Оптимизационная задача. Помогите решить пожалуйста.

[P.F.]

Требуется найти такую действительную функцию F(x), при которой выражение

$$ \frac{\int_{X}F^2(x) G(x) dx } { \left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2} $$

будет минимально, при условии, что x \in \mathbb{R}, G(x) \in \mathbb{R}, G(x)>0, H(x) \in \mathbb{C}.
Для случая H(x) \in \mathbb{R} решение понятно: можно, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского в виде
\left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2 \le \int_{X} \left| F(x) \sqrt{G(x)} \right | ^2 dx \cdot \int_{X} \left| \frac{H(x)}{\sqrt{G(x)}} \right | ^2 dx,
найти для этой величины ограничение снизу и показать, что эта граница достигается при F(x) = \lambda \frac{H(x)}{G(x)}, где \lambda - некоторая отличная от нуля действительная константа.
А вот как быть при комплексной H ?

[ewert]

P.F. писал(а):

(почему-то не получается нормально дробь сделать)

А у Вас внутри матюков доллАров не поставлено. Поставьте -- и всё будет нормально.

(общее правило: баксы обязательны, матюки же -- х.з.)

[Jnrty]

Jnrty:

P.F. писал(а):

\frac{\int_{X}F^2(x) G(x) dx } { \left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2} (почему-то не получается нормально дробь сделать)

Формулы следует окружать знаками доллара:

одинарными

$\frac{\int_{X}F^2(x) G(x) dx } { \left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2}$

$\frac{\int_{X}F^2(x) G(x) dx } { \left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2}$

или двойными

$$\frac{\int_{X}F^2(x) G(x) dx } { \left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2}$$

$$\frac{\int_{X}F^2(x) G(x) dx } { \left | \int_{X}F(x) H(x) dx \right | ^2}$$

Подробнее почитайте в следующих темах:

Первые шаги в наборе формул
Краткий ФАК по тегу [ math].
Цитирование и формулы.