подбрасываем монетку. что раньше ОО или ОР

[gris]

Обнаружили в ютюбе. Сам я ролик ещё не смотрел, но к ответу призвали. Значит, признали
Начинаем подбрасывать монетку. Что в среднем выпадет раньше: два орла или орёл-решка подряд.
Говорят, что надо цепи Маркова, либо матожидания. И заодно найти среднее число бросков до победы.
Я так попробовал:
берём случайный достаточно длинный вектор из нулей и единиц. И смотрим, что выпало раньше: 00 или 01. И на каком шаге. Считаем, считаем миллион раз.
Например
1100110
Тут победила 00 на броске 4.
1010000
Тут победила 01 на броске 3.
У меня получилось
n00=500760 n01=499240
k00=3.0031 k01=3.0014
То есть каждая комбинация выпадает с одинаковой вероятностью в среднем на третьем броске.
Мне сказали, что неправильно.
Что не так

(PARI/GP code очень наспех)

n00=0; n01=0; 
k00=0; k01=0; 
for( ii=1,1 000 000,
   m=vector(24, i, random(2)); \\print(m);
   for( j=1,23, 
     if(m[j]==0 && m[j+1]==0, k00=k00+j+1; n00++; break);
     if(m[j]==0 && m[j+1]==1, k01=k01+j+1; n01++; break);
   );
   \\print(n00," ",n01);
); print(n00,"    ",n01); print((k00+0.0)/n00,"    ",(k01+0.0)/n01);

[мат-ламер]

gris в сообщении #1619736 писал(а):

Мне сказали, что неправильно.
Что не так

Я думаю, что компьютерный эксперимент не является доказательством.

-- Сб ноя 25, 2023 12:48:04 --

gris в сообщении #1619736 писал(а):

Говорят, что надо цепи Маркова, либо матожидания. И заодно найти среднее число бросков до победы.

И где такое говорят?
Да, процесс марковский. Результат очередного подброса не зависит от предыдущих выпадений. Бросаем монетку. Наконец нам выпал орёл. А какой результат и с какой вероятностью мы можем ожидать в следующем броске?

[sergey zhukov]

gris
Возможные последовательности будут представлять собой РРРР...ОX, где Р - решка, О - орел, X - то или другое. Сначала идет серия Р любой длины (от нуля). Число тех последовательностей, где Х - это Р, будет равно числу тех, где Х - это О. Так что они равновероятны. А средняя длина последовательности - это сумма произведений длины последовательности на вероятность ее получения по всем последовательностям. Вероятность получить последовательность, в которой сначала идут $k$ Р, а потом ОХ, будет $2\frac{k+1}{2^{k+1}}=\frac{k+1}{2^k}$. Длина ее $k+2$. Тогда средняя длина последовательности будет
$S=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{(k+1)( k+2)}{2^k}=11$

[KhAl]

sergey zhukov писал(а):

Вероятность получить последовательность, в которой сначала идут $k$ Р, а потом ОХ, будет $2\frac{k+1}{2^{k+1}}=\frac{k+1}{2^k}$

$\frac{1}{2^{k+1}}$, а сумма будет $3$.
и вы своим рассуждениям верите больше, чем эксперименту...

[мат-ламер]

gris в сообщении #1619736 писал(а):

И заодно найти среднее число бросков до победы.

А что у нас есть победа? Если победой считается выпадение хотя бы одной из двух описанных комбинаций, то нам достаточно для начала подсчитать, а сколько раз нам в среднем надо бросать до выпадения орла.

[mihaild]

Всё так.
Что за ролик и комментарии - не знаю, но, весьма вероятно, комментаторы путают две задачи: на каком месте будет выигрывшая кобминация, и какой она будет (то, что Вы решили), и просто на какой в среднем позиции будет каждая из комбинаций в первый раз. Тут несколько неинтуитивный результат - хотя шансы выиграть у каждой комбинации одинаковые (и тут не надо ничего считать - чтобы узнать победителя, надо дождаться первого орла, и посмотреть, что после него), но вот средняя позиция первой ОР меньше средней позиции первой ОО (тут уже надо считать, но интуитивно - для обеих комбинациях нам надо дождаться орла, но для ОР нам надо после этого просто дождаться решки, неудача возвращает нас на текущий шаг, а вот для ОР мы, если не повезло, оказываемся отброшены назад, и нам опять надо дожидаться орла, прежде чем появятся шансы на комбинацию).

[sergey zhukov]

KhAl
Ой, зачем-то лишний раз на $(k+1)$ умножил. Да еще и на два зачем-то. Конечно, вероятность последовательности будет $\frac{1}{2^{k+1}}$, а средняя длина $S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k+2}{2^{k+1}}=3$

-- 25.11.2023, 14:27 --

mihaild
Я вот тоже про эту путаницу подумал. Скажем, что в случайной последовательности можно стретить чаще ОО или ОР? Если взять случайную последовательность и подсчитать там все ОО и все ОР, то последних будет меньше. Потому что ОО частично перекрываются, а ОР - нет. Скажем, в последовательности ОООО три ОО. А в последовательности ОРОР только две ОР.

[gris]

Спасибо за внимание. Разумеется, компьютерный результат это лишь возможность через несколько минут получить прикидку для теоретических рассуждений.
Тут интересно вот что: если просто кидать монетку много раз без остановки, то в среднем 01 выпадает на 4 броске, а 00 на 5.8. Иногда комбинация встречается очень далеко.
Что если каждый игрок подбрасывает свою монетку синхронно. Тогда кажется, что комбинация 01 должна побеждать. По здравому смыслу.
Вот и эксперимент провёл:
ОО: 462668 выигрывает в среднем на 2.95 броске
ОР: 677614 выигрывает в среднем на 2.01 броске
если одновременно получают результат, то получают по одному очку. Если у обоих выпадают только решки, то ничего не получают. Бывает, но редко.
Дисклеймер: орлы или решки не имеют преимущества. Можно их переименовать как угодно.
А если монетка одна на двоих получается ничья.
Посмотрю ролик и окажется, что там совсем другое условие. Только интересанты уже махнули на ролик руками и ставят свои условия

[Geen]

Как всегда, есть две разные, хоть и похожие, задачи. Поэтому основной вопрос состоит в выяснений того, что именно спрашивается.
Тут уже почти всё осветили. И года три назад была более подробная тема (поискал, но не нашёл).
Но позволю себе (скорее для себя) сформулировать.
В варианте 1 эксперимент состоит в том, что мы бросаем монетку пока не выпадет орёл, после чего может выпасть что угодно и мы прекращаем эксперимент. Прибавляем 1 либо к ОО, либо к ОР (можем длину эксперимента учесть).
В варианте 2 мы бросаем монетку пока не выпадет решка. Если это произошло при первом броске, то ничего никуда не прибавляем, а иначе к ОР прибавляем 1, а к ОО прибавляем длину эксперимента минус 2.

Альтернативное описание. Возьмём очень длинную строку О и Р и посчитаем сколько раз в ней встретится ОО и ОР. Разница между вариантами в том, как считать ОООО - как два раза ОО или как три раза.

[realeugene]

(Оффтоп)

KhAl в сообщении #1619748 писал(а):

и вы своим рассуждениям верите больше, чем эксперименту...

Привильная постановка вопроса такая: "И вы верите своим рассуждениям больше, чем моему эксперименту?"

[sergey zhukov]

gris в сообщении #1619756 писал(а):

Вот и эксперимент провёл:
ОО: 462668 выигрывает в среднем на 2.95 броске
ОР: 677614 выигрывает в среднем на 2.01 броске

Мы с вами кидаем каждый свою монету, у кого раньше выпала нужная комбинация, то и победил? Вы хотите сказать, что ОР побеждает, т.к. выпадает в среднем на втором броске, а ОО - на третьем? Или я не так понял? А как же:

gris в сообщении #1619736 писал(а):

То есть каждая комбинация выпадает с одинаковой вероятностью в среднем на третьем броске.

[gris]

sergey zhukov, ой, отвлёкся. Не могу быть постоянно в компе
Вот что я имел в виду:
1. Монетка одна на двоих. Кидает вообще третий человек. Если сначала выпадает 00, то добавляется один балл первому и серия бросков прекращается. Если сначала выпадает 01, то добавляется один балл второму и серия бросков прекращается. Легко установить, что просто нолик появляется в среднем на втором броске. То есть в среднем на третьем броске игра заканчивается с равными вероятностями выигрыша первого и второго.
2. У каждого своя монетка, которую каждый бросает одновременно и независимо. Игра заканчивается, если у первого игрока появляется 00 или у второго 01. Вот если бы игра не прекращалась одновременно, то первый игрок получал бы свою 00 в среднем на третьем своём броске, а второй на втором броске. Но балл получает тот, у кого свой результат получается не позже соперника. А при принудительном прекращении первый просто не успевает получить свою 00. В среднем, конечно. Иногда и первый выигрывает.

[sergey zhukov]

Я понял. Как и сказал mihaild: если я хочу получить ОО и игнорирую все ОР, пока не получу ОО, то да, я буду ждать дольше, чем когда я хочу получить ОР и игнорирую все ОО, пока не получу ОР. Если после О идет Р, а я хочу ОО, то мне теперь нужно кидать монету не менее двух раз. Если же после О идет О, а я хочу ОР, то мне можно кинуть монету и один раз. Это если у каждого игрока своя монета.

А если у них одна монета на двоих, и они кидают ее до получения либо ОО, либо ОР, то да - это будет ничья.

Интересно. Вначале кажется, что разницы между одной и двумя монетами нет. Но на самом в случае одной монеты мы говорим о последовательностях РРР...ОO и РРР...ОР, а в случае двух монет мы говорим о двух последовательностях, XXXP...OO и YYY...ОР, причем в последовательности XXX нет ни одного ОО, а в последовательности YYY нет ни одного ОP. В среднем XXXP...OO длинее, чем YYY...ОР.

Можно даже сказать, что в одном случае нужно получить в конце комбинацию POO, а в другом - ООР или РОР.

[mihaild]

sergey zhukov в сообщении #1619755 писал(а):

Скажем, что в случайной последовательности можно стретить чаще ОО или ОР? Если взять случайную последовательность и подсчитать там все ОО и все ОР, то последних будет меньше. Потому что ОО частично перекрываются, а ОР - нет

Если считать перекрытия (т.е. формально считаем, например, число позиций, с которых начинается либо ОО, либо ОР) - то одинаково. Потому что вероятность попадания любой позиции в список одинаковая, а мат. ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий даже для зависимых событий.
Так что среднее число вхождений подстроки в случайную строку данной длины зависит только от длины подстроки. А вот позиция первого вхождения - не только.
Кстати и какая подстрока встретится раньше тоже зависит не только от длины. Например между ОО и ОР ничья, как и между ОО и РР. А вот РО у ОО по первому вхождению выигрывает (потому что ОО выигрывает только на строках, начинающихся с ОО).

[sergey zhukov]

mihaild
Да, это я ошибся. Если разбить случайную строку на пары символов и подсчитать среди этих пар доли ОО, ОР, РО и РР (т.е. подсчет без перекрытий), то все они окажутся равными $\frac{1}{4}$. А чтобы учесть перекрытия, нужно сдвинуть рамку разбиения на один символ и снова подсчитать долю тех же ОО, ОР, РО и РР. Очевидно, что они все снова окажутся равными $\frac{1}{4}$. Т.е. от состава строки ничего не зависит.