Ограниченная функция ограничена в ОО или ОЗ?

[Arturk]

Dedekind в сообщении #1614804 писал(а):

Это значения не имеет. Вы когда решаете задачи все равно пользуетесь именно формальными рассуждениями (или можете, при необходимости, свести рассуждения к формальным). А тут разночтений нет.

Вы противоречите себе - рассуждения (формальные или неформальные) разве не существуют в форме либо речи, либо мысли? А речь, как мысль, разве не выражена в словах? Или может быть иначе?
Если выражаются, значит слова важны, и тогда моё изначальное утверждение верно.

Dedekind в сообщении #1614804 писал(а):

Такого утверждения нигде нет. Дано определение функции, ограниченной на своей ОО.

Снова противоречие - определение есть утверждение. Если нет - пожалуйста докажите.
Если Вы имели в виду, что каждый волен давать какое-угодно определение чему-либо, то да, я не спорю, однако здесь вопрос именно не в не верности, ложности, или как я написал изначально - ошибочности: утверждения о том, что область определения ограничена, при условии "для любого элемента области определения", т.е. $\forall x \in X$, что есть взаимоисключающим.

Dedekind в сообщении #1614804 писал(а):

Все. С определениями не спорят.

Это Вы лично решили? Или это физически не возможно? И формулировка "С определениями не спорят" не верна, поскольку определения не спорят.

[mihaild]

Arturk, Вы хотите разобраться, или научить всех своему представлению?

Arturk в сообщении #1614809 писал(а):

рассуждения (формальные или неформальные) разве не существуют в форме либо речи, либо мысли

Формальные рассуждения - это последовательность значков, удовлетворяющая некоторым строгим правилам.

Arturk в сообщении #1614809 писал(а):

Снова противоречие - определение есть утверждение

Нет. Определение вводит новое понятие. Утверждение использует уже введённые.

Arturk в сообщении #1614809 писал(а):

Dedekind в сообщении #1614804 писал(а):

Все. С определениями не спорят.

Это Вы лично решили?

Это общепринятая в математике практика, потому что споры об определениях бесполезны. Есть некоторый набор общепринятых определений (хотя всё равно иногда у одного термина есть несколько не эквивалентных вариантов определения), которые рекомендуется использовать в общепринятом же смысле, чтобы было проще понимать. Но, строго говоря, если кто-то в начале статьи скажет "множество $\{3, \mathbb R, \text{жёлтые ботинки}\}$ будем называть множеством натуральных чисел" - ошибки в этом нет.

[Arturk]

Anton_Peplov в сообщении #1614807 писал(а):

Слова "функция ограничена сверху на множестве $X$" означают "сверху ограничено множество значений, которые функция принимает на аргументах из множества $X$"

Да, я об этом думал, возможно, максимально строго и формально, это единственный вариант, как тут можно выкрутиться: поскольку значения функции, не самостоятельны, а являются лишь отображением элементов области определения по заданному правилу, то всё что можно утверждать об области значений, можно утверждать и об области определения.

Но, уже сейчас есть несколько, не сильных, правда, но аргументов против:

1. По-поводу удобности аргумент полностью не состоятелен: я не видел, чтобы, например неубывающая функция формулировалась как "функция, аргумент которой не убывает", но такая "удобная" формулировка кончено имела в виду, что не убывает значение функции, которому соответствует какой-то аргумент. Абсурд.
2. Вы привели просто определение функции, то есть Вы написали часть определение термина, то есть, что ограниченная функция - это функция, значения которой ограничены... а дальше просто написали что такое функция, то есть написали, что её значения сопоставлены аргументам.
3. Что значит "сверху"? По отношению к области определения, элементы которой, как правило отображены слева на право, а не сверху вниз? (риторический вопрос)

Но согласен, что это не достаточно сильные аргументы. Нужно немного подумать.

[Dedekind]

Arturk в сообщении #1614809 писал(а):

утверждения о том, что область определения ограничена

Такого утверждения точно нигде не было. Не путайте "функция ограничена на области определения" и "область определения ограничена". У этих предложений разное подлежащее.

[Arturk]

mihaild в сообщении #1614811 писал(а):

Формальные рассуждения - это последовательность значков, удовлетворяющая некоторым строгим правилам.

Мы по кругу начинаем ходить. Если Вы под рассуждениями имеете в виду, не слова, а математические выражения, то как я уже написал, для того, чтобы человеку их осознать нужны слова. И в любом случае, в данной теме математическая формулировка, приведённая в учебнике не оспаривается, поскольку верна. Я утверждаю, что словесная формулировка не верна, поэтому обсуждать математическую формулировку, кроме как для того, чтобы доказать или опровергнуть словесную не вижу смысла в рамках данной дискуссии.

mihaild в сообщении #1614811 писал(а):

Нет. Определение вводит новое понятие. Утверждение использует уже введённые.

Во-первых определение - есть утверждение, в том смысле, что не есть отрицанием. С остальным наверное соглашусь.

mihaild в сообщении #1614811 писал(а):

Это общепринятая в математике практика, потому что споры об определениях бесполезны. Есть некоторый набор общепринятых определений (хотя всё равно иногда у одного термина есть несколько не эквивалентных вариантов определения), которые рекомендуется использовать в общепринятом же смысле, чтобы было проще понимать. Но, строго говоря, если кто-то в начале статьи скажет "множество $\{3, \mathbb R, \text{жёлтые ботинки}\}$ будем называть множеством натуральных чисел" - ошибки в этом нет.

1) Я согласен насчёт относительности: кто-то может считать дерево морковкой, кто-то вертолётом, и, строго, является ли дерево объективно, то есть независящее от мнения деревом - спорно, я не знаю.
Но Вы сами объяснили, почем спор, учитывая вышеизложенное не бессмыслен - потому, что есть мнение\понятие\определение, общинно принятое объективным (истинным), то есть эталон. Имея эталон мы вправе спорить о правильности определения.
2) При этом спор не об определении как таковом, а об утверждениях, заключённых в этом определении.
Утверждение математическое, или по крайней мере логическое.
А логическое или математическое, по моему убеждению априори объективное, то есть не зависящее от мнения, от восприятия.
Следовательно тут точно есть одна истинна, а потому, мы можем определить является ли утверждение истинным.

-- 26.10.2023, 18:00 --

Dedekind в сообщении #1614816 писал(а):

Такого утверждения точно нигде не было. Не путайте "функция ограничена на области определения" и "область определения ограничена". У этих предложений разное подлежащее.

Это не существенно. Можно аналогично поменять в моём примере про убывающую функцию, если Вам угодно соблюдение частей предложения.

[mihaild]

Arturk в сообщении #1614819 писал(а):

Во-первых определение - есть утверждение, в том смысле, что не есть отрицанием

А вот отрицание утверждения - это как раз тоже утверждение.
В математике утверждение это то, что может быть истинным или ложным, и то, что можно пытаться доказывать.

Arturk в сообщении #1614819 писал(а):

общинно принятое объективным (истинным)

Нет, просто "общинно принятое". Не истинным. Просто принятое.
Гораздо удобнее, когда большая часть слов в области всегда означает одно и то же. Но что именно - неважно. И если какое-то слово иногда значит одно, а иногда другое - это неприятно, но не критично, если в каждом конкретном случае есть определение.

Arturk в сообщении #1614819 писал(а):

а об утверждениях, заключённых в этом определении

А в определениях никакие утверждения не заключаются.

Есть определение ограниченной функции. Его нужно знать. Им нужно пользоваться, если Вы хотите понимать математические тексты. Им крайне желательно пользоваться, если Вы хотите, чтобы написанные Вами тексты понимали. Но при большом желании Вы в своём тексте можете ввести любое другое определение ограниченной функции - это сильно уменьшит количество желающих его читать (вероятно до нуля), но формально ошибкой не будет.
Спорить о нём не нужно.

[Dedekind]

Arturk
В определениях никаких логических утверждений не заключено.

Разве что такое (но к математике отношения не имеющее):

"В пределах данной книги/статьи/рассуждения мы (авторы) будем называть функцию ограниченной сверху на ее области определения тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет условию $\exists M>0\;\; \forall x \in X: f(x) \leqslant M$".

И ложным такое утверждение может быть только если вы найдете в тексте книги/статьи/рассуждения функцию, которая условию удовлетворяет, но авторы называют ее как-то иначе. Или наоборот, используют это название для функции, которая данному условию не удовлетворяет. Но опять же, это вопрос вычитки текста авторами, к математике отношения не имеет.

[Arturk]

Anton_Peplov в сообщении #1614807 писал(а):

Слова "функция ограничена сверху на множестве $X$" означают "сверху ограничено множество значений, которые функция принимает на аргументах из множества $X$". Эта терминология может с непривычки показаться странной. Вы оцените ее удобство, когда начнете исследовать функции: находить участки непрерывности, возрастания, убывания, точки экстремума и перегиба.

Хорошо, а давайте попробуем так: ответьте пожалуйста, означают ли слова "функция ограничена сверху на множестве $Y$ (т.е. на ОЗ)" то же самое, что Вы написали?

[mihaild]

Arturk в сообщении #1614839 писал(а):

означают ли слова "функция ограничена сверху на множестве $Y$ (т.е. на ОЗ)" то же самое

Нет, если $Y$ не является подмножеством области определения функции, то слова "функция ограничена сверху на множестве $Y$" вообще ничего не значат, так говорить нельзя, так же как нельзя писать $\overbrace{\star\Gamma\underbrace{\oplus\reflectbox{what}}}\nparallel$.

[Arturk]

mihaild в сообщении #1614835 писал(а):

А вот отрицание утверждения - это как раз тоже утверждение.
В математике утверждение это то, что может быть истинным или ложным, и то, что можно пытаться доказывать.

Согласен

mihaild в сообщении #1614835 писал(а):

Нет, просто "общинно принятое". Не истинным. Просто принятое.

Что по Вашему значит "просто принятие" чего-либо, а не принятие чего-либо в качестве чего-то (каким-либо)? По-моему, понятие принятия чего-либо подразумевает в качестве чего-то или каким-либо. При этом, если в контексте понятно это качество, то оно действительно словесно может быть явно не указано, то есть, можно сказать, что сообщество приняло определение, но это означает что оно приняло его в качестве верного\объективного\истинного\такое, которое единственное должно использоваться сообществом.

mihaild в сообщении #1614835 писал(а):

А в определениях никакие утверждения не заключаются.

Всё же не соглашусь. Определение, в любом случае есть утверждением, то есть "что-то является чем-то, имеет какие-то свойства, описания".
Почему мы не можем рассматривать определение как утверждение?
Утверждение же, в свою очередь можно (хотя, вероятно не всегда) рассматривать как некоторое логическое выражение, которое может быть истинным или ложным. Точнее, наверное всё-таки утверждение всегда есть логическим выражением, но не всегда можно определить его истинность или ложность. Хотя из этого следует, что такое выражение может иметь не два, а три состояния (ложное, истинное и неопределённое(неопределяемое))

-- 26.10.2023, 20:31 --

mihaild в сообщении #1614840 писал(а):

Нет, если $Y$ не является подмножеством области определения функции, то слова "функция ограничена сверху на множестве $Y$" вообще ничего не значат, так говорить нельзя, так же как нельзя писать $\overbrace{\star\Gamma\underbrace{\oplus\reflectbox{what}}}\nparallel$.

1) Объясните пожалуйста подробней: почему "если не является подмножеством ОО"? Почему "вообще ничего не значат"?
2) Насчёт "так говорить (писать) нельзя", уточните: физически нельзя (невозможно) - но как тогда Вы и я это написали?
Или нельзя в каком-то другом смысле? Но почему тогда на Википедии, других ресурсах можно?

-- 26.10.2023, 20:33 --

"Ограниченная числовая функция — функция , область значений которой ограниченна"

[mihaild]

Arturk в сообщении #1614844 писал(а):

Определение, в любом случае есть утверждением, то есть "что-то является чем-то, имеет какие-то свойства, описания".

Нет. В математике определения вводят новые понятия. Более того, при расписывании до формальных значков определения исчезают, а утверждения нет.

Но это всё дурная философия. Вы определение ограниченной функции поняли?

[Arturk]

mihaild в сообщении #1614850 писал(а):

Нет. В математике определения вводят новые понятия.

Каким образом это мешает им быть утверждениями?

-- 26.10.2023, 21:29 --

Общая форма определения: "что-то есть чем-то". Докажите, что это предложение не является утверждением, а ещё лучше (и давайте далее использовать этот термин) — высказыванием

[Anton_Peplov]

Arturk в сообщении #1614855 писал(а):

Общая форма определения: "что-то есть чем-то"

Нет. Общая форма определения: "мы назовем что-то чем-то". Назовем ограниченной такую функцию, что. Назовем прямые, которые не пересекаются, параллельными. Определение - это договоренность о терминах и не более того.

[Arturk]

Из Википедии (и с учётом аналогичных моих мыслей ранее в дискуссии по этому поводу):

Цитата:

Высказывание должно быть повествовательным предложением, и противопоставляется повелительным, вопросительным и любым другим предложениям, оценка истинности или ложности которых невозможна

Соответственно, определение есть высказывание, а значит может быть истинно или ложно.

Пожалуйста, докажите обратное, или продолжим, с того, на чём остановились, а именно на моём вопросе выше:

Цитата:

"Хорошо, а давайте попробуем так: ответьте пожалуйста, означают ли слова "функция ограничена сверху на множестве $Y$ (т.е. на ОЗ)" то же самое, что Вы написали?"

-- 26.10.2023, 21:44 --

Anton_Peplov в сообщении #1614856 писал(а):

Нет. Общая форма определения: "мы назовем что-то чем-то". Назовем ограниченной такую функцию, что. Назовем прямые, которые не пересекаются, параллельными. Определение - это договоренность о терминах и не более того.

Хорошо, приведите пример хотя бы одного определения (из сторонних источников), которое формулируется в форме, которую Вы изложили, то есть чтобы было написано "мы" "назовём" (ещё и в будущем времени).

-- 26.10.2023, 21:55 --

Далеко идти не нужно — определение, которое мы рассматриваем в рамках данной дискуссии не соответствует той форме, которую Вы заявили, значит Ваше утверждение, что такая форма является общей не верна.
Полагаю, Вы перепутали суть (смысл) определения, которую наверное можно передать в той форме, которую Вы обозначили, и формулировку определения, то есть само определение.

Определение - предложение в повествовательной форме, которое вводит новое понятие в виде пары "понятие - смысл понятия"

[Dedekind]

Arturk в сообщении #1614858 писал(а):

Хорошо, приведите пример хотя бы одного определения (из сторонних источников), которое формулируется в форме, которую Вы изложили, то есть чтобы было написано "мы" "назовём" (ещё и в будущем времени).

Будущее время и второе лицо тут не принципиально. Не понимаю, зачем вы цепляетесь к словам. Но если хотите:
https://core.ac.uk/download/pdf/287384207.pdf
https://ido.tsu.ru/iop_res/bulevfunc/text/g3_2.html
https://cs.msu.ru/sites/cmc/files/docs/ ... onenko.pdf
https://problems.ru/view_problem_detail ... p?id=32895

Arturk в сообщении #1614858 писал(а):

Соответственно, определение есть высказывание, а значит может быть истинно или ложно.

Назовем прямые, которые не пересекаются, параллельными. Это определение истинно или ложно, по вашему? Докажите.