Вопрос про о-малые

[yafkin]

мат-ламер в сообщении #1617832 писал(а):

А что значит "аппетитно"? Что-то похожее тут на форуме обсуждалось. Один очень уважаемый (по крайней мере, мной) товарищ в своей монографии именно так и написал. Может он имел в виду другое. Может в спешке палочки не так расставил или добавил лишние. Грамотный читатель разберётся. Опечатки никак не влияют на достоинство книги. Так Padawan находил кучу опечаток у Зорича. Ну и что? Зорича от этого я меньше уважать не стал. В конце концов

Аналогичная тема у меня в чулане. Поэтому я лучше послушаю умных уважаемых людей
раз у самого ума не хватило.

[мат-ламер]

yafkin в сообщении #1617904 писал(а):

Поэтому я лучше послушаю умных уважаемых людей
раз у самого ума не хватило.

Давайте для начала предложим EminentVictorians сравнить его определение с определением из Зорича и попытаться найти, есть ли разница в определениях. Вроде у Зорича ЕМНИП палочек в числителе было меньше.

-- Вт ноя 14, 2023 20:41:48 --

yafkin в сообщении #1617904 писал(а):

Аналогичная тема у меня в чулане.

Это вот эта ? Я там со своим определением влез. И вместо обсуждаемого тут $+o(\|h\|)$ написал просто $+o(h)$ . Наверное так будет правильней.

[EminentVictorians]

Upd. Фигню написал. Должно быть так:

Padawan в сообщении #1617874 писал(а):

Опять же, а какая разница?

$o(||h||)$ в записи $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $ обозначает некоторую векторнозначную функцию с некоторым свойством.
$\vec{h}$ - это вектор, поэтому лучше его писать со стрелочкой.

При заданном $\vec{h}$, значение функции $o(||\vec{h}||)$ на векторе $\vec{h}$ - это вектор (из присоединенного векторного пространства к аффинному нормированному пространству $Y$).

Поэтому я пишу только так:

$$\lim\limits_{\vec{h}\to \vec{0}}\frac {||o(\|\vec{h}\|) ||}{\|\vec{h}\|}=0$$

Делим одну действительнозначную функцию на другую.

Сначала думал, что норма в числителе не обязательна, но сейчас склоняюсь к мнению, что таки обязательна. Предыдущее бредовое сообщение удалил от греха подальше.

-- 14.11.2023, 20:17 --

мат-ламер в сообщении #1617907 писал(а):

Давайте для начала предложим EminentVictorians сравнить его определение с определением из Зорича и попытаться найти, есть ли разница в определениях.

Считаю, что разницы не должно быть.

[мат-ламер]

EminentVictorians
У вас $o$-малое, это вообще что - некая функция или соглашение (символ)?
Если первое, то почему она зависит сугубо от $\left\| h \right\|$ ?
Если второе, то почему вы её как-то своеобразно определяете? Тогда определение можно в принципе и не писать.

В общем как-то у вас сильно наворочено. Простому человеку (типа меня) и не осилить.

-- Вт ноя 14, 2023 22:31:11 --

мат-ламер в сообщении #1617931 писал(а):

В общем как-то у вас сильно наворочено. Простому человеку (типа меня) и не осилить.

Для простого человека лучше писать так:
1) $+o(h)$ (без пояснений) . И тут он пусть как хочет, так и думает, что это - функция или соглашение. Это его проблемы.
2) $+o(h)$ , где ... И тут вы подразумеваете, что у вас функция. И тогда обязаны пояснить её свойство.
3) $+o(\left\| h \right\|) $ (без пояснений). И пусть читатель догадается, что это есть соглашение и какой в нём смысл.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1617931 писал(а):

У вас $o$-малое, это вообще что - некая функция или соглашение (символ)?

$o(||\vec{h}||)$ - это обозначение класса функций вида $V_X \to V_Y$ (где $V_X$ - присоединенное векторное пространство к аффинному нормированному пространству $X$, $V_Y$ - присоединенное векторное пространство к аффинному нормированному пространству $Y$) , таких, что для произвольной функции $f$ из этого класса выполняется свойство:

$$\lim\limits_{\vec{h}\to \vec{0}}\frac {||f (\vec{h}) ||}{\|\vec{h}\|}=0$$

В записях вида "$... +o(||\vec{h}||)$" это обозначение имеет смысл "некоторая функция из класса $o(||\vec{h}||)$".
Я обычно нумерую о-малые, поэтому у меня путаницы не возникает, но здесь я следую обозначениям Padawan-a, а они без нумерации.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1617935 писал(а):

$o(||\vec{h}||)$ - это обозначение класса функций вида $V_X \to V_Y$ (где $V_X$ - присоединенное векторное пространство к аффинному нормированному пространству $X$, $V_Y$ - присоединенное векторное пространство к аффинному нормированному пространству $Y$) ,

После чего я понял смысл поста с первой страницы:

realeugene в сообщении #1617673 писал(а):

мат-ламер
Может быть, и в математику вам лучше не лезть, раз у вас такие затруднения с чтением учебников для первокуров?

-- Вт ноя 14, 2023 23:24:35 --

EminentVictorians
В общем я вас понял. Но лучше ваши мысли разнести. Вначале разъяснить, что вы подразумеваете под $o$-малым. А когда оно встретится, то уже его не пояснять.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1617867 писал(а):

Padawan в сообщении #1617726 писал(а):

Например, на одной из недавних лекций я написал $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $,

Вот это хотя и распространенная, но ИМХО не очень удачная запись, потому что получается что $J(x + h) - J(x) - L(h) = o(\|h\|)$, и левая часть, вообще говоря, зависит от направления $h$, а правая - нет.

Мне кажется, что такая запись может оказаться трудной для понимания начинающему. Вот пример. Учебник Бутузова по матанализу. Пар. 9.5, формула (9.6). Определение дифференцируемости. В принципе всё то же самое. Но в правой части стоит выражение $+o(\rho)$ . И тут читатель начинает задумываться, а что означает данное соглашение? Наверное символ $o$ означает некоторую функцию, которая имеет порядок малости меньше чем $\rho$ . И тут налетают следующие вопросы. Эта наша функция, она вообще от каких аргументов зависит? И что тут такое $\rho$ ? Независимая переменная? Или всё-таки функция? То, что грамотному человеку кажется очевидным, начинающего может поставить в тупик.

[mihaild]

KhAl в сообщении #1617894 писал(а):

mihaild, $o(x^2)$ тоже неудачная запись?

Хм, я раньше про это не задумывался. Но да, видимо неудачная. Надо запретить под о-малым писать не инъективные функции.

[мат-ламер]

Я подумал, а где это я набрался, думая про $o$-малые, что это функции и их можно нумеровать? Вот открыл Ж.Дьедонне "Основы современного анализа", пар. 8.2, т.8.2.1. Доказывается теорема о произведении дифференцируемых функций. В доказательстве появляются две формулы, на вид напоминающие определение дифференцируемости. В первой стоит $+o_1(s)$ , во второй $+o_2(t)$ .

-- Ср ноя 15, 2023 17:58:53 --

Или вот книга Алексеева и др. "Оптимальное управление". Пункт 2.2.1, формула (2), напоминающая определение производной. Они просто пишут $+o(h)$ - без всяких норм.

[KhAl]

mihaild, тогда уж писать $o_{f(x)} (x)$ для функций, растущих медленнее $f$. Но меня лично сложившаяся традиция устраивает.

[RIP]

mihaild в сообщении #1618032 писал(а):

KhAl в сообщении #1617894 писал(а):

mihaild, $o(x^2)$ тоже неудачная запись?

Хм, я раньше про это не задумывался. Но да, видимо неудачная. Надо запретить под о-малым писать не инъективные функции.

Внутри $o(\cdot)$ пишут не аргумент, а функцию, с которой сравнивают. Вы же не воспринимаете запись $o(1)$ как функцию, зависящую от $1$. Аргумент указывают отдельно, когда пишут $x\to x_0$, либо он просто понятен из контекста.