Задача из топологии

[Gg322]

Показать, что множество $E=\{(x,\sin\frac{1}{x}) \in \mathbb{R}^2|x>0\}\cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x=0\wedge \left\lvert y\right\rvert \leq 1\}$ является связным, но не локально связным.
Как это доказать?

[dgwuqtj]

Даже со связностью непонятно?

[Gg322]

dgwuqtj в сообщении #1634502 писал(а):

Даже со связностью непонятно?

Рассмотрим два открытых множества M, N из определения связности. И точка (0,0) принадлежит одному из них, пусть это M. Так как множество M открытое, то точки справа от (0,0) тоже должны быть в этом множестве. Пусть $s = \sup\limits_{}\delta,\delta>0, (\delta,p) \in M, p \in [-1;1]$. Если точка (s,k) лежит в M, то из-за открытости, в M должны быть и точки у которых абсцисса больше s. Но это невозможно по построению. Если (s,k) лежит в N, то тоже из-за открытости, точки с абсциссой меньше s должны быть в N, что тоже невозможно по построению. Я пытался так, но мне кажется где-то ошибка.

[dgwuqtj]

Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

[Gg322]

dgwuqtj в сообщении #1634509 писал(а):

Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

Пусть существует путь (x(t),y(t)): $x(0)=0,y(0)=0, x(1)=a>0,y(1)=0$
Рассмотрим $s = \sup\limits_{} t, t \in [0;1], x(t)=0. $. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а, $t \in [s;1]$. И можно подобрать такую последовательность $t_n$ сходящуюся к s, что $x(t_n)$ сходится к 0, а $y(t_n)$ будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).

-- 28.03.2024, 14:06 --

dgwuqtj
Если доказать линейную несвязность, из этого следует локальная несвязность?.

-- 28.03.2024, 14:10 --

-- 28.03.2024, 14:12 --

dgwuqtj в сообщении #1634509 писал(а):

Вы пока доказали, что в $M$ лежат точки с достаточно большими абсциссами. Вообще вместо возни с супремумами и открытостью используйте связность числовых промежутков.

Насчёт линейной связности: попробуйте доказать, что нет пути из (0, 0) в (1 / \pi, 0).

Получается мы же всегда можем найти точку у которой абсцисса больше чем у максимального. Тогда противоречие с максимальностью. Либо мы можем продолжить М до бесконечности, а из этого будет следовать, что N пусто. Или нет?

[dgwuqtj]

Gg322 в сообщении #1634512 писал(а):

Пусть существует путь (x(t),y(t)): $x(0)=0,y(0)=0, x(1)=a>0,y(1)=0$
Рассмотрим $s = \sup\limits_{} t, t \in [0;1], x(t)=0. $. По непрерывности x(t) принимает все значения между 0 и а, $t \in [s;1]$. И можно подобрать такую последовательность $t_n$ сходящуюся к s, что $x(t_n)$ сходится к 0, а $y(t_n)$ будет иметь два частичных предела -1 и 1. Что невозможно из-за непрерывности у(t).

Да, с линейной несвязностью всё так. Из этого и топологической связности следует, конечно, что ваше множество не локально линейно связно (в $(0, 0)$). Более того, локально связные метризуемые компакты всегда локально линейно связны, так что ваше множество и не локально связно в той же точке.

Насчёт связности, вы начали с $(0, 0) \in M$. Далее делаете вывод, что $(x, y) \in M$ при некотором $x > 0$ (если имело в виду, что при всех достаточно малых $x > 0$, то это из открытости $M$ не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что $M$ содержит и все точки с большими абсциссами.

[Gg322]

Цитата:

Насчёт связности, вы начали с $(0, 0) \in M$. Далее делаете вывод, что $(x, y) \in M$ при некотором $x > 0$ (если имело в виду, что при всех достаточно малых $x > 0$, то это из открытости $M$ не следует). Потом стандартный аргумент показывает, что $M$ содержит и все точки с большими абсциссами.

Я не совсем понял. М открыто, поэтому оно содержит и точки у которых абсцисса больше 0, в малой окрестности. Это вроде правда ещё. Когда мы переходим к супремуму по таким абсциссам, то точка же с такой абсциссой существует. И теперь мы смотрим ее малую окрестность. Но снова из-за открытости будет какая-то точка у которой абсцисса больше, а этого не может быть. В этом месте проблема?

[dgwuqtj]

$M$ содержит точки, у которых маленькая абсцисса и ордината. А это не все точки с малой абсциссой.

[Gg322]

dgwuqtj в сообщении #1634522 писал(а):

$M$ содержит точки, у которых маленькая абсцисса и ордината. А это не все точки с малой абсциссой.

Я кажется понял. А если начать не с нуля, а условно с точки $(3,\sin\frac{1}{3})$. Точно так же будем двигаться налево и направо используя открытость. Правая часть понятна. Левая, найдём инфимум абсцисс. Мы приблизимся к 0 по абсциссе, а там уже все точки множества сможем захватить

[dgwuqtj]

Gg322 в сообщении #1634525 писал(а):

а там уже все точки множества сможем захватить

Да, теперь всё в порядке.

[Gg322]

dgwuqtjСпасибо за помощь!

[Gg322]

dgwuqtj
Ещё вопрос.
Определение локально связного множества. Множество локально связно, если любая точка обладает связной окрестностью. Это ведь не верно? Просто иначе любое связное пространство локально связно. Как я понимаю надо добавить, чтобы любая окрестность была связна.

[mihaild]

Gg322 в сообщении #1634536 писал(а):

Множество локально связно, если любая точка обладает связной окрестностью. Это ведь не верно?

Да, неверно. Множество локально связно, если для любой точки и любой её окрестности есть связная подокрестность.

Gg322 в сообщении #1634536 писал(а):

Как я понимаю надо добавить, чтобы любая окрестность была связна

Для этого нужно чтобы любые два непустых открытых множества пересекались, это довольно странные пространства.

[Gg322]

mihaild
Понял, спасибо. Просто в книге неправильное определение было. И это голову мне ломало.

[Padawan]

Gg322 в сообщении #1634497 писал(а):

Показать, что множество $E=\{(x,\sin\frac{1}{x}) \in \mathbb{R}^2|x>0\}\cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x=0\wedge \left\lvert y\right\rvert \leq 1\}$ является связным, но не локально связным.
Как это доказать?

Есть общее утверждение: если множество $M$ связно, то его замыкание $\overline M$ тоже связно. Докажите это утверждение.