2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Признаки делимости.
Сообщение21.08.2008, 10:25 


23/01/07
3415
Новосибирск
Пока учебный год не начался, думаю, не очень отвлеку, если поспрашаю про признаки делимости.

Начнем с делимости чисел на $ 11 $.

1. Число делится на $11 $, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на $ 11 $.

Кто еще какие признаки знает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вот в этой брошюрке: Воробьев Н.Н. — Признаки делимости вопрос рассмотрен всесторонне.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 10:39 


23/01/07
3415
Новосибирск
Красивая книжка...
с подписью: "Скачать книжку с нашего сайта нельзя". :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 10:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
А poiskknig на что?

http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8+%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&network=1

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 12:13 


23/01/07
3415
Новосибирск
Brukvalub, PAV , спасибо!
Посмотрел книжку Н. Н. Воробьева. "Признаки делимости" и нашел, что хотел.

Ранее странным показалось, что среди признаков делимости на $11$ в Инете не нашел, такой:
2. Число делится на 11, если сумма двойных разрядов делится на 11.
(Например, $ 143564 $ на $11$ не делится, т.к. на него не делится $14+35+64=113 $, в отличии от числа $143561 $).

Сам признак то может и не столь существенен, как тот принцип, на котором он основывается.

Т.е. имеется число $ n $, делимость на которое необходимо проверить число $ m $.

Необходимо найти такое $ k $, чтобы
$ 10^k\equiv 1\pmod {n} $. (1)

После этого число $ m $ разбивается на $k$ разрядов, находится сумма полученных чисел (из $k$ разрядов), которая затем проверяется делится ли она на $n$.

Все такие операции можно производить в любой системе счисления. Тогда вместо $ 10 $ в выражении (1) подставляем соответсвующее основание.
Особенно интересным, мне показалось, что делимость на $7$ можно проверить, разбив любое число по три разряда в двоичной системе (что очень удобно для компьютера :) ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Признаки делимости.
Сообщение21.08.2008, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Батороев писал(а):
1. Число делится на $11 $, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на $ 11 $.

Кто еще какие признаки знает?
Я знаю другой признак деления на 11:
Число делится на $11 $, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком $-$) делится на $ 11 $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 13:03 


23/01/07
3415
Новосибирск
Со знаком + удобнее вычислять остаток, если число все же не делится на $11$. :)

 Профиль  
                  
 
 Признаки делимости
Сообщение21.08.2008, 13:08 


21/08/08
2
Москва
Еще для 11:
Если сумма всех нечетных, начиная с конца цифр, и сумма всех четных цифр, умноженная на 10, делится на 11, то и все число делится на 11, это легко проверяется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 13:21 


23/01/07
3415
Новосибирск
Мне, главным образом, хотелось обсудить тот принцип, который я описал в посте №5 в данной теме.

Но коль пошла такая пьянка :D

Тогда, вот такой (из любимых :) ):

Число делится на $ 11 $ ( $7,13$), если знакопеременная сумма из трех разрядов числа делится на $ 11 $ ($7, 13 $).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Все признаки делимости сводятся к факторизации чисел, состоящих главным образом из девяток (вариант: нулей). А дальше банально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 17:19 


08/05/08
954
MSK
Как доказать признак делимости, например на 3?

 Профиль  
                  
 
 Признаки делимости
Сообщение21.08.2008, 17:35 


21/08/08
2
Москва
Любое число можно написать, разбив по разрядам. На пример для 3-х значного числа это будет выглядеть так: a+10b+100c, где a,b и c - цифры единиц, десятков и сотен соответственно. Теперь выделим часть, которая при любых значениях переменных будет кратна трем: 9b+99c+a+b+c. Чтобы все число было кратно трем, надо чтобы и a+b+c было кратно трем, а это на самом деле сумма цифр этого числа. Чтобы число делилось на 3 достаточно,чтобы его сумма цифр делилась на 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 18:09 


23/01/07
3415
Новосибирск
ИСН писал(а):
Все признаки делимости сводятся к факторизации чисел, состоящих главным образом из девяток (вариант: нулей). А дальше банально.

Мне все же кажется, что для определения признаков делимости можно использовать несколько принципов.

Например, такой:
Допустим, имеется число в десятичной записи:
$A =a_n...a_4a_3a_2a_1a_0 $
Для того, чтобы определить делится ли данное число на $ 7 $, можно рассмотреть остатки степеней десятки или, что эквивалентно, степеней тройки по основанию $7$.
$3^0\equiv 1\pmod {7} $
$3^1\equiv 3\pmod {7} $
$3^2\equiv 2\pmod {7} $
$3^3\equiv 6\pmod {7} $
$3^4\equiv 4\pmod {7} $
$3^5\equiv 5\pmod {7} $
$3^6\equiv 1\pmod {7} $
. . . . .

Тогда одним из признаков делимости числа $ A $ на $ 7 $ может служить делимость на него выражения:
$ ... +a_6+5a_5+4a_4+6a_3+2a_2+3a_1+a_0 $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.08.2008, 20:54 


23/01/07
3415
Новосибирск
Для проверки делимости числа на число, превышающее $10$, например на $13$, можно использовать степени ста:
$ 100^0\equiv 1\pmod {13} $
$ 100^1\equiv 9\pmod {13} $
$ 100^2\equiv 3\pmod {13} $
$ 100^3\equiv 1\pmod {13} $
$  .  .  .  .  .  .  . $

Тогда признаком делимости числа $ A $ на $13$ может служить делимость на него выражения:
$ ....+ (a_7a_6) + 3(a_5a_4)+9(a_3a_2)+(a_1a_0)  $.

p.s. Это возможно потому, что разбивая любое число в десятичной системе по два разряда, мы тем самым "переводим" его в $100$-чную систему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.08.2008, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
7, 11, 13:
$...a_9a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 \equiv (a_2a_1a_0)-(a_5a_4a_3)+(a_8a_7a_6)-...$

По сути, известные мне признаки деления на нечётное число сводятся к выбору степени $10^k$ для которой $n|10^k \pm 1$.

Например, $...a_9a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 \equiv (a_2a_1a_0)+(a_5a_4a_3)+(a_8a_7a_6)+...$ по модулям $27$ и $37$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group