Базовые вопросы по топологии

[niskon]

Не сдал топологию, теперь пытаюсь более внимательно изучить курс.
Поэтому прошу помощи в некоторых вопросах, хоть они наверняка весьма простые, но из курса лекций, я этого пока не могу понять:

1. Как построить базы метрической и индуцированной топологий?
   Что такое база топологии, я вроде бы осознал. База - это множество, элементы которого являются множества, такие что любая точка пространства принадлежит какому-то элементу базы и для любой точки пространства из пересекающихся элементов базы, найдется элемент базы, содержащийся в пересечении, в котором лежит эта точка.
   И что такое метрическая и индуцированная топология я вроде бы понимаю.
   Метрическая топология - топологическое пространство с введенной метрикой, то есть умением вычислять расстояние между элементами.
   Индуцированная топология - новое топологическое пространство такое, что его элементы - это пересечения какого-то выбранного подмножества пространства со всеми элементами раннее построенной топологии.
   Но что делать с базами я не очень понимаю.
   
2. Критерий непрерывности в терминах баз топологий:
   $f:X \to Y$ - непрерывна $\Longleftrightarrow x \in U \in \beta_x$; $f(x) \in V \in \beta_y$ и $f(U) \subseteq V$
   По сути, в обратную сторону и так написано определение непрерывности: образ окрестности точки содержится в окрестности значения?
   
3. $f:X \to Y$ - непрерывное отображение. $X$ - компакт.
   Почему если $ \left\lbrace U_i \right\rbrace $ - открытое покрытие $f(X)$, то $ \left\lbrace f^{-1}(U_i) \right\rbrace $ - открытое покрытие $X$?
   И почему если $ \left\lbrace f^{-1} (U_j) \right\rbrace $ конечное подпокрытие $X$, то $ \left\lbrace U_j \right\rbrace $ - конечное подпокрытие $f(X)$?
   
4. Доказательство утверждения, что Непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство — гомеоморфизм.
   Все, что нужно доказать, то что $f^{-1}$ - непрерывно.
   $F \subset X$ - замкнутое подмножество.
   Из утверждения, что замкнутое подмножество компакта является компактом, следует, что $ F $ - компакт.
   Из утверждения, что при непрерывном отображении компакта мы получаем компакт, следует, что $(f^{-1})^{-1}(F)$ - компакт.
   Из утверждения, что компактное подмножество хаусдорфова пространства является замкнутым, следует, что $(f^{-1})^{-1}$ - замкнуто.
   Тогда по критерию непрерывности, так как прообраз замкнутого - замкнут, то $f^{-1}$ - непрерывно.
   Но у меня складывается ощущение, что это доказательство того, что $f$ - непрерывно. Ведь в данном случае прообраз $F$ замкнутого образа $f(F)$ – замкнут.
   
5. Что такое фактор-пространство и фактор-топология?
   Насколько я понял, фактор-пространство - это пространство элементы которого эквивалентны исходному. Но нормально я так и не понял, что это такое.
   С фактор-топологией проще. В целом я понял, что фактор-топология - это множество, элементы которого являются элементами фактор-пространства, такие что при обратной проекции из фактор-пространства в пространство они являются элементами фактор-топологии.

[mihaild]

Лучше всё же вопросы по одному. Тем более что после разбирательства с одним у вас должны появиться идеи по следующим.

niskon в сообщении #1603408 писал(а):

и для любой точки пространства из пересекающихся элементов базы, найдется элемент базы, содержащийся в пересечении, в котором лежит эта точка

Кто на ком стоял? Какое пространство из пересекающихся элементов?

Топология - это некоторый набор множеств, которые называются открытыми. База топологии - это его поднабор, такой что (два эквивалентных определения):
1) любое открытое множество представляется объединением элементов базы
2) для любой точки и любого содержащего её открытого множества (окрестности этой точки) есть элемент базы, содержащий эту точку, являющийся подмножеством окрестности

niskon в сообщении #1603408 писал(а):

Метрическая топология - топологическое пространство с введенной метрикой, то есть умением вычислять расстояние между элементами.

Тут у вас перепутан порядок. Сначала у нас есть метрическое пространство - множество, на котором задана метрика. Метрика порождает топологию.
У топологии, как правило, есть куча баз (если есть база, от добавления к её элементам открытого множества она базой быть не перестанет). Но для метрического пространства есть очень простая база - состоящая из открытых шаров. Докажите, что это действительно база.

[Anton_Peplov]

niskon в сообщении #1603408 писал(а):

База - это множество, элементы которого являются множества, такие что любая точка пространства принадлежит какому-то элементу базы и для любой точки пространства из пересекающихся элементов базы, найдется элемент базы, содержащийся в пересечении, в котором лежит эта точка.

База - это такая система $\Lambda$ открытых множеств, что любое открытое множество можно представить как объединение элементов $\Lambda$. Например, в метрическом пространстве самая удобная база - это множество всех открытых шаров. В частности, на $\mathbb R$ - интервалов.

База нужна, чтобы был способ собирать открытые множества из простейших элементов, как из кирпичиков. Ведь открытые множества очень разнообразны. Это прекрасно видно на плоскости: всякое множество, не пересекающееся со своей границей - открытое! Открытые квадраты, треугольники, эллипсы, бесформенные кляксы... Нарисуйте на плоскости домик, букву, цифру, что угодно - внутренность этой фигуры будет открытым множеством. Однако любую из них можно собрать, объединяя открытые круги (хотя в возможность собрать треугольник из кругов на первый взгляд трудно поверить).

А то, что пытаетесь сформулировать Вы - это уже критерий, является ли данная система открытых множеств базой или нет.

[niskon]

mihaild в сообщении #1603409 писал(а):

Докажите, что это действительно база.

Пытался словами написать это определение базы:
$\beta$ - база, если:

1. $\forall x \in X : x \in U \in \beta$
2. $\forall U \cap V \ne \varnothing $ тогда $\exists x \in U \cap V : x \in W \subseteq U \cap V$

Да, система открытых шаров база, потому что, любая точка пространства, очевидно, содержится в шаре ненулевого радиуса.
А если шары пересекаются, то возьмем точку из их пересечения и построим шар следующего радиуса:
$U_a(x)$ - шар радиуса $a$ в точке $x$. $U_a(x)$ и $U_b(y)$ - пересекаются. $z$ - точка из их пересечения. $c = \min\{a - p(x, z), b - p(y, z)\}$
А этот шар $U_c(z)$ содержится в пересечении шаров в силу неравенства треугольника.

[mihaild]

niskon в сообщении #1603417 писал(а):

$\forall x \in X : x \in U \in \beta$

Тут не хватает квантора по $U$.

niskon в сообщении #1603417 писал(а):

Пытался словами написать это определение базы

Это не определение. Это свойство, при котором система множеств является базой некоторой топологии. А хочется проверить, что открытые шары это база не какой-то там топологии, как повезет, а именно топологии, порожденной метрикой.

[niskon]

mihaild в сообщении #1603418 писал(а):

А хочется проверить, что открытые шары это база не какой-то там топологии, как повезет, а именно топологии, порожденной метрикой.

Видимо нужно пояснить, что выполняется определение топологии.
1. $X$ и $\varnothing$ - открыты.
2. Объединение любого числа открытых - открыто. Так как если у нас есть произвольное семейство открытых подмножеств пространства, и мы возьмем точку из их объединения. То точка будет лежать в одном из открытых подмножеств. Значит у нас будет существовать открытый шар, целиком лежащий в этом подмножестве, и в объединении подмножеств соответственно. Значит любая точка из объединения - внутренняя, объединение открыто.
3. Пересечение конечного числа открытых - открыто. По аналогии, но теперь мы будем брать шар с минимальным радиусом шаров подмножеств, которое пересекаем. Этот шар будет лежать в пересечении этих подмножеств, точки из пересечения - внутренние, следовательно пересечение открыто.

[mihaild]

niskon в сообщении #1603420 писал(а):

Видимо нужно пояснить, что выполняется определение топологии

Нет, это было в момент, когда говорили, как метрика задает топологию.
А Вам нужно доказать, что множество всех открытых шаров является базой этой самой, заданной метрикой, топологии. Для этого вам понадобится определение заданной метрикой топологии, определение множества открытых шаров и определение базы топологии (т.е. если есть топология $T$ и система множеств $B$, то как проверить, что $B$ - база $T$).

[KhAl]

mihaild в сообщении #1603418 писал(а):

Это не определение. Это свойство, при котором система множеств является базой некоторой топологии.

а может, у них определение такое? определяют же базу фильтра без фильтра...

[mihaild]

KhAl в сообщении #1603426 писал(а):

а может, у них определение такое? определяют же базу фильтра без фильтра

Это два разных понятия (но близких, поэтому и называются одинаково) - "база топологии" в смысле "база некоторой топологии" и в смысле "база конкретной топологии". Когда говорят "база метрической топологии" понимается второе.

[мат-ламер]

niskon в сообщении #1603408 писал(а):

Что такое фактор-пространство ... ?
Насколько я понял, фактор-пространство - это пространство элементы которого эквивалентны исходному. Но нормально я так и не понял, что это такое.

А отношение эквивалентности вам знакомо? Знание понятия фактор-пространства полезно само по себе. Встречается и без связи с топологией.

[niskon]

mihaild в сообщении #1603422 писал(а):

если есть топология $T$ и система множеств $B$, то как проверить, что $B$ - база $T$).

Определение топологии, заданной метрикой: Пусть $X$ — метрическое пространство. Топология, состоящая из всех открытых подмножеств множества $X$, называется метрической.
Определение множества открытых шаров: Открытый шар с центром в точке $a$ с радиусом $r$ - множество точек, таких что расстояние от центра до точки меньше радиуса.
Определение базы топологии: База топологии - это такой поднабор множеств из топологии, что любое открытое множество представляется объединением элементов базы.

Значит, чтоб доказать, что база является базой метрической топологии, нужно доказать, что любое открытое множество из метрической топологии, представляется объединением элементов базы, которые являются открытыми шарами? Что-то я не очень понимаю, как доказать, что база открытых шаров является базой метрической топологии

мат-ламер в сообщении #1603432 писал(а):

А отношение эквивалентности вам знакомо? Знание понятия фактор-пространства полезно само по себе. Встречается и без связи с топологией.

Да, конечно знакомо. Просто почему-то определение фактор-пространства нигде не звучало. А там где я читал, была постоянная привязка к векторным пространствам.

[mihaild]

niskon в сообщении #1603444 писал(а):

Топология, состоящая из всех открытых подмножеств множества $X$, называется метрической

Тут круг - задание топологии это и есть введение системы открытых множеств.

[niskon]

mihaild в сообщении #1603450 писал(а):

Тут круг - задание топологии это и есть введение системы открытых множеств.

Ну я ориентируюсь на определения из конспекта лекций. Как мне тогда быть?

[mihaild]

niskon в сообщении #1603452 писал(а):

Ну я ориентируюсь на определения из конспекта лекций.

А было сказано, что такое "открытое подмножество метрического пространства"?
Если да, то это просто странный способ формулировки. Если нет, то это ошибка в изложении.

[niskon]

mihaild в сообщении #1603453 писал(а):

А было сказано, что такое "открытое подмножество метрического пространства"?

Есть уточнение, что открытых как в метрических пространствах. То есть, множество называется открытым в метрическом пространстве, если оно совпадает со своей внутренностью.