Помогите понять алгоритм замены одного неравенства другим?

[Combat Zone]

Cynic
Вы не сможете заставить $n^n$ быть меньше любого сколь угодно малого положительного эпсилон.

И определение предела, равного бесконечности, имеет совсем другой вид - выпишите его и посмотрите. Или хотя бы просто посмотрите. Там неравенство в другую сторону. Попробуйте понять, что сломается.

В общем, преобразования допустимы какие угодно, лишь бы получалась цепочка оценок сверху, самая большая оценка в цепочке неравенств была достаточно простой для решения последнего неравенства (макс. оценка < эпсилон) относительно $n$, притом максимальная оценка была бесконечно малой при $n\to\infty$. Иначе последнее неравенство (меньше эпсилон) при больших номерах $n$ будет нарушаться.

[мат-ламер]

Cynic в сообщении #1666025 писал(а):

Вопрос больше про то, почему выбрано именно такое преобразование?

Я думаю, потому что оно работает.

[Евгений Машеров]

drzewo в сообщении #1665989 писал(а):

А что поделить числитель и знаменатель на $n^2$ нельзя было? Странно.

Не то, чтобы не работало. Но, насколько я понимаю, это самое начало курса, и про асимптотику студентам ещё не говорили, поэтому оперируют "алгеброй 6 класса".

-- 19 дек 2024, 06:56 --

Cynic в сообщении #1665966 писал(а):

Ясно, что он заменил одну дробь другой, при этом не нарушая неравенство. Не понятно по какому алгоритму он это сделал?

0. Не "не нарушая неравенство", а "указав на неравенство". Оно не было дано вначале, а изобретено для дробей по ходу доказательства.
1. Общего алгоритма, боюсь, не укажу. Но два (из многих) работающих приёма есть и здесь видны.
2. Если у дробей совпадают знаменатели, а числитель у одной меньше, то эта дробь меньше (подразумевается, что они положительны).
3. Если у дробей совпадают числители, а знаменатель у одной больше, то эта дробь меньше (та же оговорка).
4. В выкладках пропущена промежуточная дробь, но автор учебника верит, что студенты догадаются, что если у первой дроби и числитель меньше, и знаменатель больше, чем у второй, то первая дробь меньше.

А на вопрос "почему именно так" можно лишь гадать. Полагаю, у автора была задача дать строгое обоснование, пользуясь материалом, доступным студенту 1 курса и не апеллируя к интуиции. Интуиция тут может обманывать, епископ Беркли свидетель, и пока студентам не прочитают про асимптотику, и пока они не прорешают quantum satis задач, надо идти осторожным путём, опираясь только на школьную алгебру (и ни в коем случае не на "начала анализа", хоть они тоже в школьной программе, они как раз на "полуинтуитивном уровне", ради физики).

[drzewo]

Евгений Машеров в сообщении #1666044 писал(а):

Но, насколько я понимаю, это самое начало курса, и про асимптотику студентам ещё не говорили, поэтому оперируют "алгеброй 6 класса".

методическая проблема решения из стартового поста в том, что непонятно откуда $1/3$ взялась. А асимптотика $1/n\to 0$ там используется также как и <<моем>> решении.

[RIP]

drzewo в сообщении #1666067 писал(а):

методическая проблема решения из стартового поста в том, что непонятно откуда $1/3$ взялась.

Просто это пример не на нахождение предела (это идёт позже, когда будут доказаны арифметические свойства предела), а на определение (то есть на проверку того, что данное число является пределом последовательности, исходя из определения предела).

[drzewo]

RIP в сообщении #1666068 писал(а):

Просто это пример не на нахождение предела (это идёт позже, когда будут доказаны арифметические свойства предела), а на определение (то есть на проверку того, что данное число является пределом последовательности, исходя из определения предела).

Ну а если одинаково дешево можно решить обе задачи и нахождения предела и проверки, то почему этого не сделать?

[RIP]

drzewo в сообщении #1666073 писал(а):

Ну а если одинаково дешево можно решить обе задачи и нахождения предела и проверки, то почему этого не сделать?

Просто определение предела довольно сложно для тех, кто с ним сталкивается впервые. Поэтому, прежде чем доказывать свойства предела, имеет смысл разобрать несколько примеров на определение. Наверняка позже показывается, как этот или подобный предел находится способом, который Вы предлагаете.

[Евгений Машеров]

drzewo в сообщении #1666067 писал(а):

методическая проблема решения из стартового поста в том, что непонятно откуда $1/3$ взялась.

Из условия. В котором требуется проверить, не 1/3 ли предел.

[Ёж]

$\frac{5 n - 10}{3 (3 n^2 + 2 n - 4)}< \frac{5 n - 10+10}{3 (3 n^2 + 2 n - 4)-6n}= \frac{5 n }{3 (3 n^2 - 4)}$

[Cynic]

Combat Zone в сообщении #1666026 писал(а):

Cynic
В общем, преобразования допустимы какие угодно, лишь бы получалась цепочка оценок сверху ...

Ну т.е. ни какого особого алгоритма по отбрасыванию членов нет, необходимо просто чтобы неравенство было верно при всех $n$ и было бесконечно малой при достаточно больших $n$?

Получается, что если в подобном случае у нас есть дробь из двух многочленов степеней $k-1$ в числителе и $k$ в знаменателе (пусть переменная будет всё также $n$), мы можем сразу же переходить к дроби $1/n$, не заморачиваясь последовательными преобразованиями? Или все таки есть исключения?

[Dedekind]

Cynic в сообщении #1666101 писал(а):

Получается, что если в подобном случае у нас есть дробь из двух многочленов степеней $k-1$ в числителе и $k$ в знаменателе (пусть переменная будет всё также $n$), мы можем сразу же переходить к дроби $1/n$, не заморачиваясь последовательными преобразованиями?

Можем.

[dgwuqtj]

Всё-таки в подобном случае получится только перейти к дроби $\frac c n$, где константа $c$ может быть довольно большой. Ну и оценка $n > 2$ может на что-то смениться.

[drzewo]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1666085 писал(а):

Из условия. В котором требуется проверить, не 1/3 ли предел.

Если Вам студент задаст вопрос <<откуда взялась $1/3$>> и Вы ему так ответите, то с репутацией на потоке можете проститься.

[Dedekind]

dgwuqtj в сообщении #1666127 писал(а):

Всё-таки в подобном случае получится только перейти к дроби $\frac c n$, где константа $c$ может быть довольно большой. Ну и оценка $n > 2$ может на что-то смениться.

Но на конечный ответ это ведь не повлияет.

drzewo
А что не так в этом ответе?

[drzewo]

(Оффтоп)

Оказывается вопрос уже возникал: post1641403.html#p1641403
Забавно.