Пусть я бросаю монетку до того момента, как у меня выпадут
орлов подряд. Сколько в среднем бросков мне понадобится?
Допустим, я хочу найти вероятность того, что мне потребовалось
бросков (
, очевидно). Тогда последние из них - это
орлов, это повлияет на вероятность, но с ними все ясно. Предыдущая обязана быть решка, их все отбросим. Очевидно, что в предыдущих не должно быть
орлов подряд, этого будет достаточно. Но сколько таких комбинаций существует?
Обозначим
количество комбинаций из
нулей и единиц, скажем, в которой нет
единиц подряд. Тогда можно составить милую рекуррентную формулу:
В принципе, из этой формулы нужно получить нужное значение. В целом можно даже решить это линейное однородное разностное уравнение (интересно, что поскольку, очевидно, характер роста тут как минимум экспоненциальный, можно сделать вывод, что корни у характеристического уравнения все действительны, или нет?), только как его решишь, да и даже если решишь, ответ не будет слишком полезен (сумма
-ных степеней иррациональных чисел, дающая натуральные числа, не особо полезно).
С другой стороны, моделирование показывает, что зависимость в любом случае не какая-то простая... возможно, только так ответ и получается, и он будет "кривой". Что скажете?