К вопросу о работе силы трения

[EUgeneUS]

GAA
В конечных суммах это будет так.
1. В момент времени $t_0$ на материальную точку $i=0$ действует сила $\mathbf{F_0}$
1.1 Эта точка движется со скоростью $\mathbf{v_0}$
1.2 Тогда работа силы $\mathbf{F_0}$, будет равна $\delta A_0 = \mathbf{F_0} d \mathbf{S_0} = \mathbf{F_0} \mathbf{v_0} dt$

2. В следующий момент времени $t_1 = t_0 + d t$ на другую материальную точку $i=1$ действует сила $\mathbf{F_1}$
2.1. Эта точка движется со скоростью $\mathbf{v_1}$
2.2 Тогда работа силы $\mathbf{F_1}$, будет равна $\delta A_1 = \mathbf{F_1} d \mathbf{S_1} = \mathbf{F_1} \mathbf{v_1} dt$

и т.д.
Заметьте, что "траектория" точек приложения силы вообще никак не участвует.

-- 14.11.2023, 21:12 --

GAA в сообщении #1617930 писал(а):

К чему это? Вы в самом деле не видите разницы между определением работы, которая даётся в учебниках и рассматриваемыми двумя случаями (колеса катящегося по дороге и диска раскручивающегося бегущей дорожкой)?

В каких учебниках? По матану? Там нет определения работы силы. А в учебниках физики всё хорошо... Может быть не везде все прозрачно, но всё хорошо.

-- 14.11.2023, 21:13 --

GAA в сообщении #1617930 писал(а):

Очередная ветка на тему (и в этой 21 страниц!!!) и ни в одной ни точных определений, ни разбора поучительных примеров.

разборов поучительных примеров тут куча. Но не все их воспринимают, почему-то.

[GAA]

EUgeneUS в сообщении #1617932 писал(а):

В конечных суммах это будет так.
1. В момент времени $t_0$ на материальную точку $i=0$ действует сила $\mathbf{F_0}$
1.1 Эта точка движется со скоростью $\mathbf{v_0}$
1.2 Тогда работа силы $\mathbf{F_0}$, будет равна $\delta A_0 = \mathbf{F_0} d \mathbf{S_0} = \mathbf{F_0} \mathbf{v_0} dt$

2. В следующий момент времени $t_1 = t_0 + d t$ на другую материальную точку $i=1$ действует сила $\mathbf{F_1}$
2.1. Эта точка движется со скоростью $\mathbf{v_1}$
2.2 Тогда работа силы $\mathbf{F_1}$, будет равна $\delta A_1 = \mathbf{F_1} d \mathbf{S_1} = \mathbf{F_1} \mathbf{v_1} dt$

Это определение интегральной суммы? Какого типа интегральной суммы?

[EUgeneUS]

GAA в сообщении #1617933 писал(а):

Это определение интегральной суммы? Какого типа интегральной суммы?

Нет, это не определение интегральной суммы.
Это только первые два пункта, как считать работу силы, которая прикладывается к разным материальным точкам.
Да, конечно, говоря о конечной сумме, вместо $d$ и $\delta$ следовало использовать $\Delta$. И конечную сумму в конце концов следовало бы записать как $A = \sum\limits_{i=0}^{N} \Delta A_i$

Толку-то? Вы приведите пример, про какие учебники говорите.
Фихтенгольц? Хорошо. Где у него определение работы?

[sergey zhukov]

GAA в сообщении #1617824 писал(а):

По теореме о сведении криволинейного интеграла второго рода к определённому
$A = \int_{AB} \vec F d \vec r = \int_{t_1}^{t_2}\left\{ F_x(x(t), y(t)) \dot x(t) + F_y(x(t), y(t)) \dot y(t) \right\}dt, $
где $x(t)$, $y(t)$ — путь приложения силы; $x(t_1)$, $y(t_1)$ — координаты $A$, $x(t_2)$, $y(t_2)$ — координаты $B$. $\dot x(t)$, $\dot y(t)$ — скорость точки приложения силы.

Это не совсем то, что нужно. Т.е. этот интеграл справедлив для случая, когда сила все время приложена к одной и той же точке тела.

Например здесь $\vec{dr}$ - это вектор, касательный к траектории точки приложения силы $AB$, так? Но если точка приложения силы непрерывно перемещается по телу, работа совершается вовсе не на элементарном перемещении вдоль траектории точки приложения силы. Она совершается на элементарном перемещении вдоль мгновенной скорости точки тела, а это перемещение в общем случае не касательное к траектории перемещения точки приложения силы.

Так же, $\dot x(t)$, $\dot y(t)$ - это скорость именно точки приложения силы. Нам же нужна скорость точки тела, а не точки приложения силы. Эти скорости совпадают, если сила все время приложена в одной точке тела. Но если точка приложения силы все время непрерывно перемещается по разным точкам тела, то эти скорости (скорость точки тела и скорость точки приложения силы) не совпадают.

Я ссылку на учебник дать не могу, но мне тут все кажется совершенно ясным. Вот выше EUgeneUS все правильно написал. Принцип ясен.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

GAA в сообщении #1617933 писал(а):

Какого типа интегральной суммы?

Такие заявления от математиков зверят и скотинят до глубины души.
Вам, математикам, физики уравнение Навье-Стокса записали, а вы его решить не можете. Даже за миллион долларов

[GAA]

EUgeneUS в сообщении #1617934 писал(а):

Где у него определение работы?

Фихтенгольц Г.М. в книге Курс дифференциального интегрального исчисления. Т3 писал(а):

554 Физические задачи. Остановимся в заключении на нескольких физических задачах, в которых криволинейные интегралы находят себе применение.
1) Работа силового поля. Пусть в каждой точке $M$ плоскости $xy$ (или определённой части плоскости) на помещённую в неё единицу массы действует определённая сила $\vec F$, величина и направление которой зависят только от положения точки $M$; если масса $m$ помещённой в точке $M$ материальной точки отлична от единицы, то действующая на неё сила будет равна $m\vec{F}$. При этих условиях плоскость (или рассматриваемая её часть) называется (плоским) силовым полем, а сила $\vec F$, действующая на единицу массы, — напряжением поля.
<…>
Предположим теперь, что материальная точка $M$ с единичной массой, находящаяся в поле, движется и описывает некоторую непрерывную кривую ($K$) в определённом направлении. Задача состоит в вычислении работы $A$, которую при этом движении совершают силы поля.
<…>

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1617936 писал(а):

Это не совсем то, что нужно.

Вообще говоря, с учетом:

sergey zhukov в сообщении #1617936 писал(а):

$x(t)$, $y(t)$ — путь приложения силы;

и

sergey zhukov в сообщении #1617936 писал(а):

$\dot x(t)$, $\dot y(t)$ — скорость точки приложения силы.

Это именно то, что нужно. (Сорри, брал цитаты из Вашего поста). Если под "точкой приложения силы" понимать материальную точку, которая совсем не обязана двигаться по пути приложения силы.

-- 14.11.2023, 21:50 --

GAA в сообщении #1617939 писал(а):

554 Физические задачи.

Это пример, кстати, не имеющий ничего общего с катящимся цилиндром. А определение работы где?

[GAA]

EUgeneUS в сообщении #1617941 писал(а):

А определение работы где?

Мне весь параграф цитировать?

-- Tue 14.11.2023 20:54:22 --

EUgeneUS в сообщении #1617941 писал(а):

Это пример, кстати, не имеющий ничего общего с катящимся цилиндром.

Естественно. Я же прошу ссылку на теорию, которая описывает катящийся цилиндр.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Под точкой приложения силы нужно понимать именно точку приложения силы. Для нее и траектория $AB$ определена, по которой интеграл берется. $x(t), y(t)$ - это координаты именно точки приложения силы, они на этой траектории лежат. А скоростей материальных точек (точек тела) нет в этом выражении.

[EUgeneUS]

GAA в сообщении #1617943 писал(а):

Мне весь параграф цитировать?

Достаточно процитировать определение работы.

GAA в сообщении #1617943 писал(а):

Я же прошу ссылку на теорию, которая описывает катящийся цилиндр.

Вот она:
$\delta A = \mathbf{F} d \mathbf{S} = \mathbf{F} \mathbf{v} d t$
где,
$ d \mathbf{S}$ - элементарное перемещение материальной точки, к которой приложена сила $\mathbf{F}$
$\mathbf{v}$ - скорость материальной точки, к которой приложена сила $\mathbf{F}$

-- 14.11.2023, 22:01 --

sergey zhukov в сообщении #1617945 писал(а):

$x(t), y(t)$ - это координаты именно точки приложения силы, они на этой траектории лежат. А скоростей материальных точек (точек тела) нет в этом выражении.

о5 25 за рыбу деньги.
Траектория солнечного зайчика - это таки траектория, или нет?

[sergey zhukov]

EUgeneUS в сообщении #1617946 писал(а):

Траектория солнечного зайчика - это таки траектория, или нет?

Я лично траекторией называю просто функцию $x(t), y(t)$. Все равно, что находится в этой точке. Можно и солнечный зайчик. "Точка приложения силы (или солнечный зайчик) движется по траектории" вполне себе понятное выражение. Совершенно ясно, что оно значит. Если не нравится, давайте заменим на "кривую", я не против.

Проблема не в понятии "траектория", а в смешивании и вообще отождествлении точки приложения силы с точкой тела. Нужно четко понять, что это разные точки с разными скоростями и разными траекториями.

[EUgeneUS]

sergey zhukov
траектория, так траектория.
Только чего траектория?
Солнечный зайчик легко движется со скоростью больше $c$, например. А для чего-то материального это запрещено СТО

-- 14.11.2023, 22:14 --

sergey zhukov
Кстати, обратите внимание, свет оказывает давление. Поэтому в пятне солнечного зайчика действует ненулевая сила давления света.

-- 14.11.2023, 22:14 --

И какая будет работа силы давления света?

[GAA]

EUgeneUS в сообщении #1617946 писал(а):

Достаточно процитировать определение работы.

(продолжение) Фихтенгольц Г.М. в книге Курс дифференциального интегрального исчисления. Т3 писал(а):

… работа силового поля выразиться интегралом второго типа:
$A = \int\limits_{(K)} X dx + Ydy.$
Это и есть наиболее употребительное выражение для работы, удобное для исследования важных, связанных с нею вопросов: зависит ли произведённая работа от формы траектории, соединяющей данные две точки; будет ли работа по замкнутой траектории всегда равна нулю (об этом см. ниже nn 555–562)

Рассмотрена работа в двумерном случае, но криволинейный интеграл до этого вводился и для трёхмерного случая.

[мат-ламер]

GAA
В нашем конкретном случае (разгоняющееся колесо или гусеница) работа по абстрактной кривой (где мы не учитываем скорость её прохождения) из определения Фихтенгольца не работает. У нас есть неприятность. Поле силы трения разрывно. Оно отлично от нуля на дороге и равно нулю вне её.

Я имею в виду работу по перемещению всего колеса. Для каждой точки работа нулевая. Но точек континуум. Получаем неопределённость.

И задача в общем не такая простая. Тут сам Четаев в своём учебнике (стр.72 вроде) утверждал, что работа сила трения покоя по перемещению цилиндра на шершавой плоскости в принципе не определена корректно. А Четаев был в своё время директором института механики. И лауреат многочисленных премий.

[GAA]

мат-ламер в сообщении #1617953 писал(а):

В нашем конкретном случае (разгоняющееся колесо или гусеница) работа по абстрактной кривой (где мы не учитываем скорость её прохождения) из определения Фихтенгольца не работает.

GAA в сообщении #1617943 писал(а):

Естественно. Я же прошу ссылку на теорию, которая описывает катящийся цилиндр.

Естественно это не нужно понимать дословно. Интересна общая теория, которая описывает все случаи, в том числе и катящийся цилиндр, и разгоняющийся бегущей дорожкой цилиндр, при условии, что имеются какие-то показательные (поучительные) примеры применения такой теории.

А так, в частных случаях, я на коленке могу состряпать себе что-то.