Базовые вопросы по топологии

[мат-ламер]

niskon в сообщении #1603537 писал(а):

Не до конца понимаю, что именно нужно доказать для этого.

А я не понял, для чего "для этого"? Вы же уже вроде доказали, что некоторый набор множеств является базой некоторой топологии. Назовём её индуцированной. А какой вопрос вообще был изначальный по индуцированной топологии?

P.S. Разобрался. Этот пункт сообщения снимаю.

-- Вт авг 01, 2023 22:09:10 --

мат-ламер в сообщении #1603553 писал(а):

А какой вопрос вообще был изначальный по индуцированной топологии?

Извиняюсь. Дошло. Цифра 2) в решении относится к цифре 2) в вопросе. Свои возражения снимаю.

-- Вт авг 01, 2023 22:18:38 --

Итак, у вас есть некая система множеств. Вы доказали, что она является базой некоей топологии. Теперь надо доказать, что эта система является базой именно нашей индуцированной топологии.

-- Вт авг 01, 2023 22:39:07 --

Берём любую точку $x$ и любую содержащую её открытое множество $S$ в индуцированной топологии. Это множество откуда произошло? От некоторого пересечения $S=U \cap Y$ , где $U$ - открытое множество в исходной топологии, а $Y$ - множество, которое индуцирует топологию. Для этой точки $x$ мы можем найти множество $W$ в базе исходной топологии, которое её содержит. Тогда множество $T=W \cap Y$ будет именно тем множеством в базе индуцированной топологии, которое мы ищем: $x \in T \subseteq S$ . То есть мы имеем не просто базу, а базу именно нашей топологии.

[niskon]

мат-ламер
А, понял. Большое спасибо, осознал.

mihaild
Вам тоже большущее спасибо.

Уважаемые математики, подскажете с чем-то еще?
Какие-то мелкие вопросы про док-ва еще ладно, вот больше всего волнует фактор-пространство и фактор-топология.

[mihaild]

KhAl в сообщении #1603526 писал(а):

У Иванова просто другое определение базы (сначала вводится "база окрестностей", удовлетворяющая некоторым свойствам, затем по ней строится топология).

Я где-то про это выше писал: есть понятие "база какой-то топологии" и "база конкретной топологии". Нужно один раз универсально доказать, что для любой топологии её база является "базой какой-то топологии" - тут ничего специфического про метрические пространства нет. После этого достаточно проверить, что открытые шары являются базой метрической топологии - из этого автоматически будет следовать что они являются базой какой-то топологии.

niskon, именно поэтому лучше вопросы задавать по одному. Вам наверняка что-то должно было стать более понятно, но нельзя угадать, что.
Вот например определение фактортопологи Вы знаете? Если да, то стоит привести используемое Вами определение, и указать, что в нём непонятно.

[мат-ламер]

niskon в сообщении #1603578 писал(а):

Какие-то мелкие вопросы про док-ва еще ладно, вот больше всего волнует фактор-пространство и фактор-топология.

В какой именно помощи вы нуждаетесь? Если вы хотите, чтобы я пересказал своими словами содержание лекций Иванова, то я тут не спец, и я вообще не преподаватель. Если у вас будет конкретный вопрос, то я подключусь (если на то будет необходимость). Если будете читать лекции Иванова, то буквой $R$ он обозначает отношение эквивалентности на множестве $X$ (неважно какое). На фактор-множестве вводится топология (фактор-топология). Вы где-то писали, что с этим вы более-менее разобрались. Так фактор-множество с введённой на ней этой топологией и есть фактор-пространство.

[мат-ламер]

Цитата с первого поста:

niskon в сообщении #1603408 писал(а):

Что такое фактор-пространство и фактор-топология?
Насколько я понял, фактор-пространство - это пространство элементы которого эквивалентны исходному.

Тут что-то не то
Надеюсь, вы уточните.

[Утундрий]

Идея фактор-пространства проста. Целое резделили на классы и переопределили все операции над элементами в операции над классами так, что применение операции к двум любым представителям классов даёт исключительно представителей какого-то третьего класса.

[Padawan]

Утундрий
Это Вы про фактор-пространства в алгебре. В топологии нет операций над точками.

[niskon]

мат-ламер в сообщении #1603678 писал(а):

Цитата с первого поста:

niskon в сообщении #1603408 писал(а):

Что такое фактор-пространство и фактор-топология?
Насколько я понял, фактор-пространство - это пространство элементы которого эквивалентны исходному.

Тут что-то не то
Надеюсь, вы уточните.

Действительно, перепутал фактор-множество и фактор-пространство, к тому же еще и не понимая сути определений.

Насколько я понял сейчас: фактор-множество - множество, элементами которого являются классы эквивалентности по заданному отношению эквивалентности.

mihaild в сообщении #1603640 писал(а):

стоит привести используемое Вами определение

Фактор-топология: $ \tau_R = \{ U \in X/R : \pi^{-1}(U) \in \tau \} $, где $ \pi : X \to X/R $ и $ R $ - отношение эквивалентности, $ (X, \tau ) $ - топологическое пространство
Я правильно понимаю, что элементами фактор-топологии являются множества, которые содержат в себе элементы, входящие в один класс эквивалентности, причем при обратной проекции эти множества являются элементами изначально данной топологии?

[Geen]

niskon в сообщении #1603851 писал(а):

элементами фактор-топологии являются множества, которые содержат в себе элементы, входящие в один класс эквивалентности

А на каком множестве у нас определена фактор-топология?...

[niskon]

Geen в сообщении #1603855 писал(а):

niskon в сообщении #1603851 писал(а):

элементами фактор-топологии являются множества, которые содержат в себе элементы, входящие в один класс эквивалентности

А на каком множестве у нас определена фактор-топология?...

На фактор-множестве $ X/R $

[Geen]

niskon в сообщении #1603872 писал(а):

На фактор-множестве $ X/R $

niskon в сообщении #1603851 писал(а):

фактор-множество - множество, элементами которого являются классы эквивалентности

niskon в сообщении #1603851 писал(а):

элементами фактор-топологии являются множества, которые содержат в себе элементы, входящие в один класс эквивалентности

?