Про степени свободы

[EXE]

realeugene в сообщении #1685619 писал(а):

Но в одной точке есть сразу два разных направления, куда можно двигаться без нарушения точной связи.

Это конкретна сборка, она моделирует процесс равномерного вращения именно в эту сторону. Из точки бифуркации двигаться нельзя, но из её окрестности, тем более из любого другого положения можно в любую нужную нам сторону. Это очень простой плоский случай, а в 3d может быть гораздо больше сборок, и граница между ними это мёртвые точки, и чем ближе (по параметрам) траектория проходят к этим точкам, тем большая точность требуется при вычислениях. Например, при решении обратной задачи для последовательных манипуляторов можно получить бесконечное множество сборок для одной и той же траектории рабочей точки.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1685576 писал(а):

https://storage4u.ru/file/2025/05/10/8805be544592cb97ac81bd5a7cca2fb5.pdf

Вполне очевидно, что разложение в ряд Тейлора вычислено неверно. Так как в исходной формуле только косинусы от углов и их разностей, в разложении не может оказаться линейных по одному из углов членов.

Да это легко видеть и из того, что так как радиус кривизны малой окружности меньше, чем большой, горизонтальный отрезок - локальный минимум расстояния между окружностями. Так что никак не седло.

-- 11.05.2025, 13:12 --

EXE в сообщении #1685627 писал(а):

Это конкретна сборка

Я не механик. Это термин такой?

Вполне очевидно, что в нелинейных системах число степеней свободы может зависеть от точки в конфигурационном пространстве. Как пример: шайба скользит по столу. И падает с его края.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1685636 писал(а):

Вполне очевидно, что разложение в ряд Тейлора вычислено неверно. Так как в исходной формуле только косинусы от углов и их разностей, в разложении не может оказаться линейных по одному из углов членов.

Ерунда какая-то.
Там и нет линейных по одному углу членов.

[realeugene]

Признаю: там седло.

[EXE]

realeugene в сообщении #1685636 писал(а):

Я не механик. Это термин такой?

Да и я не такой . Просто ТММшники, как я слышал, так называют различные способы движения одного и того же устройства - состояния, при которых механизм не может перейти из одного в другое, не сломавшись. А в данном простом плоском примере может, но моделируется какое-то одно. Тот же механизм Шаца крутится, когда среднее звено будет "внизу".
В САПР очень слабо развито 3d моделирование, думаю, по причине именно аналитического подхода. Но ведь расчёт кинематики можно получить и в лоб через уравнения связей, решая численно систему уравнений. При этом система нелинейных уравнений редко бывает трансцендентной, а с полиномиальными системами работать много проще, хотя непринципиально. И точность моделей вполне вписывается в допуски.

[drzewo]

EUgeneUS
Попробуйте написать уравнения Лагранжа со множителями в координатах $\varphi,\psi$ Там могут быть сюрпризы. :) Просто без всяких активных сил, только кинетическая энергия. Однородный массивный стержень, концы скользят без трения по окружностям.

[Ende]

realeugene в сообщении #1685183 писал(а):

Система не может двигаться. Но вы можете добавить в систему дополнительные системы свободы: упругость связей и осей. С некоторой упругостью в ранее жёстких уравнениях. Тогда в этом положении равновесия связи окажутся ненапряжёнными, но появится возможность и двигать систему вокруг точки равновесия в расширенном конфигурационном пространстве, прилагая к ней усилия. Вообще говоря, при этом система будет двигаться таким образом, чтобы энергия упругих связей в сумме с энергией внешней силы минимизировалась. Функционал энергии вблизи точки равновесия при игнорировании малых членов старшего порядка - многомерный эллипсоид. При некоторых параметрах параметрах исходной системы (длинах звеньев) этот эллипсоид вблизи точки равновесия может превратиться в длинную ложбину, и тогда небольшие внешние усилия позволят системе перемещаться далеко. Так как система уравнений нелинейная, не обязательно неограниченно, но хотя бы будет нуль приращения энергии во втором порядке малости по перемещению в некотором направлениии в конфигурационном пространстве, что и означает возможность перемещения в данном направлении без существенных напряжений связей. Это значит, что у системы есть вырождение в окрестности точки равновесия. Но если особо повезёт, то глубина ложбины энергии может оставаться вообще постоянной вдоль некоторой достаточно длинной кривой в конфигурационном пространстве.

realeugene в сообщении #1685619 писал(а):

Энергия упругости связи в этой точке четвёртого порядка малости во всех направлениях в двумерном конфигурационном пространстве. Соответственно, функционал энергии упругости связи в окрестности этой точки в требуемом для анализа задачи приближении больше не эллипсоид, и подсчёт количества степеней свободы механизма к этой точке не применим.

Уважаемый realeugene. Ваши сообщения трудно читать и понимать.
Я не понимаю, что означает "функционал - это эллипсоид", "энергия - это эллипсоид". Я спросил нескольких физиков, они тоже признались, что могут лишь догадываться, что Вы имели в виду. Я не понимаю, что такое жёсткие уравнения и уравнения с некоторой упругостью. Я даже не понимаю, что такое энергия внешней силы. Могу предположить, что это потенциальная энергия в поле силы тяжести, но это лишь догадка.

Отдельно отмечу, что "связь" - термин из кинематики. Не существует таких понятий как "упругость связи" и "энергия связи" (энергия связи существует, но не та). То, что Вы имеете в виду, нужно называть иначе.

В связи с вышеизложенным настоятельная просьба:
1. Чаще использовать формулы вместо слов.
2. Там, где используются слова, пользоваться общепринятыми терминами, а не выдумывать свои.
3. Выражать свои мысли связно, ясно и последовательно. Проявите уважение к своим читателям, потратьте на несколько лишних минут на продумывание формулировок.

Пока это именно настоятельная просьба. Надеюсь, не придется переходить к требованиям.

Отдельная просьба: пожалуйста, прекратите уже жаловаться на то, что кто-то "путает физику с математикой". В сочетании с Вашей манерой изъясняться такие претензии выглядят несколько необоснованно.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1685788 писал(а):

Попробуйте написать уравнения Лагранжа со множителями в координатах $\varphi,\psi$ Там могут быть сюрпризы. :) Просто без всяких активных сил, только кинетическая энергия. Однородный массивный стержень, концы скользят без трения по окружностям.

"Давненько я не брал в руки шашек" (с)

Кинетическая энергия получилась такой (если опять нигде не проврался):

$$T = \frac{m}{6}( r_1^2 \dot{\varphi}^2 + r_2 \dot{\psi}^2 - r_1 r_2 \cos(\varphi - \psi)\dot{\varphi}\dot{\psi})$$

Далее можно записать уравнение Лагранжа с множителями и наложить связь, уравнение которой Вы вывели.
Но как-то громоздко это выглядит. С применением систем компьютерной алгебры увидеть особенности можно проще

-- 14.05.2025, 08:36 --

Для простоты рассмотрим, т.н. "параллельный механизм": $R=r < b=u$, для определенности возьмём $u=2 R$.
У такого механизма есть два варианта движения: а) углы всё время равны, б) углы имеют разные знаки (этот вариант нас и будет интересовать).

Уравнение связи упростится до:

$$f(\varphi, \psi) = 1 - \cos(\psi - \varphi) + 2 (\cos \varphi - \cos \psi)=0$$

Решим его в wolframalpha

Как и ожидалось, одно решение (второе) соответствует $\varphi = \psi$, а на другое (первое) посмотрим внимательнее.
Совершенно очевидно, что

$$\frac{d \psi}{d \varphi} (0) \ne \frac{d \psi}{d \varphi}(\pi)$$

Это означает, что если $\varphi(t)$ - гладкая, то $\psi(t)$ имеет изломы в точках $\psi = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. А значит в этих точках $\dot{\psi}$ терпит разрыв первого рода, а $\ddot{\psi}$ терпит разрыв второго рода.
По стержню прилетает удар.

[EUgeneUS]

Ерунду выше написал, нельзя склеивать через $\pi$

Вот зависимости $\psi(\varphi)$ для

1. "Параллельный механизм"

$R=r, b=u, u=2R$
Уравнение связи $f(\varphi,\psi) = 1 - 1 \cos(\psi - \varphi) + 2 (\cos \varphi - \cos \psi)=0$

2. "Малая окружность в большой"
$R=5, r=2.5, u=1, b=3,5$
Уравнение связи $f(\varphi,\psi) = 4 - 5 \cos(\psi - \varphi) + 2 \cos \varphi - \cos \psi=0$

$\psi(\varphi)$ везде гладкая, если с ветки на ветку "не перепрыгивать"

-- 14.05.2025, 10:22 --

Ещё пара забавных картинок.

3. "Параллельный механизм" с обратным отношением сторон

$R=r, b=u, u=0.5R$
Уравнение связи $f(\varphi,\psi) = 1 - 1 \cos(\psi - \varphi) + 0.5 (\cos \varphi - \cos \psi)=0$

Боковые стороны теперь крутятся в одном направлении

4. "Трапеция"

$R=r=u, b=0.5R$
Уравнение связи $f(\varphi,\psi) = 2.75 - 2 \cos(\psi - \varphi) + 2(\cos \varphi - \cos \psi)=0$
Углы тут - углы при основании трапеции.
Обе боковых стороны работает как шатуны.

[drzewo]

Там ,по-моему, сингулярности должны быть и во множителях Лагранжа и в кинетической энергии. Вот множителях Лагранжа точно. Я это имел в виду.

[EUgeneUS]

Попробую довести эти выкладки до конца.
Пока общие соображения.
Какие-то особенности могут быть в мертвых точках, где либо $\frac{d \varphi}{d \psi} = 0$, либо $\frac{d \psi}{d \varphi} = 0$.
Такие точки возникают, если хотя бы одна из боковых сторон не может делать полный оборот.