Бесконечная полуполоса. Поле

[Ende]

Serg53
Два предупреждения за безграмотность в тематическом разделе уже было, теперь будет недельный бан.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1659272 писал(а):

Расходимость в бесконечности интеграла от $1/r$

Этот нюанес что мешает расчету конденсатора, или поля однородно-заряженной пластины...

[Red_Herring]

Мы говорим о потенциале как решении уравнения $\Delta \phi = \delta$, и тогда в рамерности $n=2$ потенциал $u= \frac{1}{2\pi}\ln (r)$, а в размерности $n\ge 3$ будет $u=\sigma r^{2-n}$. Случай $n=2$ странный: потенциал растет на бесконечности и добавив константу получим другое решение, которое ничем не хуже (в других размерностях это не так).

[pppppppo_98]

Red_Herring в сообщении #1659296 писал(а):

потенциал растет на бесконечности и добавив константу получим другое решение

ну можно от потенциала прямо к полю перейти . - один раз продифференцировав потенциал. Уравнение Лапласа от этого не изменится - а линейная компонета исчезнет (останется правда постоянная но уже проще). Тем более и спрашивают у человека найти распределение поля, а не потенциала.

ЗЫ

Не могу понять решение что ли сводится к интегралу типа $\int\limits_0^z dz\,\frac{(1-z^2)^{\frac{1}{2}}}{(1+z^2)^2}$

Этот интеграл Вольфрам схавал $\frac{1}{4} \left(\frac{2 \sqrt{1-z^2} z}{z^2+1}+\sqrt{2} \arctg \left(\frac{\sqrt{2} z}{\sqrt{1-z^2}}\right)\right)$...только обратную функцию не найти

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1659296 писал(а):

Случай $n=2$ странный: потенциал растет на бесконечности

В данном случае всё ещё более странно, так как вдоль одного луча на бесконечности потенциал задан и равен $\varphi_0$. Поначалу я подумал, что подразумевается, что потенциал на бесконечности нулевой. Но тогда непонятно, что делать с этим лучом? Да и логарифм расходится. Но если мы можем самостоятельно принимать потенциал на бесконечности каким угодно, давайте примем его $\varphi_0$ всюду.

Но вообще-то утверждение из условия задачи про величину потенциала полосы без задания референсной точки с нулевым потенциалом - глупость и бессмыслица. Потенциал определён с точностью до константы. ТС должен привести условие своей задачи полностью.

[pppppppo_98]

мда с заданием потенциала как то не айс... Но видна асимптотика. Из нижней части - чем дальше от оси х , тем больше вся картинка будет выглядеть как плоскость с малым по толщине разрезом - в предель нулевым. А плоскость с разрезом переводится в полуплоскость как известно квадратным корнем...

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1659304 писал(а):

В данном случае всё ещё более странно

Я писал о потенциале точечного заряда.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1659311 писал(а):

Я писал о потенциале точечного заряда.

Да, конечно. Точечный заряд - пример точного решения с логарифмической расходимостью потенциала в бесконечности в двумерии. Если бы ненулевое решение поля для потенциала, заданного константой на луче, существовало, то в двумерном случае потенциал должен бы бы расходиться в бесконечности также логарифмически и по тем же самым причинам: напряженность должна была бы убывать как $1/r$.

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1659303 писал(а):

а линейная компонета исчезнет (останется правда постоянная но уже проще)

Нет, исчезнет постоянная компонента и напряженность поля (в отличие от потенциала) будет определяться однозначно.

[pppppppo_98]

Red_Herring в сообщении #1659319 писал(а):

Нет, исчезнет постоянная компонента и напряженность поля (в отличие от потенциала) будет определяться однозначно.

Тут похоже заряд еще бесконечен ... Даже не плоская система -одно мерная система

[Red_Herring]

Кажется, у всех (меня включительно) мозги запорошило. В двухмерной задаче если $\varphi_0=\operatorname{const}$ единственным решением будет $\varphi=\varphi_0$. Действительно, эта область конформно отображается на стандартную (например, единичный диск), причем конкретное выражение для отображения неважно, и задача Дирихле сводится к задаче Дирихле в диске, а там будет именно такое решение. Со всеми злую шутку сыграла несуществующая аналогия с трехмерным случаем, причем с внешней областью.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1659332 писал(а):

В двухмерной задаче если $\varphi_0=\operatorname{const}$ единственным решением будет $\varphi=\varphi_0$. Действительно, эта область конформно отображается на стандартную (например, единичный диск)

А если на границе диска задать одну точку с нулевым потенциалом?

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1659389 писал(а):

А если на границе диска задать одну точку с нулевым потенциалом?

Формула Пуассона известна, считайте.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1659392 писал(а):

Формула Пуассона известна, считайте.

Давно забыта, но при необходимости можно вспомнить, конечно. Понятно, что решение во внутренности диска будет существовать. И если мне не изменяет память, в эту точку можно конформно отобразить бесконечность, отобразив края полосы в остальную часть окружности. Так что, ненулевое решение всё-таки существует?

[amon]

Red_Herring в сообщении #1659332 писал(а):

В двухмерной задаче если $\varphi_0=\operatorname{const}$ единственным решением будет $\varphi=\varphi_0$. Действительно, эта область конформно отображается на стандартную (например, единичный диск), причем конкретное выражение для отображения неважно, и задача Дирихле сводится к задаче Дирихле в диске, а там будет именно такое решение.

Это если потребовать непрерывность производных, если не требовать, то возможно $\varphi=\varphi_0$ внутри диска и $\varphi=\ln r+C$ снаружи.