Потенциальные силы

[realeugene]

drzewo в сообщении #1669110 писал(а):

И так конфигурационным пространством нашей веселой системы является риманова поверхность логарифма:

$$H=\frac{1}{2}\Big(p_r^2+\frac{p_\varphi^2}{r^2}\Big)+\varphi.$$

Как шаг получения решения - замечательно, но в исходном трёхмерном двумерном физическом пространстве, в котором задача сформулирована, угловая координата циклическая, и целое число оборотов - это история движения тела, а не его состояние.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1669108 писал(а):

Какая разница односвязна область или нет?

большая - группа гомологий отлична от 0, а стало быть не любой цикл является границей. А стало быть не любой интеграл по циклу от замкнутой формы (потенциальной силы) равен 0, но он равен $2\pi n ; n\in\mathbb{Z}$ - то есть малые деформации контура не приведут к изменению разности потенциалов. А именно малые деформации осеова все динамики - я повторил это специално для вас в третий раз

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1669123 писал(а):

А именно малые деформации осеова все динамики - я повторил это специално для вас в третий раз

Но начали-то вы с ошибочного утверждения про глобальное движение тела и неправильности утверждения про бесконечное накопление энергии. А тут оказывается, что ваша энергия вообще определена с точностью до целого числа.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1669108 писал(а):

Ввести однозначную функцию потенциала, разность которой давала бы работу силы по произвольному пути между двумя точками, невозможно. Точка.

и во второй раз повторю можно перейти в накрывающее многообразие - односвязное многообразие где вообще никаких проблем будет с нелнозначностью потенциала, а потом снова спустить в базу - динамика останется той же.

drzewo в сообщении #1669110 писал(а):

отмечалось уже

(Оффтоп)

Дык здесь есть камерад, спец по определениям (в иных контекстах таких называют грамар-наци). Вот приходится мне долдонить по три раз одно и тоже, может до него дойдет таки что для описании динамики достаточно обращение ротора в 0, что бы силу признать потенциальной, и использовать закон сохранения энергии.

ЗЫ

Задумался над вашим решением. Да оно оригинально - я бы никогда не додумался в интегральной форме Пуанкаре-Картана H и P поменять местами. Ну уж больно специфический гамильонинан в задаче с линейным импульсом. Наверное глубокого обобщения (по типу как из функции действия и канонических преобразований получается уравнение Гамильтона-Якоби) врядли получить

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1669130 писал(а):

и использовать закон сохранения энергии.

Вы не можете использовать закон сохранения интегрально, если энергия глобально не однозначная величина. Локально - сколько угодно, хоть для непотенциальных сил.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1669129 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1669123 писал(а):

А именно малые деформации осеова все динамики - я повторил это специално для вас в третий раз

Но начали-то вы с ошибочного утверждения про глобальное движение тела и неправильности утверждения про бесконечное накопление энергии. А тут оказывается, что ваша энергия вообще определена с точностью до целого числа.

(Оффтоп)

Опять как и в разговоре о внутренней энергии - прыжки с пятого га деятое ... Любая энергия в механике определена с точностью до константы - для вас это секрет - ну снова таки почитайте теорему Эмми Нетер , но раз фиксировав константу (например при задании начальных условий) - энергия является первым интегралом - то есть сохраняется на траектории системы... Теперь относительно потенциальной энергии - части энергии зависящей от положения. В четветрый раз если брать гомотопические пути - то есть отличающиеся на границу контура стягиваемого в точку (начало координат в данной задаче исключена), то разность потенциалов не зависит от выбора пути... и гамильтонова и лагранжева динамика строится на вариациях , где по определению вариации определены на стягиваемых контурах... устал... одно и тоже

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1669130 писал(а):

Наверное глубокого обобщения (по типу как из функции действия и канонических преобразований получается уравнение Гамильтона-Якоби) врядли получить

Обобщение есть, называется понижение порядка с помощью интеграла энергии, и , конечно, это не я придумал. Арнольд Мат. етоды..

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1669131 писал(а):

Вы не можете использовать закон сохранения интегрально, если энергия глобально не однозначная величина. Локально - сколько угодно, хоть для непотенциальных сил.

(Оффтоп)

могу. я в накрывающем пространстве работаю... сказки оставьте детям...

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1669134 писал(а):

я в накрывающем пространстве работаю

В накрывающем пространстве координата считает количество оборотов вокруг центра, что исходное пространство не умеет. И энергия - глобально однозначная величина (с точностью до одной глобальной константы, которая исчезает при вычислении разностей). Если энергия глобально не однозначная величина - вы не можете использовать закон сохранения энергии глобально. Именно это я написал. Каким образом ваше накрывающее пространство это опровергает?

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1669130 писал(а):

и во второй раз повторю можно перейти в накрывающее многообразие - односвязное многообразие где вообще никаких проблем будет с нелнозначностью потенциала, а потом снова спустить в базу - динамика останется той же.

Вы совершенно правы в данном случае и накрывающее пространство здесь замечательно работает. Но при переходе к квантовой механике это уже не так (например, эффект Ааронова-Бома).

[realeugene]

Да можно и просто два таких тела попытаться запустить навстречу друг другу. Сталкиваются-то тела не в накрывающем пространстве, а в самом обычном.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1669135 писал(а):

что исходное пространство не умеет.

я знаю - вы вруете в абсолютность пространства.. я не буду сотый раз с вами затевать религиозный спор. Я решаю задачу - и вижу что во всех подобных задачах динамики (с нелдносвязной областью и сингулярными векторными потенциалами) проблем нет - по построению (гамтдьтониан и энергию можно определить которая будет иметь вполне практический смысл)

-- Ср янв 08, 2025 22:51:14 --

realeugene в сообщении #1669135 писал(а):

Именно это я написал. Каким образом ваше накрывающее пространство это опровергает?

молча... в накрывающем пространстве у вас группа гомологий и когомологий равна нулю. Все замкнутые контуры стягиваются в точку, а все замкнутые формы - точны. Нас интересует последний факт - из него следует что если имеется потенциальное поле(1 форма) у которой ротор (внешняя производная равна 0), то эта форма есть внешний дифференциал от некоторой гладкой функции U в данном случае $U(r,\varphi)=\varphi$. Что дает мне право вовсю пользоваться любыми формулами из лагранжево-гамильтонова формализма, в том числе применять закон сохранения энергии, и считать локальные вариации действия и прочяя

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1669145 писал(а):

локальные

Ага. Но не глобальные.

Впрочем, про лагранжеву механику можно вспомнить недавнюю тему про осциллятор и каустики. Не панацея.

pppppppo_98 в сообщении #1669145 писал(а):

то эта форма есть внешний дифференциал от некоторой гладкой функции U в данном случае $U(r,\varphi)=\varphi$

Так чему равна работа силы между точками $(r,\varphi)=\left(1, 0\right)$ и $(r,\varphi)=\left(1, \pi\right)$?
$\varphi$ - угол в исходном пространстве.

[Geen]

realeugene в сообщении #1669146 писал(а):

$\varphi$ - угол в исходном пространстве

Бессмысленный вопрос.

[realeugene]

Geen в сообщении #1669155 писал(а):

Бессмысленный вопрос.

В случае консервативной силы осмысленный.