Скажем так: в основе многих изобретений и научных открытий лежит такая универсальная МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ УСТАНОВКА:

МУ-1.У нас имеется некая ШТУЧКА.
МУ-2. Нам известны некие ПРАВИЛА.
МУ-3. Из этой ШТУЧКИ мы с помощью ПРАВИЛ производим некую ШТУКОВИНУ, которая зачем-то и кому-то может пригодиться.

Возможны и другие полезные МУ, но мы для ответа на вопрос остановимся на этой. Если нашей ШТУЧКОЙ будет доступная школьнику математическая система, из которой мы с помощью некоторых ПРАВИЛ получаем все законы классической логики, то нашей ШТУКОВИНОЙ оказывается классическая логика. И тогда ответ на поставленный вопрос будет утвердительным.

В данном случае такой ШТУЧКОЙ будет вариант АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ, определение и описание которого еще в 1941 году были публикованы в книге Р. Куранта и Г. Роббинса Что такое математика?. Все эти законы (в книге их 26) соответствуют законам классической логики. В книге показано соответствие между законами алгебры множеств и законами логики и предлагаются ПРАВИЛА, с помощью которых эти 26 законов можно обосновать.
ПРАВИЛА в книге выражены слишком кратко и недостаточно четко, но в статье О заблуждениях в современной логике этот недочет, по-видимому, исправлен. Обоснование законов производится с помощью перебора всех возможных вариантов соотношений между множествами и элементарных операций и сравнений.

Хотел бы отметить, что предположение о том, что алгебра множеств в книге Куранта и Роббинса является популярным изложением аксиоматической теории множеств, не выдерживает критики. Оно опровергается содержанием раздела «Алгебра множеств» (с. 134 - 142) и следующей цитатой из данной книги (с. 22):
«В допущении, что математика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки. Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мыслящего человека. Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда»

Спрашивается, можно ли данный вариант обоснования логики считать равноправным с общепринятым сейчас формальным подходом?

[Dedekind]

BorisK в сообщении #1693208 писал(а):

Спрашивается, можно ли данный вариант обоснования логики считать равноправным с общепринятым сейчас формальным подходом?

Можно. Считайте.

[dgwuqtj]

BorisK в сообщении #1693208 писал(а):

Спрашивается, можно ли данный вариант обоснования логики считать равноправным с общепринятым сейчас формальным подходом?

Формальным подходом к чему? У вас речь идёт только про булеву алгебру, это даже не исчисление высказываний (нет системы вывода), не говоря уже об отсутствии предикатов.

[BorisK]

dgwuqtj в сообщении #1693210 писал(а):

Формальным подходом к чему? У вас речь идёт только про булеву алгебру, это даже не исчисление высказываний (нет системы вывода), не говоря уже об отсутствии предикатов.

Вообще-то речь идет об алгебраическом подходе в логике. Имеется изоморфная алгебре множеств алгебра кортежей, в которой описываются многоместные отношения и с помощью которой можно моделировать логический вывод как в исчислении высказываний, так и в исчислении предикатов. Алиса вроде бы знает, что такое алгебра кортежей.

[dgwuqtj]

То есть речь действительно про булеву алгебру, а не про логику. Понятно.

Вы для начала с помощью своих соображений приведите формализацию арифметики, чтобы было понятно, как доказывать хотя бы $(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$.

[BorisK]

dgwuqtj в сообщении #1693218 писал(а):

То есть речь действительно про булеву алгебру, а не про логику. Понятно.

Вы для начала с помощью своих соображений приведите формализацию арифметики, чтобы было понятно, как доказывать хотя бы $(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$.

Не надо уводить тему в другую сторону.
В булевой алгебре есть операции, но нет отношения, соответствующего отношению выводимости. И в ней не принято определять меру множеств. А в алгебре кортежей это все есть. И вероятностная мера тоже.
А алгебраический подход к арифметике существует еще с древних времен. И вроде бы народ не жаловался.

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1693208 писал(а):

Спрашивается, можно ли данный вариант обоснования логики считать равноправным с общепринятым сейчас формальным подходом?

Ответ: это не обоснование логики. Это в лучшем случае введение булевой алгебры, и не более того.

Отождествлять булеву алгебру с логикой - ошибка, и эта ошибка должна быть очевидна каждому, усвоившему хотя бы один учебник по математической логике для математических факультетов. Как уже отметили выше, даже исчисление высказываний не сводится к булевой алгебре. Об исчислении предикатов первого порядка и говорить нечего, а о более сложных исчислениях - тем более.

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1693245 писал(а):

Ответ: это не обоснование логики. Это в лучшем случае введение булевой алгебры, и не более того.

Про булеву алгебру см. выше.

[пианист]

BorisK в сообщении #1693243 писал(а):

В булевой алгебре есть операции, но нет отношения, соответствующего отношению выводимости

$a \cap b = a$ - не оно?

[BorisK]

пианист в сообщении #1693260 писал(а):

$a \cap b = a$ - не оно?

Вряд ли. В алгебре множеств по Куранту и Роббинсу, в отличие от алгебры множеств в Математической энциклопедии, определено и используется отношение $\subseteq, которое можно применить в логическом выводе. В булевой алгебре ничего подобного нет, а если добавить, то это уже не булева алгебра.

[пианист]

BorisK в сообщении #1693313 писал(а):

В булевой алгебре ничего подобного нет

Джинн писал(а):

Как это ничего? У тебя теперь чайник есть. А еще у тебя семь кредитов, жена ... и дети ...

;)
Вместо $a \subseteq b$ пишем $a \cap b = a$, и все у нас получится. В книжечке Курант, Роббинс про это же сказано.

[dgwuqtj]

BorisK в сообщении #1693313 писал(а):

В булевой алгебре ничего подобного нет, а если добавить, то это уже не булева алгебра.

Будет булева решётка. Это уже лучше, но кванторов всё равно нет.

[BorisK]

пианист в сообщении #1693315 писал(а):

Вместо $a \subseteq b$ пишем $a \cap b = a$, и все у нас получится. В книжечке Курант, Робинс про это же сказано.

Вот именно, что ВМЕСТО. Все же без $ \subseteq $ и изоморфного ему отношения следования трудно строить логический вывод. А где, скажите, в булевой алгебре мера множеств, многоместные отношения, которые можно использовать как интерпретацию предикатов, кванторы и т.д.? Все это можно построить из алгебры множеств с отношением $ \subseteq $ и свойств декартова произведения множеств, но не из булевой алгебры.

dgwuqtj в сообщении #1693316 писал(а):

Будет булева решётка. Это уже лучше, но кванторов всё равно нет.

Кванторы есть. См. Теоремы 30, 31 и 32 на стр. 118 - 120 в книге.

[пианист]

BorisK в сообщении #1693319 писал(а):

Все же без $ \subseteq $ и изоморфного ему отношения следования трудно строить логический вывод

Трудно. Но можно попробовать.
Строим вывод с $a \subseteq b$, строим. Построили. И тут рраз! - везде меняем на $a \cap b = a$. Voila!

[BorisK]

пианист в сообщении #1693323 писал(а):

Трудно. Но можно попробовать.
Строим вывод с $a \subseteq b$, а потом рраз! - и везде меняем на $a \cap b = a$. Voila!

Но это будет уже, как сказал dgwuqtj, не булева алгебра, а булева решетка. И опять же, где в этой структуре предикаты, кванторы и т.д. (см. выше)?