Согласовать единицы измерения

[kefi]

Dedekind в сообщении #1635430 писал(а):

kefi в сообщении #1635425 писал(а):

Для нелинейных моделей это применимо ?

Вполне, почему бы и нет. https://people.tamu.edu/~phoward/m469/s ... stems2.pdf

Не нашел как-то на вскидку для моей формы ( p [$\frac{\verb ] , h и х [см] , s [см$^2$] , к [$\frac {\verb ] , m[кг] , t [с] ) нелинейности :
$\frac{p h s}{(h+x)} + k \frac {dx}{dt} - m = m \frac {d^2x}{dt^2} $
...

PS. И да, - как я понимаю, при обезразмеривании (правда, не вижу пока,каким образом) такое уравнение не требует писать множитель 1/100g , согласующий единицы измерения в правой части

?

[Dedekind]

kefi
Как это у Вас в знаменателе расстояние с давлением складывается?

[kefi]

Dedekind
опечатка - исправил . Вообще говоря, в другом уравнении у меня там есть в знаменателе полином 2 степени от $\verb

[Dedekind]

kefi
Ага, понятно. Ну, тут кажется естественным выбор характерного масштаба для расстояния - $h$. Попробуйте исходя из этого (и условия нормализации коэффициента, скажем, перед первой производной) подобрать характерный масштаб времени. Я подробно не проверял, это так, на уровне идеи.

[Cos(x-pi/2)]

kefi
Уравнение

$\frac{p h s}{(h+x)} + k \frac {dx}{dt} - m = m \frac {d^2x}{dt^2} $

неправильное, так как слагаемое $m$ в левой стороне и правая сторона $m \frac {d^2x}{dt^2} $ очевидным образом имеют разную размерность. Не знаю, нужно это Вам ещё, или уже нет, но на всякий случай привожу полностью, вместе с рассуждениями, ответ (как он мне видится) на ваш вопрос из стартового сообщения "Какой множитель нужно поставить у ускорения, чтобы разрешая дифф. уравнение 2 з-на получить расстояние в см ?"

(вывод уравнения)

1) В скобках около обозначений величин буду указывать те единицы измерения, с которыми численные значения величин должны входить в уравнение, чтобы уравнение было заведомо правильным.

Заведомо правильной будем считать запись равенства (все слагаемые которого обязательно имеют одну и ту же физическую размерность) в общеизвестной системе СИ. Исходные правильные равенства мы затем преобразуем к равенствам с нужными Вам единицами измерения. Т.е. в исходных равенствах у нас будут: $\text{Н}$ - единица силы, $\text{кг}$ - единица массы, $\text{м}$ - единица длины, $\text{c}$ - единица времени. Единицы массы и времени не станем менять, поэтому для краткости их явное обозначение около величин не буду выписывать; будем помнить, что это $\text{кг}$ и $\text{c}.$

Начнём с уравнения статики, нужного вам типа: некая сила $F_{(\text{Н})}$ уравновешивает некую силу тяжести $m_{(\text{кг})}g_{(\text{м/с}^2)},$ где $g=9.8\,\text{м/с}^2$ есть ускорение свободного падения. У нас $g$ будет везде обозначать только эту указанную величину (или более точное её значение, если оно потребуется для численного расчёта), поэтому далее единицу измерения около буквы $g$ не выписываю. Итак, вот верное уравнение статики:

$$F_{(\text{Н})}-mg=0 \qquad (\text{I})$$

Обозначим

$$P_{(\text{кгс})}=\frac{1}{g}F_{(\text{Н})}$$

Разделив (I) на $g,$ получаем ваше уравнение (1):

$$P_{(\text{кгс})}-m_{(\text{кг})}=0$$

Сила в единицах "килограмм-сила", будучи обычной силой, делённой на ускорение свободного падения, имеет ту же физическую размерность, что и масса; поэтому здесь нет ошибки, хотя $P$ и $m$ здесь имеют формально разные единицы измерения. Таким образом, чтобы получать уравнение, в которое силу нужно подставлять в единицах $\text{кгс},$ мы будем члены верного уравнения Ньютона делить на $g.$


2) Исходное правильное уравнение динамики нужного Вам типа имеет вид:

$$F_{(\text{Н})}-mg+K_{(\text{H}\cdot\text{c}/\text{м})}\frac{dx_{(\text{м})}}{dt}=m\frac{d^2x_{(\text{м})}}{dt^2}\qquad (\text{II})$$

Разделим (II) на $g$ и обозначим

$$k_{(\text{кгс}\cdot\text{c}/\text{м})}=\frac{1}{g}K_{(\text{H}\cdot\text{c}/\text{м})}$$

Получилось уравнение динамики, в которое силы входят в единицах $\text{кгс}:$

$$P_{(\text{кгс})}-m+k_{(\text{кгс}\cdot\text{c}/\text{м})}\frac{dx_{(\text{м})}}{dt}=m\frac{1}{g}\frac{d^2x_{(\text{м})}}{dt^2}$$

3) Теперь введём преобразование от длин в $\text{м}$ в длины в $\text{см},$ чтобы их можно было подставлять в указанное уравнение динамики:

$$x_{(\text{м})}=\frac{1}{100}\,x_{(\text{см})}\,,\qquad k_{(\text{кгс}\cdot\text{c}/\text{м})}=100\,k_{(\text{кгс}\cdot\text{c}/\text{см})}$$

Таким образом, вот уравнение динамики с величинами в желаемых Вами единицах:

$$P_{(\text{кгс})}-m_{(\text{кг})}+k_{(\text{кгс}\cdot\text{c}/\text{см})}\frac{dx_{(\text{см})}}{dt_{(\text{с})}}=m_{(\text{кг})}\frac{1}{g\cdot 100}\,\frac{d^2x_{(\text{см})}}{dt_{(\text{с})}^2} \qquad (\text{III})$$

Для уравнения (III) начальное значение $x$ надо задавать в $\text{см},$ начальное значение $\frac{dx}{dt}$ надо задавать в $\text{см}/\text{с}.$ Присутствующая в правой стороне в знаменателе величина $g\cdot 100$ это (приблизительно) $980\,\text{см/с}^2.$ Видно, что с размерностями слагаемых в (III) всё нормально.

[kefi]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1635476 писал(а):

kefi
Уравнение

$\frac{p h s}{(h+x)} + k \frac {dx}{dt} - m = m \frac {d^2x}{dt^2} $

неправильное, так как слагаемое $m$ в левой стороне и правая сторона $m \frac {d^2x}{dt^2} $ очевидным образом имеют разную размерность.

Да, Спасибо. Очень доступное изложение все , за исключением

Цитата:

Сила в единицах "килограмм-сила", будучи обычной силой, делённой на ускорение свободного падения, имеет ту же физическую размерность, что и масса; поэтому здесь нет ошибки, хотя $P$ и $m$ здесь имеют формально разные единицы измерения.

Кмк, именно и надо соблюсти корректно формальность в ед. измерения в обеих частях уравнения (и Вы допускаете ту же некорректность в уравнении статики. что и я ) .По моему, нужно писать в левой части $M$ [кГс], в отличие от правой $m$ [кг] (При решении уравнения численные значения этих величин будут равными) . И , что важно - $g$ , на который делится - это не ускорение свободного падения (!), а множитель, численно ему равный и, вообще говоря , имеющий размерность [Н/кгс], а не [м/$c^2$ ]

-- 06.04.2024, 10:48 --

Dedekind в сообщении #1635461 писал(а):

kefi
Ага, понятно. Ну, тут кажется естественным выбор характерного масштаба для расстояния - $h$. Попробуйте исходя из этого (и условия нормализации коэффициента, скажем, перед первой производной) подобрать характерный масштаб времени. Я подробно не проверял, это так, на уровне идеи.

Кстати, кмк , преобразование к безразмерному виду модели не решит проблему единиц, если уравнение исходно записано так, как у меня без множителя $1/100g$ в правой части . Кроме того, видимо, все таки не все уравнения доступны для такого преобразования .

[Cos(x-pi/2)]

kefi

kefi в сообщении #1635488 писал(а):

Кмк, именно и надо соблюсти корректно формальность в ед. измерения в обеих частях уравнения (и Вы допускаете ту же некорректность в уравнении статики. что и я ) .По моему, нужно писать в левой части $M$ [кГс], в отличие от правой $m$ [кг] (При решении уравнения численные значения этих величин будут равными) . И , что важно - $g$ , на который делится - это не ускорение свободного падения (!), а множитель, численно ему равный и, вообще говоря , имеющий размерность [Н/кгс], а не [м/$c^2$ ]

Ну если Вам так представляется удобнее рассуждать, то пожалуйста. Отчасти Вы правы. Просто, из ваших первых сообщений можно было подумать (я так и подумал), что Вам важна не "словесная обвязка" уравнений, а чтобы уравнение давало именно приемлемый численный результат, когда в вашу готовую компьютерную программу Вы вводите численные данные, определённые в указанных Вами единицах.

Поэтому я попробовал показать Вам быстрый и довольно очевидный способ перевода прототипа написанного Вами уравнения (как для статики, так и для динамики) из стандартной формы СИ в форму, удобную для ваших численных данных. Чтобы, как говорится, главным было - "ехать", а не - "с шашечками".

Подобным способом, бывало, я сам много раз пользовался, когда приходилось вычислять что-то по величинам, заданным в каких попало единицах, нередко во внесистемных. Нас так и учили считать. Ошибок не возникало. В этом способе можно вообще не произносить всю вереницу слов, нужных лишь для корректного согласования с формулировками описаний разных систем единиц из справочников. Т.е. можно не сопровождать комментариями и указаниями единиц все размерные переводные коэффициенты (некоторые из них численно равны единице, а другие возникли когда-то лишь по историческим причинам, в них и запутаться легко). Можно просто писать равенства между величинами, исходя из их физического смысла.

Физический же смысл, как показывает жизненный опыт, наилучшим образом улавливается равенствами с величинами в единицах с размерностью длины $L$, массы $M$ и времени $T,$ (и c их степенями и произведениями). Например, такой системой является СГС - с единицами сантиметр, грамм, секунда; можно и другие единицы выбрать, например, аршин, центнер, час; главное, чтобы с размерностями $L,M,T.$

А вот система СИ в значительной своей части это, образно говоря, исторически сложившийся список фамилий: Ньютон, Паскаль, Джоуль, Ватт, Герц, Ом, Тесла, Ампер, ... Поэтому СИ менее удобна для анализа уравнений физики (в СИ появляется, например, не равная единице "диэлектрическая проницаемость вакуума", не имеющая физ. смысла, и т.п.) .

Но те уравнения физики, которые имеют одинаковый вид в СИ и СГС, нам годятся; в частности, - уравнение Ньютона $F=m\,d^2x/dt^2.$ Так как СИ более (чем СГС) распространена cреди физиков-техников, то я воспользовался ею.

Чтобы не путаться, следует в трактовке, о которой веду речь, различать понятия "размерность величины" и "единица измерения величины". Размерность величины это тип, сорт величины; это её физ. смысл (поясняемый множеством примеров). Величина типа "длина" это не "время", и не "масса", и т.п; размерность величины нельзя произвольно поменять. Единица же измерения величины может быть выбрана по-разному, она указывает лишь на выбранный эталон величины данного типа. Опыт показывает, что все известные фундаментальные законы физики могут быть представлены равенствами с величинами, размерности которых выражаются через $L,M,T.$ Не исключаю, что этот факт сам является важным законом физики.

Размерности слагаемых в верном уравнении физики должны быть одинаковыми. А единицы измерения величин в уравнениях могут быть разными, они могут отличаться в "разы", которые будут присутствовать в уравнениях в роли некоторых численных коэффициентов.

В уравнении $F=m\,d^2x/dt^2$ параметр $m$ имеет размерность $M,$ переменная $x$ имеет размерность $L,$ переменная $t$ имеет размерность $T.$ Поэтому вся правая часть имеет размерность $ML/T^2.$ Значит, такую же размерность имеет левая часть, т.е. размерность силы $F$ есть $ML/T^2.$ Ускорение $a=d^2x/dt^2$ имеет размерность $L/T^2.$

В СИ сила величиной $1\,\text{кг}\cdot 1\,\text{м/с}^2$ получила название $1\,\text{Н}.$

В одной из старинных систем единиц вводилась единица силы $1\,\text{кгс}$ (в 1960-х годах этому учили на уроках физики в школах), это сила, равная $ma$ при $m=1\,\text{кг}$ и ускорении, равном ускорению свободного падения вблизи поверхности Земли: $a=g=9.8\,\text{м/с}^2.$

Проще говоря, сила $1\,\text{кгс}$ равна земному весу $mg$ тела массой $1\,\text{кг}:$

$$1\,\text{кгс}=1\,\text{кг}\cdot g=9.8\,\text{Н}$$

Из этого равенства видно, что $\text{кгс}$ является более крупной единицей силы, чем $\text{Н}.$ А именно: $\text{кгс}$ больше, чем $\text{Н},$ в $9.8$ раз. Подчеркну, что в этой трактовке число $9.8$ я считаю безразмерным "числом раз", в которое отличаются две разные единицы измерения силы с одинаковой размерностью $ML/T^2.$

Собственно, вот только этот факт - во сколько раз отличается "кгс" от "ньютона" - и важен для преобразования уравнения Ньютона из системы СИ в систему, в которой сила измеряется в $\text{кгс}.$ Важное притом простое рассуждение такое. Пусть, нам задана величина $F_{(\text{кгс})}$ силы в единицах $\text{кгс}.$ Знаем, что в заведомо правильное уравнение Ньютона, записанное в системе СИ, мы должны подставить $F_{(\text{Н})},$ т.е. силу в ньютонах. Т.к. "ньютон" мельче, чем "кгс", то количество "ньютонов" будет в $9.8$ раз больше заданного количества "кгс":

$$F_{(\text{Н})}=9.8\,F_{(\text{кгс})}$$

Подставив это в уравнение Ньютона, видим, что оно принимает вид

$$9.8\,F_{(\text{кгс})}=m\,\frac{d^2x}{dt^2}$$

(где $m,x,t$ по прежнему измеряются в единицах СИ, т.е. в $\text{кг},\;\text{м},\;\text{с}).$ Очевидным образом это уравнение можно записать и в эквивалентном виде, - разделив обе стороны на число $9.8.$

Численно эквивалентное уравнение получается и в том случае, если разделить уравнение не просто на безразмерное число $9.8,$ а на величину $g=9.8 \, \text{м/с}^2,$ имеющую размерность ускорения. Тогда получается уравнение, в котором все слагаемые имеют размерность массы:

$$\frac{9.8}{g}\,F_{(\text{кгс})}=m\,\frac{1}{g}\,\frac{d^2x}{dt^2}$$

Здесь левая сторона, т.е. $\frac{9.8}{g}\,F_{(\text{кгс})},$ численно равна всё тому же самому количеству $F_{(\text{кгс})}$ единиц "кгс". Только, строго говоря, её единицей измерения теперь служит один $\text{кгс},$ поделённый на одну единицу ускорения $\text{м/с}^2,$ - это величина с размерностью массы. Численно сила $F_{(\text{кгс})}$ как раз равна той массе, весом которой определяется данная сила.

Если вернуться к уравнению с силой в ньютонах (т.е. в систему СИ), подставив $F_{(\text{кгс})}=\frac{1}{9.8}\,F_{(\text{Н})},$ то уравнение примет вид

$$\frac{1}{g}\,F_{(\text{Н})}=m\,\frac{1}{g}\,\frac{d^2x}{dt^2}$$

В нём левая сторона, т.е. $\frac{1}{g}\,F_{(\text{Н})}$ численно равна $F_{(\text{кгс})}.$ Если среди слагаемых в $F_{(\text{Н})}$ есть $mg,$ то оно превращается в $m$ - это величина, измеряемая в $\text{кг}.$ Такое уравнение я и предложил Вам для работы с $F_{(\text{кгс})}.$ Поводом послужило ваше утверждение, что ваше уравнение статики (1) даёт верные количественные результаты.

P.S. Разбивка $F$ на конкретные слагаемые определяется конкретикой ваших моделей. Хотя я написал в предыдущем сообщении уравнение просто по предложенному Вами прототипу, но не всё в нём мне понятно. Например, уравнение статики могло бы быть векторным: $\vec{F_p}+m\vec{g}=0.$ Если обобщить его до уравнения динамики, добавив в правую часть вектор $m\,d^2\vec{x}/dt^2,$ а в левую часть силу сопротивления $-k\,d\vec{x}/dt$ (она обязательно должна быть противоположной по направлению к вектору скорости $d\vec{x}/dt),$ и перейти к одномерным проекциям, то неочевидно, что получатся именно те знаки численных слагаемых, которые указаны в ваших уравнениях. В принципе, правая часть может оказаться и с минусом, или параметр $k$ будет отрицательным. Всё это Вам, как автору моделей, виднее.