Можно ли представить себе ток в виде вектора

[lel0lel]

wrest в сообщении #1680965 писал(а):

контуры уменьшаются на каждом шаге последовательности и стремямятся в размерах к нулю, а циркуляции по ним стремятся к ротору в каждой точке поверхности

скалярно помноженному на вектор ориентированной площади поверхности, натянутой на контур, по которому считалась обсуждаемая циркуляция

[wrest]

lel0lel в сообщении #1680968 писал(а):

скалярно помноженному

Ага, и тут косинус бочком затесался

[chislo_avogadro]

мат-ламер в сообщении #1680817 писал(а):

Думаю это проиллюстрировать, посчитав циркуляцию поля через интеграл (через закон Био-Савара-Лапласа).

Хорошая идея!
Этот закон формулируется через $I\mathbf dl \times \mathbf r$ (для тонкого провода), т.е. зависимость от угла между $\mathbf dl$ и плоскостью контура здесь есть.
В то же время есть закон полного тока, где углов вроде нет.
Но вот что пишет Бессонов -

Цитата:

Интегральную форму закона полного тока применяют, когда может быть использована симметрия в поле.

Если же провод с током входит в контур наклонно, то симметрии нет. Кажется, стоит вернуться к вопросу ТС в родительской ветке...


И, кстати, $I\mathbf dl$ вектор.

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1680965 писал(а):

Вот из этой аддитивности циркуляции как раз и растёт формула Стокса

Мне надо время обдумать вашу мысль. Я себе представлял дело так. Формулу Стокса мы не обосновываем, а берём как данность. Интегрируем наше равенство $\operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}$ с помощью теоремы Стокса. И получаем, что циркуляция поля $\mathbf{H}$ по контуру равна потоку вектора $\mathbf{j}$ , проходящего через контур. Тем самым, теорема о циркуляции магнитного поля доказана (в учебнике Иродова доказательства нет). И тут я первый раз (и не последний) затупил, думая, что этот поток зависит от косинуса угла захода. На самом деле независимость его от угла захода можно обосновать применением теоремы Гаусса-Остроградского (как мне тут неоднократно советовали в теме).

Второй раз затупил так. В учебнике Иродова вектор плотности тока в соленоиде раскладывают на две составляющие - перпендикулярно контуру и параллельно ему. Но там это сделать можно. Тут я тоже этот вектор разложил на две составляющие. И получается, что вектор перпендикулярный контуру (который ответственен за циркуляцию) от угла зависит. А тут это не проходит.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1681077 писал(а):

Формулу Стокса мы не обосновываем, а берём как данность. Интегрируем наше равенство $\operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}$ с помощью теоремы Стокса. И получаем, что циркуляция поля $\mathbf{H}$ по контуру равна потоку вектора $\mathbf{j}$ , проходящего через контур.

Да, но поток не через контур, а через поверхность, границей которой является контур (="натянутой на контур").

-- 04.04.2025, 18:58 --

мат-ламер в сообщении #1681077 писал(а):

На самом деле независимость его от угла захода можно обосновать применением теоремы Гаусса-Остроградского (как мне тут неоднократно советовали в теме).

... которая является частным случаем теоремы (более общей, не "формулы") Стокса
Но я честно сказать не вполне понял к чему вам советовали Гаусса. Ну да, магнитное поле бездивиргентное в принципе (не существует точечных источников - зарядов) и потому поток его через замкнутую поверхность всегда ноль. Так что если разделить такую поверхность контуром, то потоки [вектора напряженности магнитного поля] через половинки будут равны (с учетом ориентации) и в сумме дадут ноль.
Поле вектора плотности тока в стационарном случае тоже бездивергентное, т.к. токи нигде не накапливаются и не пропадают (+закон сохранения электрического заряда) и потому поток вектора плотности тока (=поток ротора напряженности магнитного поля) через замкнутую поверхность тоже ноль. Но что с этим дальше делать...

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1681100 писал(а):

Но я честно сказать не вполне понял к чему вам советовали Гаусса.

wrest в сообщении #1681100 писал(а):

Но что с этим дальше делать...

К нашей поверхности (которая ограничена контуром) можно приставить изогнутый цилиндр. Одно основание (первое) совпадает с нашей поверхностью, второе наклонено к ней под произвольным углом. Через центры оснований проходит наш провод с током. Провод проходит через центр второго основания под прямым углом. Применяем теорему Гаусса-Остроградского к этому цилиндру.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1681212 писал(а):

К нашей поверхности (которая ограничена контуром) можно приставить изогнутый цилиндр. Одно основание (первое) совпадает с нашей поверхностью, второе наклонено к ней под произвольным углом.

Пытался себе представить цитируемое, но не смог. "Наша поверхность которая ограничена контуром" - это произвольная кусочно-гладкая ориентируемая поверхность, имеющая в качестве границы контур. Она может быть хоть цилиндром без одного основания (если контур - окружность), хоть полусферой, хоть в форме чулка, хоть в форме шляпы из гарри поттера и так далее. Вы, кажется, представляете себе натянутую на окружность поверхность исключительно как круг, имеющей границей эту окружность?

(Оффтоп)

[мат-ламер]

chislo_avogadro в сообщении #1681073 писал(а):

Кажется, стоит вернуться к вопросу ТС в родительской ветке...

Там в последнем посту что-то не так с дождём, который капает в ведро. ИМХО, скорость наполнения ведра не зависит от скорости бокового ветра.

-- Вс апр 06, 2025 18:04:53 --

wrest в сообщении #1681227 писал(а):

Вы, кажется, представляете себе натянутую на окружность поверхность исключительно как круг, имеющей границей эту окружность?

Чего-то перестал понимать суть проблемы. Если дело в моих представлениях, то возможно вы правы. Натянутую на окружность поверхность я себе мысленно не представляю никак. Сейчас попробовал. Имеется поверхность, гомеоморфная сфере. Имеется линия, целиком лежащая внутри тела, которую ограничивает эта поверхность. Причём эта линия пересекается с поверхностью в двух точках. Будем считать, что поверхность гладкая в окрестности точек пересечений. Значит можно найти углы межу этой линией и точками пересечений. Вдоль линии задано векторное поле, постоянное по модулю. В других точках можно считать для удобства, что векторное поле нулевое. Так поток этого векторного поля равен по модулю в этих двух точках (несмотря на то, что углы пересечения линии и поверхности разные). Хотя в одной точке поток идёт внутрь поверхности, а в другой точке - наружу.

Это мои представления, описанные словами. В чём суть проблемы, пока не улавливаю.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1681320 писал(а):

Имеется линия, целиком лежащая внутри тела, которую ограничивает эта поверхность. Причём эта линия пересекается с поверхность в двух точках.

Если мы продолжаем про "поверхность, на тянутую на контур", то в одной! Либо - в нечётном количестве точек.
При четном количестве пересечений суммарный поток ноль, циркуляция по контуру ноль!

Если мы говорим про замкнутую поверхность, то да -- что вошло то и вышло. Поток векторного поля вектора магнитной напряженности ноль в виду его бездивергентности (отсутствия магнитных зарядов).

Пишите яснее :)

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1681322 писал(а):

Если мы продолжаем про "поверхность, на тянутую на контур", то в одной!

Исходно у нас есть кусок поверхности (незамкнутый) и ограничивающий её конур. Мы этот кусок произвольным образом дополнили до замкнутой поверхности. Появилась вторая точка пересечения.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1681324 писал(а):

Исходно у нас есть кусок поверхности (незамкнутый) и ограничивающий её конур. Мы этот кусок произвольным образом дополнили до замкнутой поверхности. Появилась вторая точка пересечения.

Это случай очевидный, да. Поток (поля вектора магнитной напряженности) через такую поверхность -- ноль.

Ладно, похоже словоблудие переходит в терминологическое. Один под поверхностью имеет в виду натянутую на контур, второй её дополнил до замкнутой... Я так полагаю, вам уже всё ясно и понятно, вопрос исчерпан.