2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 12:10 


29/10/21
75
Показать, что множество $E=\{(x,\sin\frac{1}{x}) \in \mathbb{R}^2|x>0\}\cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x=0\wedge \left\lvert y\right\rvert \leq 1\}$ является связным, но не локально связным.
Как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 12:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Даже со связностью непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 12:52 


29/10/21
75
dgwuqtj в сообщении #1634502 писал(а):
Даже со связностью непонятно?

Рассмотрим два открытых множества M, N из определения связности. И точка (0,0) принадлежит одному из них, пусть это M. Так как множество M открытое, то точки справа от (0,0) тоже должны быть в этом множестве. Пусть $s = \sup\limits_{}\delta,\delta>0, (\delta,p) \in M, p \in [-1;1]$. Если точка (s,k) лежит в M, то из-за открытости, в M должны быть и точки у которых абсцисса больше s. Но это невозможно по построению. Если (s,k) лежит в N, то тоже из-за открытости, точки с абсциссой меньше s должны быть в N, что тоже невозможно по построению. Я пытался так, но мне кажется где-то ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 13:18 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 13:58 


29/10/21
75
dgwuqtj в сообщении #1634509 писал(а):
Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).


Пусть существует путь (x(t),y(t)): $x(0)=0,y(0)=0, x(1)=a>0,y(1)=0$
Рассмотрим $s = \sup\limits_{} t, t \in [0;1], x(t)=0.  $. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а, $t \in [s;1]$. И можно подобрать такую последовательность $t_n$ сходящуюся к s, что $x(t_n)$ сходится к 0, а $y(t_n)$ будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).

-- 28.03.2024, 14:06 --

dgwuqtj
Если доказать линейную несвязность, из этого следует локальная несвязность?.

-- 28.03.2024, 14:10 --

-- 28.03.2024, 14:12 --

dgwuqtj в сообщении #1634509 писал(а):
Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

Получается мы же всегда можем найти точку у которой абсцисса больше чем у максимального. Тогда противоречие с максимальностью. Либо мы можем продолжить М до бесконечности, а из этого будет следовать, что N пусто. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 14:16 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Gg322 в сообщении #1634512 писал(а):
Пусть существует путь (x(t),y(t)): $x(0)=0,y(0)=0, x(1)=a>0,y(1)=0$
Рассмотрим $s = \sup\limits_{} t, t \in [0;1], x(t)=0.  $. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а, $t \in [s;1]$. И можно подобрать такую последовательность $t_n$ сходящуюся к s, что $x(t_n)$ сходится к 0, а $y(t_n)$ будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).

Да, с линейной несвязностью всё так. Из этого и топологической связности следует, конечно, что ваше множество не локально линейно связно (в $(0, 0)$). Более того, локально связные метризуемые компакты всегда локально линейно связны, так что ваше множество и не локально связно в той же точке.

Насчёт связности, вы начали с $(0, 0) \in M$. Далее делаете вывод, что $(x, y) \in M$ при некотором $x > 0$ (если имело в виду, что при всех достаточно малых $x > 0$, то это из открытости $M$ не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что $M$ содержит и все точки с большими абсциссами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 14:36 


29/10/21
75
Цитата:
Насчёт связности, вы начали с $(0, 0) \in M$. Далее делаете вывод, что $(x, y) \in M$ при некотором $x > 0$ (если имело в виду, что при всех достаточно малых $x > 0$, то это из открытости $M$ не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что $M$ содержит и все точки с большими абсциссами.

Я не совсем понял. М открыто, поэтому оно содержит и точки у которых абсцисса больше 0, в малой окрестности. Это вроде правда ещё. Когда мы переходим к супремуму по таким абсциссам, то точка же с такой абсциссой существует. И теперь мы смотрим ее малую окрестность. Но снова из-за открытости будет какая-то точка у которой абсцисса больше, а этого не может быть. В этом месте проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:01 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
$M$ содержит точки, у которых маленькая абсцисса и ордината. А это не все точки с малой абсциссой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:17 


29/10/21
75
dgwuqtj в сообщении #1634522 писал(а):
$M$ содержит точки, у которых маленькая абсцисса и ордината. А это не все точки с малой абсциссой.

Я кажется понял. А если начать не с нуля, а условно с точки $(3,\sin\frac{1}{3})$. Точно так же будем двигаться налево и направо используя открытость. Правая часть понятна. Левая, найдём инфимум абсцисс. Мы приблизимся к 0 по абсциссе, а там уже все точки множества сможем захватить

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Gg322 в сообщении #1634525 писал(а):
а там уже все точки множества сможем захватить

Да, теперь всё в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 15:36 


29/10/21
75
dgwuqtjСпасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 16:38 


29/10/21
75
dgwuqtj
Ещё вопрос.
Определение локально связного множества. Множество локально связно, если любая точка обладает связной окрестностью. Это ведь не верно? Просто иначе любое связное пространство локально связно. Как я понимаю надо добавить, чтобы любая окрестность была связна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Gg322 в сообщении #1634536 писал(а):
Множество локально связно, если любая точка обладает связной окрестностью. Это ведь не верно?
Да, неверно. Множество локально связно, если для любой точки и любой её окрестности есть связная подокрестность.
Gg322 в сообщении #1634536 писал(а):
Как я понимаю надо добавить, чтобы любая окрестность была связна
Для этого нужно чтобы любые два непустых открытых множества пересекались, это довольно странные пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 16:58 


29/10/21
75
mihaild
Понял, спасибо. Просто в книге неправильное определение было. И это голову мне ломало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из топологии
Сообщение28.03.2024, 20:29 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Gg322 в сообщении #1634497 писал(а):
Показать, что множество $E=\{(x,\sin\frac{1}{x}) \in \mathbb{R}^2|x>0\}\cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x=0\wedge \left\lvert y\right\rvert \leq 1\}$ является связным, но не локально связным.
Как это доказать?

Есть общее утверждение: если множество $M$ связно, то его замыкание $\overline M$ тоже связно. Докажите это утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: VanD


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group