Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[Утундрий]

Ещё раз, точечно:

drzewo в сообщении #1654799 писал(а):

пока там гладкие решения искали прогресса не было.

Это полный бред.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1654800 писал(а):

Мягко говоря, ерунда. И структура ударной волны и взаимодействие упругих сред прекрасно описываются в терминах достаточно гладких функций.

Если уравнение позволяет. Для этого в уравнение вводится искусственная вязкость, единственным обоснованием которой иногда будет "хочу, чтоб было гладенько".

Пример: Модельным уравнением одноместной газовой динамики является уравнение бюргера без вязкости:

$$u_t + (u^2)_x=0.$$

И там возникают со временем разрывы (скачки), кроме как если начальная функция монотонно неубывает. Если ввести вязкость

$$u_t + (u^2)_x=\mu u_{xx}, \ \mu>0$$

то скачков не будет, но структура решения возле бывших скачков более сложная.

Пример: Навье-Стокс в размеренности 3. Там существование глобального гладкого решения пока не выяснено, но если ввести искусственную "вязкость" $=-\varepsilon \Delta^2 u$ (именно $-\varepsilon \Delta^2$), то будет глобальное гладкое решение, но если кто за такое решение потребует Приз Тысячелетия, то вместо него разделит (со многими) почетное звание придурка.

[RobinGood]

Red_Herring в сообщении #1654804 писал(а):

уравнение бюргера без вязкости:

$$u_t + (u^2)_x=0.$$

Двоечку забыли

[Red_Herring]

RobinGood в сообщении #1654810 писал(а):

Двоечку забыли

А что, без двоечки что-нибудь существенно изменится? Моя двоечка, куда хочу, туда и ставлю. Замену переменных вы уже проходили?

[amon]

Theoristos в сообщении #1654712 писал(а):

Ну так, и каково решение минимизирующее действие?

Вот здесь написан ответ для любого негладкого потенциала. Если что непонятно - спрашивайте.

[RobinGood]

Red_Herring
Уравнение должно распутывать, а не запутывать Оно описывает простейшую физическую ситуация - когда молекулы двигаются по прямой с постоянной скоростью (у каждой своя)

[Red_Herring]

peregoudov в сообщении #1654163 писал(а):

истинная мировая линия соответствует наименьшему действию только до первой фокальной точки.

А в некоторых примерах наименьшего действия просто нет:

1. $L = \frac{1}{2}\dot{x^2}-\frac{1}{4}x^4 $. Если взять начальную и конечную точки 0, а время T, то на $x(t)= K \sin (\pi t/T)$ с $K\to \infty$ действие стремится к $-\infty$.

2.  Если же рассмотреть волновое уравнение, то $S=\int_0^T \int_0^\pi (u_t^2-u_x^2)\dxdt$ опять таки неограниченно снизу.

-- 15.09.2024, 16:44 --

RobinGood А что, без двоечки этого не будет? Вижу, что замену переменных вам еще не читали..

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1654814 писал(а):

1. $L = \frac{1}{2}\dot{x^2}-\frac{1}{4}x^4 $. Если взять начальную и конечную точки 0, а время T, то на $x(t)= K \sin (\pi t/T)$ с $K\to \infty$ действие стремится к $-\infty$.

Так локальный минимум тут есть. Для достаточно малой окрестности траектории $x(t)=0$.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1654815 писал(а):

Так локальный минимум тут есть

Да, локальный есть. Но в принципе наименьшего действия, как его понимают некоторые, слово "локальный" отсутствует.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1654817 писал(а):

Но в принципе наименьшего действия, как его понимают некоторые, слово "локальный" отсутствует.

Не, это уже давно пройденный этап для "некоторых". А вот что делают с волновым уравнением, где локального минимума таки нет?

А, ну да, стационарность же.

[RobinGood]

Red_Herring в сообщении #1654814 писал(а):

RobinGood А что, без двоечки этого не будет? Вижу, что замену переменных вам еще не читали..

Да я уже не про двочку с заменой уравнения, а вообще просамо уравнение. Нафига оно нужна, если физически это просто каждая молекула летит с определенно скоростью? Вообще всем этим навье стоксам и прочим место в картинной галерее, ибо намного физичнее все рассматривать методом частиц в ячеек, и прочих схем там

-- 16.09.2024, 01:47 --

realeugene
А вы решили исходную задачу по нахождению минимума?

[Red_Herring]

RobinGood в сообщении #1654819 писал(а):

Нафига оно нужна,

Цитата:

невежды судят точно так -- в чем толку не поймут, то все у них пустяк

[realeugene]

amon в сообщении #1654149 писал(а):

При $x(0)=0,\,\dot x(0)=0$ точка живет там вечно в силу сохранения энергии.

А уравнения Гамильтона на этой траектории, также, не определены. Можно ли утверждать, что энергия должна сохраняться, если мы не можем получить из постулатов даже уравнения движения на траектории?

[RobinGood]

Red_Herring в сообщении #1654820 писал(а):

невежды судят точно так -- в чем толку не поймут, то все у них пустяк

Прочел ту басню Крылова, но ведь для петуха жемчужное зерно и вправду бесполезно

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1654821 писал(а):

А уравнения Гамильтона на этой траектории, также, не определены

Ох, вам уже предлагалось на выбор
1. пополнить в топологии
2. сгладить и перейти к пределу
3. вместо уравнений рассмотреть включения: $\frac{d p}{dt}\in - V'(x)$ где для $V(x)=\pm |x|$
$V'(x)=\left\{\begin{aligned} & \{\pm 1\} &&x>0,\\ & [-1,1] && x=0,\\ &\{\mp 1\} &&x<0,\end{aligned}\right.$
и вам все не нравится. Я вижу только один выход: в точке 0 повесить табличку $\framebox{\framebox{\text{будьте любезны, идите, пожалуйста в ректум }}}$ и на этом закончить дискуссию.

RobinGood в сообщении #1654823 писал(а):

Прочел ту басню Крылова, но ведь для петуха жемчужное зерно и вправду бесполезно

Ну если вам хочется сравнивать себя с петухом, то, тогда, конечно.