Комбинаторная задача

[Picetto]

Здраствуйте, всех с новым годом, решал комбинаторную задачу, получаю ответ 26922, в конце книжки ответ 26712, прошу рассмотреть мой ход решения и сказать верно ли я решил или нет?
Условие: У мастера есть семь разных видов бусин, сколько он может сделать разных украшений, если на каждых бусах должна быть ровно 17 бусин, бусы должны быть симметричны, в каждых бусах нужно применять не более трех разных видов бусин, а одинаковые бусины не должны располагаться рядом.

Решение: по условию должно быть не больше трех видов и не меньше двух, сначала посчитаем для трех видов, сочетание из семи по три $\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2}$ = 35
Cочетание из трех видов для бусин, теперь чтобы поставить бусину посередине у нас будет три варианта, из трех видов, остальные 8(симметрия 8 + 8 + 1 = 17) по два, так как не должно повторятся с каждым новым, а количество бусин каждого вида бесконечно, тогда количество комбинаций для каждых трех видов бусин: 3 \times 2^8.
умножаем количество комбинаций видов по три и число комбинации украшений из трех видов бусин 3 \times 2^8 \times 35.
А теперь посчитаем для двух видов: сочетание двух видов из семи $\frac{7 \times 6}{2}$ = 21
комбинаций чтобы сделать бусу остается две на середину и по одной на остальные 8, тогда число различных украшений на два вида бус: 1^8 \times 2.
умножаем число комбинаций украшений на два вида и число таких комбинаций двух видов: 2 \times 1^8 \times 21 = 42.

Итого; 42 + 3 \times 256 \times 35 = 26 922.
а в конце книге ответ 26712, вот не пойму я неправильно решил, или ошибка в книге, на сайте владельца книги указаны некоторые ошибки, но не на эту задачу.

P.S Ух помучался я с этим латехом, какой-то привередливый, сжирает текст, надеюсь мой текст не настолько мучительный, всем добра!

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). В частности, в качестве знака умножения лучше использовать \times или \cdot.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[sergey zhukov]

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

тогда количество комбинаций для каждых трех видов бусин: $3 \times 2^8$.

Обозначим типы бусин, как 1, 2 и 3. Тогда один из возможных вариантов бус из трех типов такой:

$12121212-3-21212121$

Но может быть и такой:

$12312312-3-21321321$

И вместе с тем (по условию "нет двух соседних бусин одного типа") не может быть такого:

$21111111-3-11111112$

Или такого:

$11221122-3-22112211$

Вы это так понимаете?

[Doctor Boom]

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

А теперь посчитаем для двух видов

А зачем? Вы их уже сочли в трех видах

[Picetto]

sergey zhukov в сообщении #1624772 писал(а):

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

тогда количество комбинаций для каждых трех видов бусин: $3 \times 2^8$.

Обозначим типы бусин, как 1, 2 и 3. Тогда один из возможных вариантов бус из трех типов такой:

$12121212-3-21212121$

Но может быть и такой:

$12312312-3-21321321$

И вместе с тем (по условию "нет двух соседних бусин одного типа") не может быть такого:

$21111111-3-11111112$

Или такого:

$11221122-3-22112211$

Вы это так понимаете?

Да по условию именно так.

Doctor Boom в сообщении #1624782 писал(а):

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

А теперь посчитаем для двух видов

А зачем? Вы их уже сочли в трех видах

В трех видах мы сочли когда выбор у нас только из трех видов бусин, там не может быть двух, так как там перестановки из трех бусин, а когда два вида перестановки из двух но там не может перестановки там только два варианта на каждые два цвета если я все правильно посчитал.

[sergey zhukov]

Picetto
Ок, а что такое $2^8$? Количество разных бус из восьми бусин двух разных типов?

[мат-ламер]

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

умножаем количество комбинаций видов по три и число комбинации украшений из трех видов бусин $3 \times 2^8 \times 35$.

Что равно $26880$.

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

А теперь посчитаем для двух видов:

А это добавлять не нужно. Эти комбинации уже учтены в предыдущем результате (как уже сказали). Но с ответом всё равно не сходится Может опечатка

-- Ср янв 03, 2024 17:42:47 --

Picetto в сообщении #1624784 писал(а):

а когда два вида перестановки из двух но там не может перестановки там только два варианта на каждые два цвета

Комбинация с двумя вариантами есть одновременно комбинация и с тремя. Прислушивайтесь к совету Doctor Boom .

[Yadryara]

мат-ламер в сообщении #1624797 писал(а):

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

умножаем количество комбинаций видов по три и число комбинации украшений из трех видов бусин $3 \times 2^8 \times 35$.

Что равно $26880$.

[..]

Но с ответом всё равно не сходится Может опечатка

Присоединяюсь к вопросу sergey zhukov. При чём тут $2^8$ ?

[Picetto]

мат-ламер в сообщении #1624797 писал(а):

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

умножаем количество комбинаций видов по три и число комбинации украшений из трех видов бусин $3 \times 2^8 \times 35$.

Что равно $26880$.

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

А теперь посчитаем для двух видов:

А это добавлять не нужно. Эти комбинации уже учтены в предыдущем результате (как уже сказали). Но с ответом всё равно не сходится Может опечатка

-- Ср янв 03, 2024 17:42:47 --

Picetto в сообщении #1624784 писал(а):

а когда два вида перестановки из двух но там не может перестановки там только два варианта на каждые два цвета

Комбинация с двумя вариантами есть одновременно комбинация и с тремя. Прислушивайтесь к совету Doctor Boom .

Эхх, что значит прислушаться совету, вы конкретно укажите где идет повтор комбинации, когда мы считаем для трех ВИДОВ, мы считаем для трех разных видов тоесть в самой бусе там три разных бусин и их перестановки, учитывая условие первую бусину при размещении мы можем выбрать из трех разных Видов бусин, а потом остается только 2 т.к тот который мы уже выбрали нельзя выбрать(по условию нельзя чтобы два одинаковых вида были рядом) и так с каждой следующей бусиной и восемь их т.к нам достаточно посчитать 8 штук остальные 8 штук симметричны, хотя щас подумал в одной из частей буса две одинаковые бусины будут рядом в любом случае, отсюда берется $ 3 \times 2 ^ 8$(для тех кто не понял объяснил откуда 2 ^ 8).

А два вида, это уже другая история совершенно, такие бусы будут двухвидовые там не будет третьего вида бус.
Почему-то мне кажется я один понял задачу, при всем уважении.

[мат-ламер]

Yadryara в сообщении #1624799 писал(а):

Присоединяюсь к вопросу sergey zhukov. При чём тут $2^8$ ?

Picetto в сообщении #1624801 писал(а):

вы конкретно укажите где идет повтор комбинации,

Предлагаю расписать все возможные комбинации для симметричных бус из пяти бусинок трёх видов. Причём

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

одинаковые бусины не должны располагаться рядом.

[sergey zhukov]

Picetto
Давайте рассмотрим "бусу" из 5 бусин. Возьмем сначала вариант использования всех трех типов бусин и поставим в центр тип 3. Вот какие бусы возможны в этом случае:

$21312$

$31313$

$12321$

$32323$

Соответственно, при разных бусах в центре этих вариантов будет $3\times 4=12$. И все. Других вариантов нет.

Так вы это понимаете?

[Picetto]

мат-ламер в сообщении #1624803 писал(а):

Yadryara в сообщении #1624799 писал(а):

Присоединяюсь к вопросу sergey zhukov. При чём тут $2^8$ ?

Picetto в сообщении #1624801 писал(а):

вы конкретно укажите где идет повтор комбинации,

Предлагаю расписать все возможные комбинации для симметричных бус из пяти бусинок трёх видов. Причём

Picetto в сообщении #1624739 писал(а):

одинаковые бусины не должны располагаться рядом.

Теперь увидел повторения, спасибо, был не прав.

-- 03.01.2024, 21:59 --

sergey zhukov в сообщении #1624804 писал(а):

Picetto
Давайте рассмотрим "бусу" из 5 бусин. Возьмем сначала вариант использования всех трех типов бусин и поставим в центр тип 3. Вот какие бусы возможны в этом случае:

$21312$

$31313$

$12321$

$32323$

Соответственно, при разных бусах в центре этих вариантов будет $3\times 4=12$. И все. Других вариантов нет.

Так вы это понимаете?

Что именно понимать? ваше вычисление сходится с моим.
Имеете ввиду что отдельно комбинации для двух типов считать не слудет? я это понял, когда отписали сверху.

[Yadryara]

Picetto в сообщении #1624805 писал(а):

Что именно понимать?

То, что надо идти от простого к сложному. Попробуйте расписать для ожерелья из 7, а затем и из 9 бусин.

[sergey zhukov]

Picetto
Да просто трудно понять, что и как вы считаете и как вообще это понимаете. Проще на примере выяснить.