Что такое определение?

[katzenelenbogen]

Я всегда думал, что определение - это когда однозначно правильно и без лишних слов (наиболее кратко) вводится новое слово. Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

В вузе оказалось, что определением называют не это. Я не понимал, почему так, был этим недоволен и не хотел, чтобы так было.

Пример: определение предела по Коши и определение предела по Гейне. Два определения.

Невозможно ввести новое слово, когда оно уже один раз введено. Определено.

Я думал: "Зачем это? Определение должно быть одно! Самое простое и удобное, разъясняющее смысл, вводящее новое слово в язык так, чтобы в любом тексте это новое слово и определяющую формулировку можно было всегда заменить местами без какого-либо изменения смысла всего текста. А другие верные утверждения типа "параллелограмм - это плоский четырёхугольник, у которого противолежащие стороны равны", хотя и выглядят, как определения, должны формулироваться в форме теорем, доказываться и называться только критерием. Четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда он плоский и у него противолежащие стороны равны. Зачем называть утверждение про равенство противолежащих сторон определением? Оно же сложнее! Оно по своему виду вынуждает к доказательству! Оно неочевидно, труднее запомнить и понять! Почему в вузе допустима конструкция наличия больше одного определения, а не единственного определения и критериев, как в школе?"

Я не смог с кем-либо тогда это обсудить, но внутренне, хотя бы для себя и в своём мире, думал, что я прав.

Почему критерий являемости какой-то вещи называют определением, и неужели так правильно?

[Mental]

В математике определение — это четкое и точное изложение значения термина или концепции. Определения помогают установить общий язык для обсуждения и анализа математических понятий. Вот несколько ключевых аспектов определения в математике:

Основные аспекты определения
Точность: Определение должно быть ясным и однозначным, чтобы избежать недоразумений.
Сжатость: Определения обычно короткие и лаконичные.
Универсальность: Хорошее определение должно быть применимо в различных контекстах.
Примеры: Часто полезно приводить примеры, чтобы проиллюстрировать определение.

Примеры определений
Число: Математический объект, который используется для счёта, измерения и обозначения порядка.
Множество: Коллекция различных объектов, рассматриваемых как единое целое.
Функция: Отношение между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества соответствует ровно один элемент второго множества.
(chatGPT)

[Евгений Машеров]

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

А другие верные утверждения типа "параллелограмм - это плоский четырёхугольник, у которого противолежащие стороны равны"

Для начала - оно неверное. Рисуем ромб и медитируем.

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

Пример: определение предела по Коши и определение предела по Гейне. Два определения.

Это не два определения одного и того же. Это определения двух разных инструментов для доказательства схождения к пределу.

[wrest]

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

Я всегда думал, что определение - это когда однозначно правильно и без лишних слов (наиболее кратко) вводится новое слово.

Необязательно одно слово. Слов может быть и два (и больше). Например "определенный интеграл", т.к. "строгого" определения слова "интеграл" нет, он всегда какой-то (определенный, криволинейный, повторный и т.п.).
Но в целом так и есть, как вы говорите. Просто это слово и его значение не "отлито в граните" в царском указе навеки вечные, а вводится в рамках какого-то повествования (например курса лекций, который читает конкретный преподаватель, или в рамках конкретного учебника). И в разных повествованиях определяемые слова/термины могут отличаться.

Когда-то в школьном учебнике геометрии равные трегольники называли конгруэнтными

[epros]

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

Пример: определение предела по Коши и определение предела по Гейне. Два определения.

Невозможно ввести новое слово, когда оно уже один раз введено. Определено.

Новое словосочетание (предел по Гейне) вводится впервые.

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

А другие верные утверждения типа "параллелограмм - это плоский четырёхугольник, у которого противолежащие стороны равны", хотя и выглядят, как определения, должны формулироваться в форме теорем, доказываться и называться только критерием. Четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда он плоский и у него противолежащие стороны равны. Зачем называть утверждение про равенство противолежащих сторон определением?

Затем, что это и есть определение, ибо доказывать здесь нечего. В язык введено новое слово - параллелограмм. Это слово до тех пор, пока мы не определим, что оно значит, может быть применено к чему угодно, например, к треугольнику. После того, как мы добавили аксиому, содержащую это слово (а это и есть определение), применять слово "параллелограмм" к треугольнику стало противоречивым.

Я не понимаю, что за проблемы Вы придумываете на пустом месте?

[Anton_Peplov]

Простота, краткость, понятность - все это вещи субъективные. Что лучше принять за определение $X$, а что за необходимый и достаточный критерий $X$, который надо доказывать - это, Вы не поверите, вопрос вкуса.

В этом легко убедиться, взяв в руки больше одного учебника по одному и тому же предмету. Возьмем, например, непрерывность функции. В одних учебниках матанализа непрерывность функции в точке определяется просто: предел функции в точке совпадает со значением функции. В других все расписывается через эпсилон и дельта (фактически в определение непрерывности запихивают определение предела по Коши). Зато не надо вспоминать про пределы.

Далее, в матанализе непрерывность функции на множестве обычно определяется как непрерывность во всех точках этого множества. В учебниках по более продвинутым предметам про непрерывность в точке могут вообще не упоминать, т.к. она мало где нужна, а непрерывность на области определения определять так: "прообраз открытого множества открыт" - и это, согласитесь, очень краткое определение. Но, возможно, не очень понятное для первокурсника, изучающего матан. Особые эстеты могут определять непрерывную функцию как функцию, сохраняющую отношение прикосновения. И это тоже весьма кратко и изящно - и, возможно, более интуитивно, чем любое другое определение. А что такое точки прикосновения, Вы уже узнаете или легко можете узнать. Выбрав любое из этих определений, можно доказать, что все остальные являются необходимыми и достаточными критериями.

В общем, привыкайте к взрослой жизни. Просто, как в школе, не будет уже никогда.

[drzewo]

Anton_Peplov в сообщении #1664441 писал(а):

В этом легко убедиться, взяв в руки больше одного учебника по одному и тому же предмету. Возьмем, например, непрерывность функции. В одних учебниках матанализа непрерывность функции в точке определяется просто: предел функции в точке совпадает со значением функции. В других все расписывается через эпсилон и дельта (фактически в определение непрерывности запихивают определение предела по Коши). Зато не надо вспоминать про пределы.

Добавлю. Вот это:

drzewo в сообщении #1663218 писал(а):

А еще можно развлечения ради проверить, что $f:X\to Y$ непрерывна в точке $x'$ тогда и только тогда когда

$$x'\in \overline A\Longrightarrow f(x')\in \overline {f(A)},\quad \forall A\subset X$$

в монографии Куратовского по топологии является определением непрерывности функции в точке.

-- 11.12.2024, 14:28 --

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

Почему в вузе допустима конструкция наличия больше одного определения, а не единственного определения и критериев, как в школе?"

Потому, что в каждой науке есть своя традиция преподавания, которая исходит из внутренней логики этой науки и задач, которые с помощью этой науки решаются. А в школе эта внутренняя логика часто приносится в жертву педагогическим соображениям.

[Mihr]

Евгений Машеров в сообщении #1664428 писал(а):

Для начала - оно неверное.

Верное.

Евгений Машеров в сообщении #1664428 писал(а):

Рисуем ромб и медитируем.

Ромб является параллелограммом.

-- 11.12.2024, 15:16 --

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

Почему критерий являемости какой-то вещи называют определением, и неужели так правильно?

А что, собственно, в этом такого ужасного или неприятного?

[Booker48]

Mihr в сообщении #1664465 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1664428 писал(а):

Для начала - оно неверное.

Верное.

Антипараллелограмм?

[dgwuqtj]

Booker48 в сообщении #1664471 писал(а):

Антипараллелограмм?

Это уже не четырёхугольник, а просто четырёхзвенная ломаная. Многоугольник определяется как внутренняя часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (ну или как сама простая замкнутая ломаная, если не хочется использовать теорему Жордана).

[Booker48]

dgwuqtj в сообщении #1664476 писал(а):

Это уже не четырёхугольник, а просто четырёхзвенная ломаная.

Квадрат тоже. )))

dgwuqtj в сообщении #1664476 писал(а):

Многоугольник определяется как внутренняя часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной

Это, конечно, вопрос определения, но всякие многоугольники с самопересечениями сторон вполне себе рассматриваются в геометрии как многоугольники.
Здесь, например

[dgwuqtj]

Booker48 в сообщении #1664480 писал(а):

Это, конечно, вопрос определения, но всякие многоугольники с самопересечениями сторон вполне себе рассматриваются в геометрии как многоугольники.

Конечно, а ещё возникают всякие вопросы в духе "могут ли последовательные звенья ломаной лежать на одной прямой".

[Mihr]

katzenelenbogen в сообщении #1664425 писал(а):

определение - это когда однозначно правильно и без лишних слов (наиболее кратко) вводится новое слово

Краткость, конечно, - сестра таланта. Но краткость не должна быть в ущерб пониманию. Приведу пару примеров.

1. Когда я начинал изучать матанализ, прочёл в учебнике Л.Д. Кудрявцева такое определение:

Цитата:

Множеством действительных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

Определение, безусловно, краткое и ёмкое - для тех, кто уже знает, что такое поле, что такое непрерывность (поля), и что такое порядок. Но было ли это определение хоть сколько-нибудь полезным для меня, только начинавшего обучение в вузе? Очевидно, нет: я ещё не знал ни того, ни другого, ни третьего. Пришлось разбираться по другим учебникам. Вопрос: какая радость от такой вот краткости в учебнике?

2. Этот пример относится ко времени, когда я уже сам учил студентов. Иногда, желая выудить из студента хоть что-то, спрашивал: "Ну, что Вы мне сами можете рассказать такого, что Вы действительно знаете?" Студенты, как правило, обожают короткие формулировки: их гораздо легче запомнить чисто механически. Многие первокурсники восклицали что-нибудь вроде: "Я знаю, что такое ранг матрицы!" Я соглашался: "Хорошо, расскажите". - "Это порядок её базисного минора!" - "А что такое базисный минор?" Тут многие возмущались: "Но это уже другой вопрос!". Комментарии, думаю, излишни.

В общем, к тезису о том, что хороши лишь самые короткие определения, я отношусь весьма осторожно.

Бывает и так, что автор какого-нибудь курса (или учебника) вводит собственное определение известного понятия, отличное от общепринятого. Конечно, злоупотреблять такой возможностью не следует. Но в принципе такой подход может быть иногда допустим по соображениям методического характера.
В качестве примера укажу на определение определителя матрицы. В большинстве классических учебников он определяется как сумма произведений элементов матрицы, выбранных из её разных строк и столбцов, взятая со знаком "плюс" или "минус" в зависимости от чётности перестановки вторых индексов элемента (где первые индексы упорядочены по возрастанию). Но вот Д.В. Беклемишев в своём курсе и в своём учебнике использовал внешне непохожее определение. Индуктивное. То есть, сначала автор говорил, что определителем квадратной матрицы первого порядка является единственный элемент этой матрицы, а затем давал формулу, по которой определитель матрицы $n$-го порядка выражается через определители матриц $n-1$-го порядка при $n>1$ (формула использовала разложение определителя по первой строке матрицы). Для построения своего курса он счёл такой подход более удобным. "Имел ли он право" так поступить? Думаю, что да, если по его учебнику учиться оказалось вполне возможным.

В общем, какими могут или какими должны быть определения - вопрос не вполне конкретный (и потому не вполне корректный). Тут нужно уточнять: для какой цели? Для начального знакомства с предметом? Или для совершенствования в нём? А может, ещё для чего-то? После формулировки цели разговор становится более предметным и ясным.

[Cos(x-pi/2)]

Порекомендую топикстартеру книжку (но не знаю, хороший ли это совет, я не математик; математики, возможно, заругают за такую ссылку):

"Доказательства и опровержения", автор И. Лакатос. На русском языке утверждена к печати в АН СССР, изд-во "Наука", 1967 г.; скан в формате djvu доступен на этой странице библиотеки eqworld.

(Читал её примерно полвека тому назад, в студенческом возрасте, и она произвела такое сильное впечатление, что вот запомнилась аж на всю жизнь. Такие там увлекательные диалоги, что, начав читать их, помню, было трудно остановиться; (но до самого конца книги я не добрался, увяз в нюансах). Конечно, это лишь субъективная оценка.)

[drzewo]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1664492 писал(а):

Порекомендую топикстартеру книжку (но не знаю, хороший ли это совет, я не математик; математики, возможно, заругают за такую ссылку):

"Доказательства и опровержения", автор И. Лакатос.

я бы не то что ругаться, а только дисклэймер бы поставил: никакой пользы для понимания математики чтение этого и других философов науки не дает