Можно ли представить себе ток в виде вектора

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1680744 писал(а):

Причём тут замкнутые поверхности, я не понял.

realeugene в сообщении #1680747 писал(а):

Вот в этом и проблема. Заряд сохраняется, дивергенция тока в стационарном поле равна нулю. А дивергенция - это...

Пока не понял, и где у нас тут замкнутая поверхность, в которой сохраняется заряд? Пошёл думать.

-- Ср апр 02, 2025 13:37:12 --

DimaM в сообщении #1680746 писал(а):

Это будет какой-то странный "интеграл". Настоящий просто равен силе тока, без всяких косинусов.

Я пока беру паузу, чтобы это обдумать.

realeugene в сообщении #1680747 писал(а):

Вот в этом и проблема. Заряд сохраняется, дивергенция тока в стационарном поле равна нулю. А дивергенция - это...

У меня в голове теорема о циркуляции магнитного поля ассоциируется не с теоремой Гаусса-Остроградского, а с теоремой Стокса, в которой замкнутых поверхностей нет. Пошёл думать.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1680749 писал(а):

в которой замкнутых поверхностей нет

Как только у вас появляются две различные поверхности, натянутые на один и тот же контур - у вас появляется и образованная ими замкнутая поверхность. При правильной их ориентации, конечно.

[tupoy_vopros]

мат-ламер в сообщении #1680732 писал(а):

Там ток течёт по скрученной полосе. Я предполагаю, что ничего не изменится, если точно такой же ток (сила тока) будет течь по скрученному проводу в виде спирали. И ответ в учебнике зависит не только от тока, но и от угла скрутки этой полосы (по моему предположению - и провода). Тогда вернувшись в предыдущую тему, логично предположить, что если у нас провод проходит через поверхность, то циркуляция поля на контуре зависит не только от силы тока, но и от угла, под которым ток проходит через поверхность

Я обрезал часть фотографии, потому что та часть не касалась моего вопроса. Возможно она касается Вашего (а может и нет)

[realeugene]

tupoy_vopros
вы не в тему

[tupoy_vopros]

realeugene
Да. Почему то подумал что под проводом имеется ввиду полоса нулевой толщины, которая просто не может идти под наклоном.

[chislo_avogadro]

мат-ламер в сообщении #1680732 писал(а):

при заданной силе тока циркуляция его магнитного поля на заданном контуре зависит от угла захода в этот конур или нет? Четыре ответа говорят, что не зависит. И ТС понял эти ответы именно так, как и я. В то же время смотрим формулу 55.5 из Сивухина, из которой выходит, что зависит.

Там у него $\mathbf j$ это не сила тока. Сила тока вся правая часть.

[мат-ламер]

chislo_avogadro в сообщении #1680798 писал(а):

Там у него $\mathbf j$ это не сила тока. Сила тока вся правая часть.

А я нигде вроде и не писал, что $\mathsf{j}$ - сила тока. Ясно, что это вектор плотности тока. Правая часть - это поток этого вектора через наш контур. Вопрос - равен ли он току идущему по проводу или есть множитель с косинусом? В учебнике Кириченко написано, что эта правая часть есть ток, проходящий через контур (без объяснений и доказательств). В учебнике Иродова тоже ничего не доказывается.

Пусть наш контур есть окружность (которая охватывает круг). Через его центр пусть у нас идёт ток с некоторым вектором плотности тока $j$, который имеет некоторый угол с нормалью к нашему кругу. Разложим его на два вектора. Один перпендикулярный плоскости нашего круга. Второй - параллельный. Так тот, который параллельный, циркуляцию магнитного поля в окружности не создаёт. А тот, который перпендикулярный - создаёт. И именно он определяет поток вектора плотности тока через наш контур. Возможно это именно ток, проходящий через контур , который имел в виду Кириченко. И там появляется множитель в виде косинуса. Думаю это проиллюстрировать, посчитав циркуляцию поля через интеграл (через закон Био-Савара-Лапласа).

[EUgeneUS]

мат-ламер

Если векторное поле бездивергентное, то его наглядно можно представить, как поле скоростей в несжимаемой жидкости.
А теперь, внимание, вопрос: расход воды в кубометрах за секунду - это вектор или не вектор?

(Оффтоп)

очевидно, это не вектор. Это число. Которое, впрочем, может быть как положительным, так и отрицательным

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1680726 писал(а):

У нас векторное поле состоит из одного вектора.

realeugene в сообщении #1680727 писал(а):

Это противоречит определению понятия векторного поля.

DimaM в сообщении #1680728 писал(а):

А как это будет по-русски?

Ток течёт по проводу. Его толщиной пренебрегаем. Отличные от нуля векторы плотности тока располагаются вдоль провода. Вне провода векторное поле вектора плотности тока нулевое.

мат-ламер в сообщении #1680726 писал(а):

Это векторное поле целиком проходит через наш контур, как-бы его не наклоняй.

DimaM в сообщении #1680728 писал(а):

Тот же вопрос.

Тут виноват, неточно выразился. Наш провод с током целиком проходит внутри нашего контура. (Ну, или контур обхватывает наш провод с током). Обходных путей нет.

DimaM в сообщении #1680728 писал(а):

Для нормальных рассуждений нужно определить вектор плотности тока (с обобщенными функциями, ага) и записать его поток через выбранную поверхность.

Пусть у нас поверхность - круг. В центре круга задан вектор плотности тока. (Он один). Обобщённые функции пока выписывать не буду. Нас интересует интеграл от потока вектора (равный, собственно, потоку вектора, поскольку у нас ненулевой вектор один). Так этот интеграл равен собственно скалярному произведению вектора плотности тока на единичный вектор нормали к центру нашего круга. Тут и возникает злосчастный косинус.

-- Ср апр 02, 2025 18:25:30 --

EUgeneUS в сообщении #1680831 писал(а):

мат-ламер

Если векторное поле бездивергентное, то его наглядно можно представить, как поле скоростей в несжимаемой жидкости.
А теперь, внимание, вопрос: расход воды в кубометрах за секунду - это вектор или не вектор?

Ну, вы сами дали очевидный ответ на очевидный вопрос. Но тут напрашивается интересная аналогия. Пусть у нас есть винтовая трубка, по которой течёт жидкость с определённой скоростью. И она вложена в трубу большого диаметра. Так скорость течения жидкости вдоль большой трубы меньше, чем скорость её течения в винтовой трубке. В соленоиде то же самое. Ток, текущий по проводу, не равен току, текущему вдоль соленоида. Он разлагается на две составляющие. Соответственно ток, протекающий через контур, охватывающий соленоид, не равен току, текущему по проводу.

-- Ср апр 02, 2025 18:33:10 --

мат-ламер в сообщении #1680732 писал(а):

Я чуток вспомню формулы и отвечу на все заданные мне вопросы.

Вроде, на все вопросы ответил.

-- Ср апр 02, 2025 19:02:04 --

мат-ламер в сообщении #1680834 писал(а):

Вроде, на все вопросы ответил.

Но, понятней от этого не стало. Возвращаясь к винтовой трубке (сравнивая её с прямой трубкой), скорость движения воды вдоль большой трубы меньше, чем если бы труба была прямая. Однако, воды в винтовой трубке больше. Поэтому поток вдоль трубки сохраняется. Возвращаясь к электрическому току. Если ток представить как заряды, летящие с определённой скоростью, то их скорость вдоль соленоида будет меньше. Однако, и плотность зарядов будет больше. Поэтому и поток вектора плотности тока вдоль соленоида сохранится. Тогда получается, что поле вне соленоида не зависит от угла намотки соленоида. А вот поле внутри зависит.

-- Ср апр 02, 2025 19:18:56 --

Значит я не правильно понял, что пишет Иродов. У него вначале есть вектор плотности тока, идущий по проводу в виде полосы. Он его раскладывает на две составляющие - вектор плотности тока, идущий вдоль соленоида и вектор плотности тока, который крутится вокруг соленоида. Причём первый вектор постоянен и не зависит от угла закручивания провода. А второй - переменен и от угла зависит.

Видимо Иродова неправильно прочитал. Надо будет перечитать.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1680834 писал(а):

Ток, текущий по проводу, не равен току, текущему вдоль соленоида.

Равен, если соленоид это провод, однократно намотанный спиралью вокруг цилиндра, соответственно ток втекает в него с одной стороны (торца цилиндра на который намотана катушка-соленоид), а вытекает с другой (другого торца цилиндра).
Тогда через любую плоскость/сечение перпендикулярную оси (для простоты) такого соленоида, протекает один и тот же ток.
Это следует из первого закона Кирхгофа (бездивергентности тока: сколько втекает столько же и вытекает в любой точке, ток нигде не капливается и не пропадает).
Конечно, тут везде стационарный случай.

P.S. Соленоиды бывают разные. "Идеальный" это такой, вдоль которого ток не течет. Это набор замкнутых колец с током просто... Тогда, если у нас есть контур, охватывающий такой соленоид, мы натягиваем на контур поверхность, которая пройдёт между колец с током, не пересечёт ни одного, и циркуляция магнитного поля по этому контуру будет ноль.

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1680859 писал(а):

Равен, если соленоид это провод, однократно намотанный спиралью вокруг цилиндра, соответственно ток втекает в него с одной стороны (торца цилиндра на который намотана катушка-соленоид), а вытекает с другой (другого торца цилиндра).

Спасибо, я уже и сам об этом написал чуть позже.

wrest в сообщении #1680859 писал(а):

Тогда через любую плоскость/сечение перпендикулярную оси (для простоты) такого соленоида, протекает один и тот же ток.

Более того, поток вектора плотности тока через поверхность не зависит от угла наклона, под которым ток пересекает (весь) эту поверхность. Это понятно, но меня смущало следующее рассмотрение. Пусть вектор плотности тока пересекает нашу поверхность в какой-то точке. Я раскладывал этот вектор на две составляющие - перпендикулярно и параллельно поверхности. И считал циркуляцию для перпендикулярной составляющей. А вот так делать нельзя и это грубая ошибка. Дело в том, что вектор плотности тока задан у нас не в одной точке. И циркуляция не определяется значением вектора сугубо в одной точке. Собственно про это и был стартовый вопрос к вам в этой теме.

Вроде разобрался. wrest . Выражаю благодарность.

-- Ср апр 02, 2025 20:18:15 --

Кстати, насчёт соленоида. Вспомнил, что сам кому-то отвечал лет 10 тому назад насчёт поля реального длинного соленоида вблизи катушки (снаружи его). Я ответил, что это поле определяется с одной стороны током, идущим по проводу. А с другой стороны, силовые линии идущие внутри соленоида снаружи тоже замыкаются.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1680883 писал(а):

А с другой стороны, силовые линии идущие внутри соленоида снаружи тоже замыкаются.

Да, но тема про циркуляцию магнитного поля. А она будет ноль по контуру, охватывающему соленоид, если соленоид намотан в два слоя и провода обмотки будут выходить с одного конца соленоида. Несмотря на вихревой характер поля (замкнутые силовые линии) :) Не путайте поле и циркуляцию его вектора по контуру.

А теорема Гаусса вам не доставляет такого рода сомнений, как теорема Стокса? В случае электростатики, силовые линии от зарядов находящихся внутри замкнутой поверхности, могут торчать через неё черти-как, под самыми разными углами...

И обратите внимание на замечания ранее тут высказанные про бездивергентность тока: если на один и тот же контур натянуты две разных поверхности, то сумма потоков через них -- ноль (при правильном учете ориентации).

[chislo_avogadro]

мат-ламер в сообщении #1680817 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1680798 писал(а):

Там у него $\mathbf j$ это не сила тока. Сила тока вся правая часть.

А я нигде вроде и не писал, что $\mathsf{j}$ - сила тока. Ясно, что это вектор плотности тока.

Возможно, я невнимательно читал. Но вот эта последовательность утверждений.

мат-ламер в сообщении #1680732 писал(а):

при заданной силе тока циркуляция его магнитного поля на заданном контуре зависит от угла захода в этот конур или нет?

(Выделил я).

мат-ламер в сообщении #1680732 писал(а):

Четыре ответа говорят, что не зависит.

И далее вы указываете на 55.5 как опровержение этим 4-м ответам -

мат-ламер в сообщении #1680732 писал(а):

В то же время смотрим формулу 55.5 из Сивухина, из которой выходит, что зависит.

Т.е. якобы эта формула утверждает зависимость циркуляции от угла захода "силы тока" в контур. Но это верно лишь для плотности тока, о чём как раз эта формула.

И вот вижу снова -

мат-ламер в сообщении #1680883 писал(а):

поток вектора плотности тока через поверхность не зависит от угла наклона, под которым ток пересекает (весь) эту поверхность.

Для плотности как раз зависит. Просто потому, что площадь, через которую проходит векторное поле, уменьшается при её наклоне. А ваша пометка "весь" наводит на мысль, что вы силу тока и плотность тока смешали в одну кучу. Поправьте меня, если ошибаюсь.

мат-ламер в сообщении #1680883 писал(а):

Пусть вектор плотности тока пересекает нашу поверхность в какой-то точке. Я раскладывал этот вектор на две составляющие - перпендикулярно и параллельно поверхности. И считал циркуляцию для перпендикулярной составляющей. А вот так делать нельзя и это грубая ошибка.

Почему нельзя? Какую циркуляцию в контуре может дать составляющая тока, лежащая в его плоскости?

[мат-ламер]

chislo_avogadro в сообщении #1680900 писал(а):

Но вот эта последовательность утверждений.

Первая фраза там у меня, не утверждение, а вопрос.

chislo_avogadro в сообщении #1680900 писал(а):

Т.е. якобы эта формула утверждает зависимость циркуляции от угла захода "силы тока" в контур.

Что-такое, угол захода "сила тока", я не знаю и такого не писал (ясно, что сила тока - скаляр).

chislo_avogadro в сообщении #1680900 писал(а):

Т.е. якобы эта формула утверждает зависимость циркуляции от угла захода "силы тока" в контур. Но это верно лишь для плотности тока, о чём как раз эта формула.

От угла захода вектора плотности тока эта формула не зависит (при условии, что весь ток проходит через контур). Спасибо, разобрался.

мат-ламер в сообщении #1680883 писал(а):

Более того, поток вектора плотности тока через поверхность не зависит от угла наклона, под которым ток пересекает (весь) эту поверхность.

chislo_avogadro в сообщении #1680900 писал(а):

Для плотности как раз зависит. Просто потому, что площадь, через которую проходит векторное поле, уменьшается при её наклоне.

Пока я понимаю так, не зависит. Я имею в виду поток векторного поля. Вместе с тем, плотность этого потока зависит (уменьшается при уменьшения угла). А площадь увеличивается. По крайней мере, это очевидно, когда поток вектора плотности тока распределён по поверхности. Для случая, когда ток идёт по проводу пренебрежимой толщины это ещё надо будет обосновать. Подумаю как.

chislo_avogadro в сообщении #1680900 писал(а):

Почему нельзя? Какую циркуляцию в контуре может дать составляющая тока, лежащая в его плоскости?

Разбирался в своих ошибках. Решил, что это главная. Может ещё передумаю.

chislo_avogadro в сообщении #1680900 писал(а):

Какую циркуляцию в контуре может дать составляющая тока, лежащая в его плоскости?

Думаю, что нулевую. В противоположность ей другая составляющая (которая заходит перпендикулярно в контур) уменьшается с ростом угла захода.

[wrest]

мат-ламер
Я бы хотел обратить ваше внимание на математический аспект вопроса.
Из уравнений Максвелла в дифференциальной форме, мы знаем что вектор плотности тока это ротор вектора напряженности магнитного поля, это ключ к вопросу:

$$\operatorname{rot} \mathbf{H} = \mathbf{j} + \dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$

Производная вектора электрической индукции $\mathbf{D}$ по времени равна нулю (случай стационарный), её опускаем.
Могут быть размерные коэффициенты в разных системах единиц, тоже опускаем.
Циркуляция вектора по контуру -- аддитивна. Если мы разделим контур на два перемычкой, то сумма циркуляций получившихся двух контуров будет равна циркуляции по контуру который делили, так как по перемычке идём два раза в противоположных направлениях и эта часть суммы зануляется.
Вот из этой аддитивности циркуляции как раз и растёт формула Стокса, по ктторой циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура выходит равной потоку ротора поля через поверхность, ограниченную контуром. Поток ротора напряженности магнитного поля (из приведенного выше уравнения Максвелла) равен потоку вектора плотности тока, а поток вектора плотности тока равен электрическому току (сумме токов) протекающему через поверхность. Натянутая на контур поверхность это по сути предел последовательности сеток из контуров, циркуляции по которым суммируем, контуры уменьшаются на каждом шаге последовательности и стремямятся в размерах к нулю, а циркуляции по ним стремятся к ротору в каждой точке поверхности. Тут нигде нет никаких косинусов, их извёл ещё Стокс. Это уже готовый результат. Данный нам как одно из уравнений Максвелла в интегральной форме...