Ограниченная функция ограничена в ОО или ОЗ?

[Arturk]

Предисловие

К сожалению, в своё время прогулял курс математического анализа и высшей математики в целом, но сейчас захотелось освоить какой-то базовый курс с уклоном в физику, и ещё бы идеально теории множеств, теории групп, чтобы потом изучать эти разделы имея какую-то почву.

Выбирая учебники, остановился на курсе высшей математики авторов В.И. Белоусова, Г.М. Ермакова, М.М. Михалева, Ю.В. Шапарь, И.А. Шестакова.

Изучая учебник у меня постоянно присутствовало чувство, что изложенная информация не верна, мне постоянно приходилось сомневаться и даже перепроверять.
Опасения не беспочвенны: так, всего лишь на девятой странице, в п.4, ошибочно даётся определение симметрической разности множеств A и B как пересечение разностей A и B и B и A, а не их объединение (пересечение разностей таких множеств это вообще пустое множество).

Изучив раздел, посвященный множествам, я перешёл к разделу, посвящённому функциям.
Сначала, отмечу (может авторы случайно наткнутся на данную, по совместительству, "рецензию" и учтут и мою критику), огорчило отсутствие определения отображения, сюръекции, инъекции, биекции и прочих свойств отображений, вместо чего Авторы сразу ввели понятия функций. Любопытно, что понятие отображения всё же вводится, но практически в конце учебника (222 с.), для введения в теорию множеств.

Суть

Изучая раздел, уже на 15 странице я столкнулся с формулировкой, которую не смог "проглотить": "Функция $y = f (x)$ называется ограниченной
сверху в области определения $X$, если существует такое положительное число $M$, что выполняется неравенство
$f(x) \leqslant M, \forall x \in X $ ".

Я считаю, что это формулировка ошибочна - функция ограничена не в области определения (далее - ОО, домен), а области значений (далее - ОЗ).
Написал соответствующую публикацию на math.stackexchange, но её заминусовали, а ответчик, пытавшийся доказывать, что формулировка верная, спора не выдержал, покинув его.

Приведу сюда перевод своего доказательства:

Доказательство

Функция, или обобщённо отображение, может быть задана несколькими способами:

- Аналитически: используя алгебраическое выражение и указывая область определения (x) и область значений (y) отображения, например: $Y:y=f(x),$ для $x \in X \subseteq \mathbb{R}, y \in Y\subseteq X$;
- Явно указывая ОО и ОЗ: $f: X\rightarrow Y$, $X = \{1,2,3\}, Y=\{3,2,1\}$
- Графически

Общей чертой всех перечисленных способов является тот факт, что ОО и ОЗ задают функцию.

Изменяя множество ОО, мы переопределяем функцию, мы рассматриваем другую функцию, либо же, если мы рассматриваем часть домена, то есть поддомен, то мы не можем применить понятие ограниченности функции, поскольку по определению ограниченности, функция должна рассматриваться для всех x [1].

Если мы рассматриваем только некоторые "иксы", то есть только часть домена, то есть поддомен, то мы имеем дело с локальным максимум и минимумом [2].

Итог

Ограниченная функция не ограничена в области определение, поскольку ограничиваемое значение относится к области значений, а не домену; рассматривая другой домен, ограниченность той же функции не изменяется, поскольку функция с другим доменом это другая функция, в виду того, что функция определяется через домен.

Ограниченная функция ограничена в области значений (Y), и не в домене (X).

Ссылки

[1] - https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function
[2] - https://math.dartmouth.edu/opencalc2/cole/lecture10.pdf (page 2)

Цель публикации

Публикую пост здесь чтобы:
1) Если кто-то смог опровергнуть мои рассуждения, то опроверг их, либо наоборот подтвердил верность.
2) Посоветовали другой учебник, либо убедили, что ошибки на первых страницах в упомянутом - исключение и можно продолжать изучением по нему.

[Anton_Peplov]

Определение 1. Функция $y = f (x)$, определенная на множестве $X$, называется ограниченной сверху, если существует такое положительное число $M$, что выполняется неравенство $f(x) \leqslant M, \forall x \in X $.

Определение 2. Функция $y = f (x)$, имеющая область значения $Y$, называется ограниченной сверху, если существует такое положительное число $M$,что для каждого числа $y \in Y$ верно $y \leqslant M$.

Докажите, что определения 1 и 2 равносильны друг другу.

[Dedekind]

Arturk в сообщении #1614766 писал(а):

"Функция $y = f (x)$ называется ограниченной
сверху в области определения $X$, если существует такое положительное число $M$, что выполняется неравенство
$f(x) \leqslant M, \forall x \in X $ ".

Строгое математическое определение ограниченной функции - это вот это: $\exists M>0 \forall x \in X: f(x) \leqslant M$. Все, больше тут ничего нет. А уж в какие слова это облечь, называть ли функцию ограниченной в ОО или в ОЗ - это дело вкуса. До тех пор, пока вы правильно применяете именно строгое математическое определение в своих задачах.

[mihaild]

(Оффтоп)

Dedekind в сообщении #1614776 писал(а):

Строгое математическое определение ограниченной функции - это вот это: $\exists M>0: f(x) \leqslant M, \forall x \in X $.

Нет, строгое определение это $\exists M > 0 \forall x \in X: f(x) \leqslant M$. А ставить кванторы в произвольных местах это дурная традиция мат. анализа.

[Dedekind]

Arturk в сообщении #1614766 писал(а):

Я считаю, что это формулировка ошибочна

А, ну и да, определения не могут быть ошибочны/не ошибочны.

-- 26.10.2023, 14:40 --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1614779 писал(а):

Нет, строгое определение это $\exists M > 0 \forall x \in X: f(x) \leqslant M$. А ставить кванторы в произвольных местах это дурная традиция мат. анализа.

Согласен, мой косяк, скопировал не глядя:) Поправил. Но в любом случае, суть претензии ТС же не в порядке следования кванторов.

[Arturk]

Anton_Peplov в сообщении #1614773 писал(а):

Определение 1. Функция $y = f (x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое положительное число $M$, что выполняется неравенство $f(x) \leqslant M, \forall x \in X $.

Определение 2. Функция $y = f (x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое положительное число $M$,что для каждого числа $a$ из области значений функции верно $a \leqslant M$.

Докажите, что определения 1 и 2 равносильны друг другу.

Уточните, что Вы имеете в виду под равносильностью определений?
1) Что первое определение означает то же, что и второе?
2) Или, что при выполнении условия одно, выполняется условие второго?

Если 1 - то я не смогу доказать, поскольку они не равносильны. Не равносильны потому, что у первом утверждении задаётся условие ограничения области значений, а во втором области определения.
Если 2 - $M = 5, f(x) = 3x$, при $x = 2, x < M$, но $f(x) > M$

[Anton_Peplov]

Arturk в сообщении #1614787 писал(а):

Что первое определение означает то же, что и второе?

Да.

Arturk в сообщении #1614787 писал(а):

поскольку они не равносильны

Попробуйте привести пример функции, для которой выполняется определение 1, но не 2, или наоборот. Может быть, это натолкнет Вас на некую мысль.

[Dedekind]

Arturk в сообщении #1614787 писал(а):

$x < M$

А это откуда взялось? Где хоть в одном определении (из вашего поста, или из поста Anton_Peplov) было требование для $x$ быть меньше $M$?

[Arturk]

Anton_Peplov в сообщении #1614789 писал(а):

Arturk в сообщении #1614787 писал(а):

Что первое определение означает то же, что и второе?

Да.

Arturk в сообщении #1614787 писал(а):

поскольку они не равносильны

Попробуйте привести пример функции, для которой выполняется определение 1, но не 2, или наоборот. Может быть, это натолкнет Вас на некую мысль.

Простите, написал предыдущий комментарий, думая, что Вы имели в виду $a$ из области определения.


Если в условии $y \in Y$ под $y$, понимается именно тот элемент множества $Y$, которому ставятся в соответствие элементы множества области определения, а не все элементы множества области значений, то есть элемент, имеющий хотя бы одну пару с элементом из $X$, другими словами, под $y$ понимается именно $y$ из $y = f(x)$, а не просто произвольная литера для обозначения какого-либо элемента множества области значений, то утверждение равносильно первому, поскольку $f(x)$ есть $y$.

Если имеется в виду любой элемент множества ОЗ, второе утверждение верно только если область значений - конечное множество, то есть либо полуинтервал, либо отрезок и элемент множества области значений с наибольшим значение есть $M$. В остальных случаях второе утверждение не выполняется.

-- 26.10.2023, 16:25 --

(я не знаю, почему тут цитируется тонна других сообщений, видимо нужно вручную удалять лишнее)

[Ende]

Arturk в сообщении #1614791 писал(а):

я не знаю, почему тут цитируется тонна других сообщений, видимо нужно вручную удалять лишнее

Чтобы процитировать нужный фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите под этим сообщением кнопку "Вставка".

[Arturk]

Ende в сообщении #1614795 писал(а):

Чтобы процитировать нужный фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите под этим сообщением кнопку "Вставка".

Хорошо, но я пользовался кнопкой "цитата".

[Anton_Peplov]

Arturk в сообщении #1614791 писал(а):

под $y$, именно те элементы множества $Y$, которым ставятся в соответствие элементы множества области определения, а не все элементы множества области значений

Да, тут я был несколько неточен. Нужно оговориться, что определения эквивалентны, когда функция - сюръекция. Собственно, именно поэтому определением 1 удобнее пользоваться, чем определением 2.

Arturk в сообщении #1614791 писал(а):

то утверждение равносильно первому

Ну и в чем тогда вопрос?

[Arturk]

Dedekind в сообщении #1614776 писал(а):

Строгое математическое определение ограниченной функции - это вот это: $\exists M>0 \forall x \in X: f(x) \leqslant M$. Все, больше тут ничего нет. А уж в какие слова это облечь, называть ли функцию ограниченной в ОО или в ОЗ - это дело вкуса. До тех пор, пока вы правильно применяете именно строгое математическое определение в своих задачах.

1) А что означает ноль перед "для всех"?
2) А уж в какие слова это облечь, называть ли функцию ограниченной в ОО или в ОЗ - это дело вкуса - не согласен.
Да, строгая математическая формулировка через соответствующие символы и знаки является объективным описанием взаимоотношений чисел (хотя иногда существующий формализм мне представляется не точным).
Но можете ли Вы (человек) осознать такие взаимоотношения без слов? Приматы, насколько я знаю могут (как минимум потому что у них слов нет), но может ли человек, что называется "понять без слов"? По-моему даже когда Вы молча смотрите на два карандаша и понимаете, что их два, потому, что один $+$ один равно два, Вы всё равно, думаете словами, типа: "один карандашик и ещё один карандашик, ага, значит два карандашика"


(p.s. я это сообщение уже писал, но оно то ли исчезло, то ли не отправилось вообще)

-- 26.10.2023, 16:48 --

Anton_Peplov в сообщении #1614798 писал(а):

Ну и в чем тогда вопрос?

Вопроса нет, есть утверждение о том, что ограниченная функция ограничена в области значений, а не в области определения.
В первом утверждении, которое Вы привели, никаких ограничений по отношению к элементам области определения не задано. Даже наоборот, - $\forall x$. Во втором определении $x$ вообще не упоминается кроме, как в самой функции.

[Dedekind]

Arturk в сообщении #1614800 писал(а):

1) А что означает ноль перед "для всех"?

Это от предыдущего неравенства. $\exists M>0\;\; \forall x \in X: f(x) \leqslant M$

Arturk в сообщении #1614800 писал(а):

Но можете ли Вы (человек) осознать такие взаимоотношения без слов?

Это значения не имеет. Вы когда решаете задачи все равно пользуетесь именно формальными рассуждениями (или можете, при необходимости, свести рассуждения к формальным). А тут разночтений нет.

Arturk в сообщении #1614800 писал(а):

есть утверждение о том, что ограниченная функция ограничена в области значений, а не в области определения.

Такого утверждения нигде нет. Дано определение функции, ограниченной свехру на своей ОО. Все. С определениями не спорят.

[Anton_Peplov]

Слова "функция ограничена сверху на множестве $X$" означают "сверху ограничено множество значений, которые функция принимает на аргументах из множества $X$". Эта терминология может с непривычки показаться странной. Вы оцените ее удобство, когда начнете исследовать функции: находить участки непрерывности, возрастания, убывания, точки экстремума и перегиба.