2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение29.04.2025, 13:28 
dick в сообщении #1670141 писал(а):
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);
$6(z-y)((z+y)-2)=6x(x-2)-(c-8)$ (4.9);
$9(z-y)((z+y)-3)=9x(x-3)-(d-27)$ (4.10);

Вы здесь не ошиблись?

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение29.04.2025, 15:58 
Как будто нет, а что не так?

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение01.05.2025, 20:55 
Как вы от этого
dick в сообщении #1670141 писал(а):
Запишем (4.1)-(4.3) в нейтральном виде:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$ (4.4);

Пришли к этому
dick в сообщении #1670141 писал(а):
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);

:?:

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение09.05.2025, 10:20 
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$
$z^3-3z^2+3z-1-y^3+3y^2-3y+1=x^3-3x^2+3x-1+b$
$3(z^2-y^2)-3(z-y)=3x(x-1)-(b-1)$
$3(z-y)(z+y-1)=3x(x-1)-(b-1)$

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение11.06.2025, 14:01 
Утверждение о том, что разница коэффициентов любых двух строк после сдвига, не может дать начальных коэффициентов, не требует доказательства.
Однако, $x^3$ в разложении с начальными коэффициентами, может быть «замаскирован» добавлением нуля, в разложении со сдвигом на $x^3$ шагов. Здесь мы сдвигаем кубы разложения «вверх», в то время как для $z$ и $y$ сдвигали «вниз».
Целесообразнее использовать общий подход, при котором все кубы равенства Ферма опираются в разложении на ноль.
В этом случае для доказательства требуется, чтобы среди строк коэффициентов разложения не нашлось таких трёх, что разница коэффициентов двух строк дала бы коэффициенты третьей.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 12:11 
Для доказательства теоремы достаточно, чтобы хотя бы для одного из четырех коэффициентов была доказана невозможность получения меньшего коэффициента разницей двух больших.
Рассматривая коэффициенты свободного члена, можно заметить, что выполняется:
$C_4=(C_1-C_3)С_2$ (5.1); а также
$C_2=(C_1-C_3)^2-1$ (5.2);
Где $C_1, C_2, C_3, C_4$ - коэффициенты разложения $x^3$.
Из (5.1), (5.2) следует:
$C_4=(C_1-C_3)((C_1-C_3)^2-1)=$
$((C_1-C_3)-1)(C_1-C_3)((C_1-C_3)+1)$ (5.3);
Таким образом, все коэффициенты свободного члена являются произведением трех соседних натуральных чисел, следующих без пропусков строго в порядке возрастания, начиная с единицы. А меньший член тройки является порядковым номером строки коэффициентов.
Поскольку коэффициенты свободного члена содержат все числа натурального ряда, то если бы выполнялось равенство:
$C_4=A_4-B_4$ (5.4);
Где $A_4, B_4$ это, соответственно, коэффициенты свободного члена разложений $z^3$ и $y^3$, выполнялось бы и равенство:
$X^3=Z^3-Y^3$ (5.5);
Где числа $X, Y, Z$ были бы средними в тройках соседних чисел, составляющих, соответственно, $C_4, B_4, A_4$.
То есть выполнялось бы одновременно:
$x^3=z^3-y^3$ (5.6) и (5.5), при чем: $x>X, y>Y, z>Z$, поскольку $x,y,z$-исходная тройка, кубы которой были разложены.
Однако подобное невозможно, поскольку тройка $x,y,z$-примитивна.
Вот, собственно, и все.

-- 23.06.2025, 13:13 --

mihaild
Может быть, это и есть вожделенный спуск?

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 12:17 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Я не очень хочу собирать актуальный вариант рассуждения по всей теме. Либо соберите сами, либо пусть кто-то более недавно читавший помогает.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 16:25 
Предположим, что для трех натуральных, взаимно простых чисел $x, y, z$ выполняется: $x^3=z^3-y^3$ (1);
Любой куб натурального числа больше 3, может быть разложен в сумму, с использованием трех меньших соседних натуральных кубов и свободного члена:
$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ (2);
$y^3=3(y-1)^3-3(y-2)^3+(y-3)^3+6$;
$z^3=3(z-1)^3-3(z-2)^3+(z-3)^3+6$;
Если кубы слева достаточно велики ($4^3$ и более), кубы разложения можно сдвигать вниз, оставаясь в множестве натуральных. Например так:
$x^3=3(3(x-2)^3-3(x-3)^3+(x-4)^3+6)-3(x-2)^3+(x-3)^3+6=$
$=6(x-2)^3-8(x-3)^3+3(x-4)^3+24$ (2.1) и т.д.
Или так:
$4^3=3(3^3)-3(2^3)+(1^3)+6$
$5^3=6(3^3)-8(2^3)+3(1^3)+24$
$6^3=10(3^3)-15(2^3)+6(1^3)+60$ (2.2) и т.д., до достижения слева
значений $x^3, y^3, z^3$
Слегка расширенная табличка коэффициентов:
3 3 1 6
6 8 3 24
10 15 6 60
15 24 10 120
21 35 15 210
28 48 21 336 и т.д.
Итак, по схеме (2.2) получим разложения $x^3, y^3, z^3$ с одинаковым набором младших кубов и коэффициентами, согласно строк таблицы.
Чтобы выполнялось (1), должны найтись такие две строки, разница коэффициентов которых дала бы коэффициенты строки расположенной выше.
Для доказательства того, что это невозможно, достаточно чтобы хотя бы для одного из четырех коэффициентов была доказана невозможность получения меньшего коэффициента разницей двух больших.
Рассматривая коэффициенты свободного члена, можно заметить, что выполняется:
$C_4=(C_1-C_3)C_2$ (5.1); а также,
$C_2=(C_1-C_3)^2-1$ (5.2);
Где $C_1, C_2, C_3, C_4$ - коэффициенты разложения $x^3$.
Из (5.1), (5.2) следует:
$C_4=(C_1-C_3)((C_1-C_3)^2-1)=$
$=((C_1-C_3)-1)(C_1-C_3)((C_1-C_3)+1)$ (5.3);
Таким образом, все коэффициенты свободного члена являются произведением трех соседних натуральных чисел, следующих без пропусков строго в порядке возрастания, начиная с единицы. А меньший член тройки является порядковым номером строки коэффициентов.
Поскольку коэффициенты свободного члена содержат все числа натурального ряда, то если бы выполнялось равенство:
$C_4=A_4-B_4$ (5.4);
Где $A_4, B_4$ это, соответственно, коэффициенты свободного члена разложений $z^3$ и $y^3$, выполнялось бы и равенство:
$X^3=Z^3-Y^3$ (5.5);
Где числа $X, Y, Z$ были бы средними в тройках соседних чисел, составляющих, соответственно, $C_4, B_4, A_4$.
То есть выполнялось бы одновременно:
$x^3=z^3-y^3$ (5.6) и (5.5), при чем: $x>X, y>Y, z>Z$, поскольку $x,y,z$-исходная тройка, кубы которой были разложены.
Однако подобное невозможно, поскольку тройка $x,y,z$-примитивна.
Вот, собственно, и все.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 17:11 
Аватара пользователя
dick в сообщении #1691895 писал(а):
Чтобы выполнялось (1), должны найтись такие две строки, разница коэффициентов которых дала бы коэффициенты строки расположенной выше
Не обязательно. Стандартная ошибка - из равенства значений многочленов не следует равенство многочленов.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 18:48 
Если выполняется (1), но разность коэффициентов $z^3$ и $y^3$ не дает коэффициентов $x^3$, то сумма отклонений от коэффициентов $x^3$, с учетом кубов, будет нулем.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 19:03 
Аватара пользователя
dick в сообщении #1691926 писал(а):
Если выполняется (1), но разность коэффициентов $z^3$ и $y^3$ не дает коэффициентов $x^3$, то сумма отклонений от коэффициентов $x^3$, с учетом кубов, будет нулем.
Я не понимаю, что это значит. Напишите формулу.
Насколько я понимаю, Ваше рассуждение следующее: если $\sum\limits_{i=1}^3 A_i (x - i)^3 + A_4 + \sum\limits_{i=1}^3 B_i (x-i)^3 + B_4 = \sum\limits_{i=1}^3 C_i (x - i)^3 + C_4$, то $A_i + B_i = C_i$. Это, конечно же, неправда.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 20:36 
Странно, Вы что, не поняли? Под знаком суммы должны стоять одинаковые тройки кубов.
dick в сообщении #1691895 писал(а):
Итак, по схеме (2.2) получим разложения $x^3, y^3, z^3$ с одинаковым набором младших кубов и коэффициентами, согласно строк таблицы.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 20:45 
Аватара пользователя
dick в сообщении #1691936 писал(а):
Под знаком суммы должны стоять одинаковые тройки кубов
Нет, не понял. Напишите формулу. Я не понимаю, что такое "одинаковый набор младших кубов".

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 21:09 
Ладно, я напишу.
Если $x^3=z^3-y^3$
$x^3=C_1k^3-C_2(k-1)^3+C_3(k-2)^3+C_4$
$y^3=B_1_1k^3-B_2(k-1)^3+B_3(k-2)^3+B_4$
$z^3=A_1k^3-A_2(k-1)^3+A_3(k-2)^3+A_4$

$(A_1k^3-A_2(k-1)^3+A_3(k-2)^3+A_4)-(B_1_1k^3-B_2(k-1)^3+B_3(k-2)^3+B_4)=(C_1k^3-C_2(k-1)^3+C_3(k-2)^3+C_4)$
И тогда либо $A_1-B_1=C_1; A_2-B_2=C_2; A_3-B_3=C_3; A_4-B_4=C_4$;
Либо, $A_1-B_1=C_1+D_1; A_2-B_2=C_2-D_2; A_3-B_3=C_3+D_3; A_4-B_4=C_4+D_4$;
Но тогда: $D_1k^3-D_2(k-1)^3+D_3(k-2)^3+D_4=0$
Что одно и тоже.

 
 
 
 Re: Кубы и квадраты
Сообщение23.06.2025, 21:27 
dick в сообщении #1691939 писал(а):
Либо, $A_1-B_1=C_1+D_1; A_2-B_2=C_2-D_2; A_3-B_3=C_3+D_3; A_4-B_4=C_4+D_4$;
Но тогда: $D_1k^3-D_2(k-1)^3+D_3(k-2)^3+D_4=0$
Что одно и тоже.

А $D_i$ откуда взялись?

 
 
 [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group