Бесконечная полуполоса. Поле

[Red_Herring]

amon в сообщении #1659396 писал(а):

снаружи

Что там снаружи--неважно. Решение ищется внутри диска (или снаружи, но тогда у логарифма сингулярность, что некошерно. Это чисто математическая задача, и вопреки физической интуиции совершенно неважно, что происходит вне области.

[pppppppo_98]

Red_Herring в сообщении #1659332 писал(а):

В двухмерной задаче если $\varphi_0=\operatorname{const}$ единственным решением будет $\varphi=\varphi_0$.

Во всей внешней части полосы как изначально в задаче топикстартера? Это неверно... Самый простой пример берем на плоскости заряженный металлический провод с каким-то потенциалом \(\) и рассматриваем одну полуплоскость... эта полуплоскость легким конформным двидением руки превращается в круг. Ну истало быть приеменяем вашу логику... то есть во всей полуплоскости постояггый потенциал... А ве известно , что заряженная бесконечная полуплоскость создает постоянное поле и потенциал растет линейно на бесконечности...

Открываем книгу бытия нумер 8 3 стих https://alexandr4784.narod.ru/l08/l8_gl01_03.pdf страница 27
Тут надо найти само конформное преобразование в полуплоскость - оно и станет решением задачи. Увы я не вижу решения этой задачи топикстартера в поставленной форме... Конформное то преобразование из полуплоскости в вертикальную полосу в аналитической форме найти с помощью интеграла Кристофеля Шварца, А вот обратное преобразование ИМХО не будет аналитическим

[Red_Herring]

Ваш пример жульнический. Почему? Если Вы рассмотрите трехмерную задачу, как описали, то потенциал задается расходящимся несобственным интегралом, т.е. потенциал будет бесконечным. А вот напряженность задается сходящимся несобственным интегралом и она будет постоянной. И тогда мы объявляем что потенциал будет линейным. Т.е. здесь речь идет о напряженности, а потенциал это потом. И задача с самого начала во всем пространстве. А у ТС речь идет о потенциале с самого начала. Смысл простой: в таких задачах в бесконечных областях нужно из каких-либо физических соображений оговаривать с самого начала условия на бесконечности.

[realeugene]

realeugene в сообщении #1659393 писал(а):

Понятно, что решение во внутренности диска будет существовать. И если мне не изменяет память, в эту точку можно конформно отобразить бесконечность, отобразив края полосы в остальную часть окружности. Так что, ненулевое решение всё-таки существует?

Тот факт, что такой диск с одной точкой ненулевого конечного потенциала на окружности можно отразить в полуплоскость, находящуюся при ненулевом конечном потенциале относительно бесконечности, и что решения в потенциалах для такой полуплоскости не существует, намекает на то, что и для диска с точкой другого потенциала на окружности не существует комплексного потенциала, являющегося решением.

[pppppppo_98]

Red_Herring в сообщении #1659402 писал(а):

Ваш пример жульнический. Почему? Если Вы рассмотрите трехмерную задачу,

Ну это не правда. Я изначально рассматривал 2-мерную задачу - пустое полупространство ограниченное равномерно заряженной проволокой - но ввиду не зависимости от координаты z 3- мерная задача - полупространство ограниченное равномерно заряженной полуплоскостью - полностью ей эквивалента, и посему решение будет одинаковым.

Red_Herring в сообщении #1659402 писал(а):

А вот напряженность задается сходящимся несобственным интегралом и она будет постоянной.

я с эти и не спорю...Но у вас поле равно 0 в любой внешней задаче ибо потенциал с ваших слов в любой внешней задаче с любой односвязной области, ограниченной металлической проволокой (ее можно всегда конформным преобразованием свести или в полуплоскость, или в окружность), ибо потенциал с ваши слов постоянен. Не нравится бесконечная проволока - хорошо давайте рассмотрим предельный случай задачи топикстратрера [math]$a\rightarrow 0$[/math - полубесконечная заряженная проволока в 2-мерном пространстве (эквивалентно заряженая металлическая полуплоскость в трехмерном пространстве). Там что тоже потенциал и/или поле будут постоянны?

Цитата:

А у ТС речь идет о потенциале с самого начала.

Нет она о поле изначально. Возможно нечетко сформулирована. Но сформулирована она так

r0ma в сообщении #1659197 писал(а):

Здравствуйте

Есть бесконечная полуполоса с заданным электрическим потенциалом $\varphi_0$. Необходимо найти распределение поля (аналитически).

Цитата:

Смысл простой: в таких задачах в бесконечных областях нужно из каких-либо физических соображений оговаривать с самого начала условия на бесконечности.

Вот тут серьезный косяк я согласен. Ибо в формулировке топикстартер фигурирует потенциал заряда это бесконечной полосы $\varphi_0$, но не сказано к какой точке, а на бесконечности действительно в 2 мерном случае далеко ненулевая асимптотика хоть напряженности поля, хоть потенциала, поэтому и нулевого потенциала по умолчанию нет.

[Red_Herring]

pppppppo_98 Когда я называл пример жульническим, я имел в виду, что он записан в физической постановке, отсутствующей в задаче ТС. Вот если б вместо равномерно заряженной плоскости (очевидно из диэлектрика), была бы заряженная проводящая плоскость, то все бы поменялось--бесконечный заряд разбежался бы на бесконечность и все стало бы нулем.

[pppppppo_98]

Red_Herring в сообщении #1659425 писал(а):

была бы заряженная проводящая плоскость, то все бы поменялось--бесконечный заряд разбежался бы на бесконечность и все стало бы нулем.

а с чего он бы разбежался на бесконечность, если на любом бесконечном элементе точно такая же металическая пластина в котором не хватает (или в избытке) какото-то количество электронов(одинакового). Но в целом задача трансляционно инвариантно (вдоль плоскости или прямой в зависимости 2 мерный или 3 мерный случай вы рассматриваете)... Это сродни задачам космологии фридмана с бесконечным трехмерным изохронным сечением ПВ, в котором равномерно распределено вещество..

[amon]

pppppppo_98 в сообщении #1659433 писал(а):

а с чего он бы разбежался на бесконечность

Как я понимаю, уважаемый Red_Herring возражает против постановки задачи "бесконечная байда с заданным на ней потенциалом". Постановка, действительно, кривая. На бесконечной плоскости или палке задается плотность заряда, а не потенциал. Для всяких бесконечных хреновин потенциал в кулоновской калибровке становится недоопределенной штукой, и его задание не определяет решение. Впрочем, уважаемых ТС r0ma интерес к обсуждению, похоже, потерял и на вопросы по постановке не отвечает.

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1659433 писал(а):

а с чего он бы разбежался на бесконечность

С того. что есть куда, бесконечность она такая. Помните отель с бесконечным (счетным) число мест, полный, и туда прибывает счетное количество групп, в каждой из которых счетное число туристов--и всем место находится? Поэтому с бесконечностью надо обращаться осторожно, особенно в стационарных задачах.

[r0ma]

Прошу прощения, на день выпал из дискуссии.

1. Да, полоса полубесконечная вверх (или любая удобная ориентация: полубесконечная вправо,влево, вниз. Я выбрал полубесконечная вверх (по мнимой оси при аналитическом продолжении в комплексную плоскость))
2. Электростатика. Полуполоса заряжена постоянным равномернораспределённым потенциалом $\varphi_0$. Ноль на бесконечности с противоположной стороны
3. Вопрос найти распределение электрического поля, создаваемого этой полосой во вне. Задача двумерная ($x,\ y$)

Вообще изначально ставился вопрос как найти распределение поля в конденсаторе с полубесконечными обкладками (рисунок прилагаю). На обкладках потенциалы $-\varphi_0$ и $+\varphi_0$. Моё первое предположение это рассмотреть задачу с одной обкладкой, найти решение, а потом попробовать симметризовать (типа как метод отражений). Решаема задача с одной обкладкой или нет я пока сам не понимаю (опыта не хватает). Ответ хочется в аналитическом виде хотя бы в каком-то приближении (наверняка, численные расчёты конденсатора есть, но мне бы формулку). Хотел пробовать решать через интеграл Пуассона, задача Дирихле с гран. условиями. По поводу формулы Кристофеля-Шварца вроде как не подходит, потому что распределение надо найти во внешней области. Внутри обкладок потенциал постоянен. Наверное, можно пробовать полуполосу отображать в окружность и искать распределение вне её, но встал вопрос об обратном преобразовании. В общем прошу прощения за столь абстрактную формулировку, думаю пока дальше. Может кто-то сталкивался с подобным и может указать на какие-то отправные точки. Литературы много, но она в основном вся сосредоточна на математических преобразованиях, физических примеров мало.

[Geen]

r0ma в сообщении #1659445 писал(а):

а потом попробовать симметризовать (типа как метод отражений).

А почему Вы думаете, что задача с двумя "обкладками" хоть сколько-нибудь похожа на задачу с одной? Ведь совсем разное распределение зарядов.

[amon]

r0ma в сообщении #1659445 писал(а):

Да, полоса полубесконечная вверх

"Предчувствия его не обманули". То есть, Вы рассматриваете двумерную полосу, и считаете, что это двумерная система? Если так, то все, что здесь написано выше к этой задаче отношения не имеет и конформные преобразования здесь неприменимы. Электростатическая задача считается двумерной, если поле лежит в плоскости и не зависит от координаты, перпендикулярной этой плоскости. Для двумерной металлической полоски это не так. Поле торчит во все стороны. Аналитическое решение для такой задачки вряд ли найдется, хотя уравнение написать можно. Насколько я помню, получается уравнение обтекания прямоугольного крыла Прандаля, решение которого неизвестно.

[realeugene]

r0ma в сообщении #1659445 писал(а):

предположение это рассмотреть задачу с одной обкладкой, найти решение, а потом попробовать симметризовать (типа как метод отражений).

Можно симметризировать, разместив исходно в плоскости симметрии проводящую пластину с нулевым потенциалом. И рассматривая пластину исходного конденсатора в полуплоскости, ограниченной этой пластиной с нулевым потенциалом.

Только, подозреваю, что никто опять так и не понял, что за задачу вы считаете? Ёмкость дифференциальной пары?

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1659481 писал(а):

никто опять так и не понял, что за задачу вы считаете?

Обычно, если это не ясно сразу, то проясняется странице к пятой-десятой. Что совершенно не мешает "плодотворному" её обсуждению.