Пусть существует путь (x(t),y(t)):
Рассмотрим
. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а,
. И можно подобрать такую последовательность
сходящуюся к s, что
сходится к 0, а
будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).
Да, с линейной несвязностью всё так. Из этого и топологической связности следует, конечно, что ваше множество не локально линейно связно (в
). Более того, локально связные метризуемые компакты всегда локально линейно связны, так что ваше множество и не локально связно в той же точке.
Насчёт связности, вы начали с
. Далее делаете вывод, что
при некотором
(если имело в виду, что при всех достаточно малых
, то это из открытости
не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что
содержит и все точки с большими абсциссами.