Вопрос про о-малые

[мат-ламер]

Хочу поинтересоваться у форума. В одном из своих постов, где мне пытались доказать, что я не понимаю, что на самом деле означает $o$-малое, я опубликовал формулу, где было несколько этих $o$-малых. Причём каждую из этих $o$-малых я пронумеровал своим номером, мысля про эти $o$-малые, что каждая из них есть некоторая функция, которая удовлетворяет понятно какому свойству. Мне возразили, что так мыслить вредно. Что $o$-малые, это вовсе не функции. Это просто некоторое соглашение. Что смысл этого соглашения состоит в том, что имея формулу с этими $o$-малыми, мы можем написать некоторую другую формулу, но уже с пределами. Написать то мы можем. Но это не делаем, имея в виду этот процесс в голове. Я согласился. Однако выразил замечание, что в некоторых статьях прикладного характера я действительно видел нумерацию этих $o$-малых, мыслил про них, как про некоторые функции. И это никак не вредило пониманию доказательств и пониманию смысла статей.

И вот я встречаю тему . И тут у меня вопрос к форуму. Как в данном случае мыслить про эти $o$-малые? Может реально их удобнее пронумеровать и мыслить про них, как про отдельные функции?

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1617665 писал(а):

Может реально их удобнее пронумеровать и мыслить про них, как про отдельные функции?

Ровно наоборот. Для тех случаев, когда важны лишь грубые свойства данной функции, а именно лишь то, настолько быстро эта функция стремится к нулю в окрестности некоторой точки, - для этих случаев и придумана О-символика. Если же необходимо различать между собой разные о-малые,то проще не переходить к ним вообще, а работать с исходными функциями.

[realeugene]

мат-ламер
Может быть, и в математику вам лучше не лезть, раз у вас такие затруднения с чтением учебников для первокуров?

[mihaild]

На мой взгляд, нумерация о-малых вполне нормальная идея, говорящая "вот тут у нас конкретная функция, но нам про неё важна только асимптотика". Решает проблему с асимметрией - что $x^2 = o(x)$ писать можно, а $o(x) = x^2$ - нельзя.

[TOTAL]

Mihr в сообщении #1617667 писал(а):

Для тех случаев, когда важны лишь грубые свойства данной функции, а именно лишь то, настолько быстро эта функция стремится к нулю в окрестности некоторой точки, - для этих случаев и придумана О-символика.

О-большая и о-маленькая символика - это неравенства, которые не позволяют определить скорость стремления.

Делить одно о-маленькое на другое - это как делить одно неравенство на другое. Результат может быть любым.

[Mihr]

TOTAL в сообщении #1617680 писал(а):

это неравенства, которые не позволяют определить скорость стремления

Это понятно. Речь идёт не о точном значении скорости, а о её ограничении.

-- 13.11.2023, 14:08 --

mihaild в сообщении #1617676 писал(а):

вот тут у нас конкретная функция, но нам про неё важна только асимптотика

Мне кажется, тогда логичней было бы заменять функцию её асимптотическим приближением + поправкой на разность этой функции и её приближения. А уже саму эту поправку оценивать символом о-малое (или О-большое). А нумерация о-малых выглядит как-то... по меньшей мере, необычно. Для чего держать в голове расшифровку разных о-малых ("эта о-малая обозначает тот-то, а эта - вот что"), когда проще выписывать сами приближения?

[zykov]

mihaild в сообщении #1617676 писал(а):

На мой взгляд, нумерация о-малых вполне нормальная идея, говорящая "вот тут у нас конкретная функция, но нам про неё важна только асимптотика".

Так и называйте это функцией, а не "о-малым".
Никто не машает ввести сколько угодно нужных вам функций, указать что они обладают такими-то свойствами (стремятся туда-то), и дать им какие хотите имена/номера.

[mihaild]

Mihr в сообщении #1617683 писал(а):

Для чего держать в голове расшифровку разных о-малых ("эта о-малая обозначает тот-то, а эта - вот что"), когда проще выписывать сами приближения?

Так примерно это и делаем: говорим, что все $o_i$ - это бесконечно малые (по какой нужно базе).

[мат-ламер]

На всякий случай приведу ссылку на тему , на которую ссылаюсь в первом посту. Там в середине первой страницы Total говорит о ненужности индексации.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1617693 писал(а):

На всякий случай приведу ссылку на тему , на которую ссылаюсь в первом посту. Там в середине первой страницы Total говорит о ненужности индексации.

Если кто-то сам себе хочет напоминать, что это разные величины, то пусть нумерует, ничего страшного и ошибочного в этом не вижу.

[realeugene]

о-малое - это логический символ, а не функция. "Существует такая функция, что..." Авторы статей, конечно, имеют право придумываеть произвольные обозначения, но при нумерации о-малых есть риск, что читателям будет сложно понять, что же означает эта нумерация? Особенно, без дополнительных пояснений. Такая запись, как минимум, нестандартна.

[KhAl]

Mihr писал(а):

Для чего держать в голове расшифровку разных о-малых ("эта о-малая обозначает тот-то, а эта - вот что"), когда проще выписывать сами приближения?

чтобы смотреть на $o_k(x^2)$ и видеть $o_k(x^2)$, вместо того, чтобы смотреть на $f_k(x)$ и вспоминать её асимптотику (причём все эти функции $f_k$ надо отдельно вводить и обозначать, что тоже лишние усилия). Расшифровку держать в голове не надо.

[Red_Herring]

mihaild в сообщении #1617676 писал(а):

На мой взгляд, нумерация о-малых вполне нормальная идея, говорящая "вот тут у нас конкретная функция, но нам про неё важна только асимптотика"

Не асимптотика, а оценка сверху, причём возможно, очень грубая.

[Padawan]

Нумеровать $o$-малые вполне нормально. И воспринимать их как функции -- тоже. Например, на одной из недавних лекций я написал $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $, где $\lim\limits_{h\to 0}\frac {o(\|h\|) }{\|h\|}=0$.

[EUgeneUS]

Red_Herring в сообщении #1617716 писал(а):

Не асимптотика, а оценка сверху, причём возможно, очень грубая.

IMHO, в этом и заключалась ошибка семинариста из стартового поста.