Внутре гипотезы Коллатца

[Dmitriy40]

Утундрий в сообщении #1619394 писал(а):

Интересно, что там делает $5$? Первая же итерация приводит к степени двойки, следовательно $5$ не содержит ни одного "тройного шага" и не перебивает $1$.

Дело в том что эта последовательность на базе A006667, как и указано в поле COMMENTS, а в той единица приходит к единице за 0 шагов, не за 1 (и не за два и т.д.). Потому в этой единица на нулевом месте, а на первом пятёрка.

[Утундрий]

Всё равно, не логично. Если мы отбрасываем сокращения двоек и считаем только нетривиальные повышения по "три икс плюс один и отбросить двойки", то между единицей и пятёркой нет вообще никакой разницы. Естественно, кроме той, что единица переходит сама в себя, а пятёрка в единицу.

[Dmitriy40]

Логика не всегда присутствует в OEIS в том виде как предполагается. Как позиция впервые встреченного в A006667 - с логикой всё в порядке, там единица впервые встречается на 5 месте, потому здесь на первом месте ($n=1$) и будет пятёрка вместо единицы.
Поставив на место $n=1$ единицу вместо пятёрки, встанет аналогичный вопрос о $n=2$, ведь единица и за два утроения приходит в единицу. А потом и про все остальные $n$. Значит логичным будет заполнить данную последовательность исключительно единицами, на всех позициях. Логично, но не интересно.
Можете просто считать что забыли дописать условие $\forall n>0: a(n)>1$ (для всех $n>0$ должно быть $a(n)>1$) для членов последовательности. Легче стало? Теперь уже можете сказать что-то содержательное по интересующим вопросам?

[Утундрий]

Dmitriy40 в сообщении #1619410 писал(а):

Легче стало?

Наоборот. Вы окончательно запутали в поинципе простой вопрос и вдобавок зачем-то эмоционально его окрасили.

Dmitriy40 в сообщении #1619410 писал(а):

можете сказать что-то содержательное по интересующим вопросам?

Интересующим кого? Ну ладно, предположим, что имелись в виду вопросы обсуждаемые. Тогда имею сказать следующее: это открытая проблема и подходов к её решению не видно.

[Dmitriy40]

Хорошо, пусть ТС по математике разъясняет, а то возможно я действительно лишь запутываю.

Но прошу уточнить:

Утундрий в сообщении #1619413 писал(а):

Тогда имею сказать следующее: это открытая проблема и подходов к её решению не видно.

Это по озвученным мною выше двум вопросам или по гипотезе Коллатца?

[Утундрий]

Dmitriy40 в сообщении #1619418 писал(а):

по гипотезе Коллатца

[MGM]

Dmitriy40 в сообщении #1619390 писал(а):

MGM в сообщении #1619384 писал(а):

Обратное дерево уходит в бесконечность.

При $n\to\infty$ или если брать любое подходящее число (не именно минимальное), при любом конечном $n$ обратное дерево до минимального подходящего числа ограничено сверху (а вся эта тема - про такие числа, минимальные, уже в который раз повторяю).

Что ограничено? Это нонсенс. Так как для каждого n , бесконечное число чисел принадлежащих n-му слою.
И все они несовпадающие. Но даже если вы выбираете для каждого n только одно число, минимум для слоя, то на дереве ровно n таких чисел. С другой стороны вы сами неограничиваете n. $n\to\infty$

[waxtep]

MGM в сообщении #1619467 писал(а):

Что ограничено? Это нонсенс.

Конечно, имеется в виду, что минимальное на $n$-ом слое число ограничено сверху, оно не больше, чем $(16/3)^n$. Оценка получена на предыдущих страницах, и она видимо грубая: численный эксперимент показывает что-то типа $\operatorname{const}\cdot1.06^n$

Dmitriy40 в сообщении #1619418 писал(а):

Хорошо, пусть ТС по математике разъясняет, а то возможно я действительно лишь запутываю.

Мне в общем и нечего добавить, Вы все верно изложили. Вначале мне захотелось выписать аналитически хоть какое-то число $n$-го слоя, это удалось. Затем возник вопрос про $m_1=4$, всегда ли это так для минимальных чисел. Попутно логичным образом мы поискали и нашли ограничения сверху и снизу для минимальных чисел. И Вы реализовали промышленный вариант поиска минимальных чисел перебором, плюс мы пытаемся обхитрить Природу и найти какой-либо более быстрый алгоритм, пока безуспешно.

Прямого отношения к гипотезе Коллатца это не имеет, по крайней мере, в топике не делалось ни малейших попыток доказать или опровергнуть ее. В чем тогда ценность? Ну, поскольку тема интересна не менее, чем двум участникам, видимо, вот это она и есть

[MGM]

waxtep в сообщении #1619472 писал(а):

MGM в сообщении #1619467 писал(а):

Что ограничено? Это нонсенс.

Конечно, имеется в виду, что минимальное на $n$-ом слое число ограничено сверху, оно не больше, чем $(16/3)^n$. Оценка получена на предыдущих страницах, и она видимо грубая: численный эксперимент показывает что-то типа $\operatorname{const}\cdot1.06^n$

Dmitriy40 в сообщении #1619418 писал(а):

Хорошо, пусть ТС по математике разъясняет, а то возможно я действительно лишь запутываю.

Мне в общем и нечего добавить, Вы все верно изложили. Вначале мне захотелось выписать аналитически хоть какое-то число $n$-го слоя, это удалось. Затем возник вопрос про $m_1=4$, всегда ли это так для минимальных чисел. Попутно логичным образом мы поискали и нашли ограничения сверху и снизу для минимальных чисел. И Вы реализовали промышленный вариант поиска минимальных чисел перебором, плюс мы пытаемся обхитрить Природу и найти какой-либо более быстрый алгоритм, пока безуспешно.

Прямого отношения к гипотезе Коллатца это не имеет, по крайней мере, в топике не делалось ни малейших попыток доказать или опровергнуть ее. В чем тогда ценность? Ну, поскольку тема интересна не менее, чем двум участникам, видимо, вот это она и есть

Первый слой имеет аналитическое выражение. Любое число вида 111111....11111 в четверичной позииционной системе. Начиная с 11 - 5 в десятиричной, 111 - 21 1111 - 85 и т. д.

[waxtep]

MGM в сообщении #1619473 писал(а):

Первый слой имеет аналитическое выражение. Любое число вида 111111....11111 в четверичной позииционной системе. Начиная с 11 - 5 в десятиричной, 111 - 21 1111 - 85 и т. д.

О, я как раз всю эту историю начал с возни на бумажке в двоичной и троичной позиционных системах в топик это не вошло, т.к. ничего особо интересного не нашел

-- 24.11.2023, 01:35 --

waxtep в сообщении #1617622 писал(а):

тогда можно взять для $n>1$

$$R_n=\left(\frac23\right)^n\cdot\left(2^{3^{n-1}}+1\right)-1$$

Эта штуковина наверное тоже красиво записывается в системе с каким-нибудь чудовищным основанием?

[MGM]

waxtep в сообщении #1619475 писал(а):

MGM в сообщении #1619473 писал(а):

Первый слой имеет аналитическое выражение. Любое число вида 111111....11111 в четверичной позииционной системе. Начиная с 11 - 5 в десятиричной, 111 - 21 1111 - 85 и т. д.

О, я как раз всю эту историю начал с возни на бумажке в двоичной и троичной позиционных системах в топик это не вошло, т.к. ничего особо интересного не нашел

-- 24.11.2023, 01:35 --

waxtep в сообщении #1617622 писал(а):

тогда можно взять для $n>1$

$$R_n=\left(\frac23\right)^n\cdot\left(2^{3^{n-1}}+1\right)-1$$

Эта штуковина наверное тоже красиво записывается в системе с каким-нибудь чудовищным основанием?

Тогда почему вы не нашли эту простейшую аналитическую формулу? Просто для следующих слоев не может быть простой формулы в принципе.
Если вы знаете обратную рекурсию. В принципе, эта формула в какой-то мере полуаналитическая.
Я вам ее уже давал, пытаясь доказать гипотезу про пятерку. Она верная, но кроме $m_1$ ничего определенного сказать о параметрах этой фомулы нельзя.

-- Пт ноя 24, 2023 03:11:05 --

пишу 11111...111 - просто потому, что на этом компе у меня нет MathType. А так это сумма степеней четверки.

[waxtep]

MGM в сообщении #1619477 писал(а):

Я вам ее уже давал, пытаясь доказать гипотезу про пятерку. Она верная, но кроме $m_1$ ничего определенного сказать о параметрах этой фомулы нельзя.

Эта формула присутствует в первом сообщении топика (у меня другие обозначения: $m_i$ - не кумулятивный показатель степени, а парциальный). Можно еще сказать, что для минимальных чисел (в этих обозначениях) самый дальний от единицы показатель $m_n\in\{1,2\}$, это строго, не гипотеза. Формула "полуаналитическая" в том плане, что к ней надо дописывать "если получившееся число натурально". Мне хотелось формулу хотя бы для одного представителя $n$-го слоя, но без необходимости такой приписки; она получена.

Да, конечно, я надеялся "от руки" выписать не такого огромного бегемота $\sim2^{3^n}$, а что-то поближе к минимальному числу слоя. Это можно сделать обратной рекурсией, используя только $1\leqslant{m_i}\leqslant4$; получится какая-то оценка сверху для минимального числа, лучшая, чем $(16/3)^n$, но все равно чересчур огромная для практических применений

[MGM]

waxtep в сообщении #1619505 писал(а):

MGM в сообщении #1619477 писал(а):

Я вам ее уже давал, пытаясь доказать гипотезу про пятерку. Она верная, но кроме $m_1$ ничего определенного сказать о параметрах этой фомулы нельзя.

Эта формула присутствует в первом сообщении топика (у меня другие обозначения: $m_i$ - не кумулятивный показатель степени, а парциальный). Можно еще сказать, что для минимальных чисел (в этих обозначениях) самый дальний от единицы показатель $m_n\in\{1,2\}$, это строго, не гипотеза. Формула "полуаналитическая" в том плане, что к ней надо дописывать "если получившееся число натурально". Мне хотелось формулу хотя бы для одного представителя $n$-го слоя, но без необходимости такой приписки; она получена.

Да, конечно, я надеялся "от руки" выписать не такого огромного бегемота $\sim2^{3^n}$, а что-то поближе к минимальному числу слоя. Это можно сделать обратной рекурсией, используя только $1\leqslant{m_i}\leqslant4$; получится какая-то оценка сверху для минимального числа, лучшая, чем $(16/3)^n$, но все равно чересчур огромная для практических применений

Нет, ничего дописывать не надо. Просто все m определяются через суммы и модули от 3х. Это ничего не добавляет к пониманию, но делает формулу полуаналитической. Наверняка вам известны подобные рекурсивные формулы для четно нечетной последовательности.
Это представление используется для z представления гипотезы Коллаца. Это ничего не меняет. С моей точки зрения, так как за 30 лет и эта эквивалентная формулировка ни на шаг не приблизила гипотезу к доказательству.

[Dmitriy40]

Вот казалось бы, уже сколько раз повторил что никакого доказательства гипотезы Коллатца тут нет, не было и не будет - однако все по прежнему уверены что именно её тут и доказывают.

waxtep, Вы бы того, попросили модераторов переименовать тему, что ли ... Конечно если не собираетесь всё же доказывать гипотезу.

[waxtep]

Dmitriy40 в сообщении #1619600 писал(а):

waxtep, Вы бы того, попросили модераторов переименовать тему, что ли ... Конечно если не собираетесь всё же доказывать гипотезу.

"Около гипотезы Коллатца" или "Не-доказательство не-гипотезы не-Коллатца"? Да мне кажется, пусть так лежит, если (я надеюсь!) будут интересные результаты, то под любым названием покатят. У меня пока затык, никаких новых идей. Поразбираюсь с Вашим рекурсивным вариантом, пока не игрался, но хочу