Помогите понять алгоритм замены одного неравенства другим?

[Cynic]

В первом томе Фихтенгольца в разделе про бесконечно малые величины, есть такой пример предела с доказательством:

И все в нем для меня понятно кроме выделенной желтым частью. Ясно, что он заменил одну дробь другой, при этом не нарушая неравенство. Не понятно по какому алгоритму он это сделал?

[Combat Zone]

Понятно, что первая дробь меньше второй?

[мат-ламер]

Cynic в сообщении #1665966 писал(а):

Не понятно по какому алгоритму он это сделал?

Попробуйте вычесть одну дробь из другой (с приведением к общему знаменателю).

[Anton_Peplov]

мат-ламер в сообщении #1665977 писал(а):

Попробуйте вычесть одну дробь из другой (с приведением к общему знаменателю).

Да не надо ничего никуда приводить. Сравните числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем. Что эти два сравнения говорят о сравнении дробей?

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1665979 писал(а):

Да не надо ничего никуда приводить.

Кстати, да! Но я такого простого затруднения от ТС не ожидал. Сам не потрудился проверить. На дроби вообще не посмотрел. К тому же подумал, что у ТС сомнения, как вообще получена первая закрашенная дробь.

[drzewo]

А что поделить числитель и знаменатель на $n^2$ нельзя было? Странно.

[dgwuqtj]

Тут просто надо как-то грубо оценить дробь, но с сохранением степеней числителя и знаменателя (чтобы не менять асимптотическое поведение). Вот Фихтенгольц и пишет $3 (3 n^2 + 2 n - 4) > 3 (3 n^2 - 4) > 5 n^2$ для знаменателя.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1666004 писал(а):

Тут просто надо как-то грубо оценить дробь, но с сохранением степеней числителя и знаменателя (чтобы не менять асимптотическое поведение

не понимаю, как тождественное преобразование дроби может поменять асимптотику

[Combat Zone]

drzewo, задание на определение предела последовательности.

[drzewo]

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1666014 писал(а):

drzewo, задание на определение предела последовательности.

Что-то вы повадились мне всякую чепуху говорить. Переезжаем в игнорлист.

[Combat Zone]

drzewo в сообщении #1666015 писал(а):

Что-то вы повадились ко мне со всякой чепухой обращаться.

Я задание уточняю, а не обращаюсь к вам. Тоже затейник. ) В игнорлист так в игнорлист, мне по барабану.

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1666011 писал(а):

не понимаю, как тождественное преобразование дроби может поменять асимптотику

А где оно тождественное? Если оценивать как $\frac{5 n - 10}{3 (3 n^2 + 2 n - 4)} < \frac{5 n}{3} < n$, то ничего не получится.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1666017 писал(а):

А где оно тождественное? Если оценивать как $\frac{5 n - 10}{3 (3 n^2 + 2 n - 4)} < \frac{5 n}{3} < n$, то ничего не получится.

а я это не предлагал

-- 18.12.2024, 22:26 --

$$\frac{n^2-n+2}{3n^2+2n-4}=\frac{1-1/n+2/n^2}{3+2/n-4/n^2}$$

стандартный прием для вычисления подобного сорта пределов. В любом учебнике есть

[Combat Zone]

А мужики-то и не знали. Задание, тем не менее, на определение предела. Мне можно и повторить, все равно все пропало.

[Cynic]

Anton_Peplov в сообщении #1665979 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1665977 писал(а):

Попробуйте вычесть одну дробь из другой (с приведением к общему знаменателю).

Да не надо ничего никуда приводить. Сравните числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем. Что эти два сравнения говорят о сравнении дробей?

Понятно, что при $n>2$, $5n-10 < 5n$ и $3(3n^2+2n-4) > 3(3n^2 - 4)$, ну и соответственно неравенство выполняется. Вопрос больше про то, почему выбрано именно такое преобразование? Ведь в принципе ради сохранения неравенства можно было бы выбрать любое преобразование лишь бы неравенство не нарушалось. Например, сразу взять $n^n$ и прийти к выводу, что предел будет $+\infty$. Т.е. вопрос про то какие преобразования допустимы в данном случае? Тождественные понятно, можно проводить при любом раскладе.