PadawanПусть

связно, а замыкание

нет. Тогда существуют два замкнутых множества

. Но множество лежит в своём замыкании, значит

. Покажем, что пересечения

не пустые. Иначе

попало бы в только в одно из множеств, пусть

.

замкнуто, поэтому содержит все свои предельные точки, значит и содержит предельные точки

, т.е.

, а это не так по условию. Значит

не связно, противоречие.