2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 12:10 


29/10/21
74
Показать, что множество $E=\{(x,\sin\frac{1}{x}) \in \mathbb{R}^2|x>0\}\cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x=0\wedge \left\lvert y\right\rvert \leq 1\}$ является связным, но не локально связным.
Как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 12:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Даже со связностью непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 12:52 


29/10/21
74
dgwuqtj в сообщении #1634502 писал(а):
Даже со связностью непонятно?

Рассмотрим два открытых множества M, N из определения связности. И точка (0,0) принадлежит одному из них, пусть это M. Так как множество M открытое, то точки справа от (0,0) тоже должны быть в этом множестве. Пусть $s = \sup\limits_{}\delta,\delta>0, (\delta,p) \in M, p \in [-1;1]$. Если точка (s,k) лежит в M, то из-за открытости, в M должны быть и точки у которых абсцисса больше s. Но это невозможно по построению. Если (s,k) лежит в N, то тоже из-за открытости, точки с абсциссой меньше s должны быть в N, что тоже невозможно по построению. Я пытался так, но мне кажется где-то ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 13:18 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 13:58 


29/10/21
74
dgwuqtj в сообщении #1634509 писал(а):
Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).


Пусть существует путь (x(t),y(t)): $x(0)=0,y(0)=0, x(1)=a>0,y(1)=0$
Рассмотрим $s = \sup\limits_{} t, t \in [0;1], x(t)=0.  $. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а, $t \in [s;1]$. И можно подобрать такую последовательность $t_n$ сходящуюся к s, что $x(t_n)$ сходится к 0, а $y(t_n)$ будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).

-- 28.03.2024, 14:06 --

dgwuqtj
Если доказать линейную несвязность, из этого следует локальная несвязность?.

-- 28.03.2024, 14:10 --

-- 28.03.2024, 14:12 --

dgwuqtj в сообщении #1634509 писал(а):
Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

Получается мы же всегда можем найти точку у которой абсцисса больше чем у максимального. Тогда противоречие с максимальностью. Либо мы можем продолжить М до бесконечности, а из этого будет следовать, что N пусто. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 14:16 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Gg322 в сообщении #1634512 писал(а):
Пусть существует путь (x(t),y(t)): $x(0)=0,y(0)=0, x(1)=a>0,y(1)=0$
Рассмотрим $s = \sup\limits_{} t, t \in [0;1], x(t)=0.  $. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а, $t \in [s;1]$. И можно подобрать такую последовательность $t_n$ сходящуюся к s, что $x(t_n)$ сходится к 0, а $y(t_n)$ будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).

Да, с линейной несвязностью всё так. Из этого и топологической связности следует, конечно, что ваше множество не локально линейно связно (в $(0, 0)$). Более того, локально связные метризуемые компакты всегда локально линейно связны, так что ваше множество и не локально связно в той же точке.

Насчёт связности, вы начали с $(0, 0) \in M$. Далее делаете вывод, что $(x, y) \in M$ при некотором $x > 0$ (если имело в виду, что при всех достаточно малых $x > 0$, то это из открытости $M$ не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что $M$ содержит и все точки с большими абсциссами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 14:36 


29/10/21
74
Цитата:
Насчёт связности, вы начали с $(0, 0) \in M$. Далее делаете вывод, что $(x, y) \in M$ при некотором $x > 0$ (если имело в виду, что при всех достаточно малых $x > 0$, то это из открытости $M$ не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что $M$ содержит и все точки с большими абсциссами.

Я не совсем понял. М открыто, поэтому оно содержит и точки у которых абсцисса больше 0, в малой окрестности. Это вроде правда ещё. Когда мы переходим к супремуму по таким абсциссам, то точка же с такой абсциссой существует. И теперь мы смотрим ее малую окрестность. Но снова из-за открытости будет какая-то точка у которой абсцисса больше, а этого не может быть. В этом месте проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:01 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
$M$ содержит точки, у которых маленькая абсцисса и ордината. А это не все точки с малой абсциссой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:17 


29/10/21
74
dgwuqtj в сообщении #1634522 писал(а):
$M$ содержит точки, у которых маленькая абсцисса и ордината. А это не все точки с малой абсциссой.

Я кажется понял. А если начать не с нуля, а условно с точки $(3,\sin\frac{1}{3})$. Точно так же будем двигаться налево и направо используя открытость. Правая часть понятна. Левая, найдём инфимум абсцисс. Мы приблизимся к 0 по абсциссе, а там уже все точки множества сможем захватить

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Gg322 в сообщении #1634525 писал(а):
а там уже все точки множества сможем захватить

Да, теперь всё в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:36 


29/10/21
74
dgwuqtjСпасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 16:38 


29/10/21
74
dgwuqtj
Ещё вопрос.
Определение локально связного множества. Множество локально связно, если любая точка обладает связной окрестностью. Это ведь не верно? Просто иначе любое связное пространство локально связно. Как я понимаю надо добавить, чтобы любая окрестность была связна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Gg322 в сообщении #1634536 писал(а):
Множество локально связно, если любая точка обладает связной окрестностью. Это ведь не верно?
Да, неверно. Множество локально связно, если для любой точки и любой её окрестности есть связная подокрестность.
Gg322 в сообщении #1634536 писал(а):
Как я понимаю надо добавить, чтобы любая окрестность была связна
Для этого нужно чтобы любые два непустых открытых множества пересекались, это довольно странные пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 16:58 


29/10/21
74
mihaild
Понял, спасибо. Просто в книге неправильное определение было. И это голову мне ломало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 20:29 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Gg322 в сообщении #1634497 писал(а):
Показать, что множество $E=\{(x,\sin\frac{1}{x}) \in \mathbb{R}^2|x>0\}\cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x=0\wedge \left\lvert y\right\rvert \leq 1\}$ является связным, но не локально связным.
Как это доказать?

Есть общее утверждение: если множество $M$ связно, то его замыкание $\overline M$ тоже связно. Докажите это утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group