Потенциал поля бесконечной заряженной нити

[Ascold]

Пусть есть нить с линейной плотностью заряда $\lambda$ и требуется найти потенциал на расстоянии $r$, но не интегрированием напряжённости, а прямым интегрированием по принципу суперпозиции. Пустим вдоль нити ось абсцисс, ну а напротив точки наблюдения выберем начало координат. Тогда

$$ \varphi=\int^\infty_{-\infty}\frac{k\lambda dx}{\sqrt{x^2+r^2}}=2\int^\infty_0\frac{k\lambda dx}{\sqrt{x^2+r^2}}=2k\lambda \ln|x+\sqrt{x^2+r^2}|\Right|^\infty_0=\infty.$$

Что я делаю не так?

[reterty]

Ascold в сообщении #1615696 писал(а):

Пусть есть нить с линейной плотностью заряда $\lambda$ и требуется найти потенциал на расстоянии $r$, но не интегрированием напряжённости, а прямым интегрированием по принципу суперпозиции. Пустим вдоль нити ось абсцисс, ну а напротив точки наблюдения выберем начало координат. Тогда

$$ \varphi=\int^\infty_{-\infty}\frac{k\lambda dx}{\sqrt{x^2+r^2}}=2\int^\infty_0\frac{k\lambda dx}{\sqrt{x^2+r^2}}=2k\lambda \ln|x+\sqrt{x^2+r^2}|\Right|^\infty_0=\infty.$$

Что я делаю не так?

topic138074.html topic138719.html

[Утундрий]

Ascold
Обозначьте как-то верхний предел (например $L$), и подумайте, что происходит с графиком $\varphi (r)$ с ростом $L$?

[Ascold]

Утундрий в сообщении #1615704 писал(а):

Ascold
Обозначьте как-то верхний предел (например $L$), и подумайте, что происходит с графиком $\varphi (r)$ с ростом $L$?

график - убывающая кривая с асимптотами - осями координат. Если $L$ растёт, то кривая вся взмывает в небеса. Как это объяснить в смысле физики, кроме того, что если у конечной нити "потенциалу много", то у бесконечной - ещё больше, неясно, буду штудировать указанные выше темы.

[realeugene]

Ascold в сообщении #1616022 писал(а):

Как это объяснить в смысле физики

Как то, что бесконечных нитей в природе не бывает. А логарифм в бесконечности расходится очень медленно, поэтому, приближенно рассматривая поле в окрестности длинной, но конечной нити, этот интеграл обычно обрезают чем-нибудь примерно разумным.

[Mihr]

Бесконечная однородная равномерно заряженная нить, если бы она существовала, имела бы бесконечную массу и бесконечный заряд. Это не вызывает протеста? "Не устраивает" лишь бесконечное значение потенциала?

[Утундрий]

Ascold в сообщении #1616022 писал(а):

Как это объяснить в смысле физики,

С точностью до чего у нас определён потенциал?

[sergey zhukov]

Ascold
Потенциал - это работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности в данную точку. В случае заряженной нити эта работа будет бесконечной. Все правильно. Так и можно ответить.

Обычно же нас интересует потенциал, чтобы найти напряженность поля (т.е. силу, действущая на заряд). Напряженность равна градиенту (производной) потенциала, и она в данной точке конечна. А абсолютное значение потенциала в этом случае не имеет значения, достаточно только знать его производную. Т.е. функция потенциала у нас оказывается бесконечной потому, что это какая-то конечная функция, к которой добавлена бесконечная константа, которая при дифференциировании уходит. Т.е. тут неопределенность типа $\infty-\infty$, которая конечна.

Тут, по моему, проще все же напряженность поля интегрировать, чтобы найти потенциал.

[Mihr]

sergey zhukov в сообщении #1616047 писал(а):

Потенциал - это работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности в данную точку.

Наоборот: работа поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки в бесконечно удалённую точку.
Это если потенциал бесконечно удалённой точки считать равным нулю (что, вообще говоря, не является обязательным).
Более простое и более общее определение: отношение потенциальной энергии заряда во внешнем поле к величине этого заряда.

[sergey zhukov]

Mihr
А, ну я имел ввиду работу некоторой сторонней силы, работающей против поля. Так то вы правы, конечно.
Да, потенциал на бесконечности не обязательно считать равным нулю. Ответ в задаче должен быть функцией с точностью до константы.

[Doctor Boom]

Mihr в сообщении #1616029 писал(а):

Бесконечная однородная равномерно заряженная нить, если бы она существовала, имела бы бесконечную массу и бесконечный заряд. Это не вызывает протеста? "Не устраивает" лишь бесконечное значение потенциала?

Дык это глобальная, а не локальная бесконечность. Бесконечные заряженные пластины простеста же не вызывают?

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1616080 писал(а):

Бесконечные заряженные пластины простеста же не вызывают?

Почему же? Вызывают. Для них ведь подобный расчет тоже дает бесконечный потенциал.

[Mihr]

Doctor Boom, дайте определения глобальной бесконечности и локальной бесконечности. И объясните, чем одна из них "лучше" или "хуже" другой. Я как-то разницы не вижу.
Например, мы говорим о материальной точке, как о чём-то, имеющем массу, но не имеющем размеров. У такой "точки" должна быть бесконечная плотность. Это глобальная бесконечность или локальная?

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1616084 писал(а):

Почему же? Вызывают. Для них ведь подобный расчет тоже дает бесконечный потенциал

Ну там калибровкой константы можно его сделать везде конечным (в отличии от нити, где на ней всегда будет бесконечность)

Mihr в сообщении #1616087 писал(а):

У такой "точки" должна быть бесконечная плотность. Это глобальная бесконечность или локальная?

Локальная, но она хорошая, дельтаобразная, интегральная

[EUgeneUS]

Doctor Boom в сообщении #1616090 писал(а):

Ну там калибровкой константы можно его сделать везде конечным (в отличии от нити, где на ней всегда будет бесконечность)

Чего