Базовые вопросы по топологии

[mihaild]

niskon в сообщении #1603455 писал(а):

Есть уточнение, что открытых как в метрических пространствах

А, ну тогда это просто странная формулировка (непонятно зачем называть множество открытым до введения топологии).
Значит у вас есть определение топологии в метрическом пространстве (в предположении, что определение внутренности есть - вообще тоже немного странно, внутренность - топологическое пространство, странно его вводить напрямую через метрику).
Теперь вам нужно доказать, что любое открытое множество представляется как объединение открытых шаров.

[Geen]

niskon в сообщении #1603455 писал(а):

То есть, множество называется открытым в метрическом пространстве, если оно совпадает со своей внутренностью.

Вы не могли бы дать какую-либо ссылку на курс? А то Вы очень странные вещи рассказываете.

-- 31.07.2023, 22:33 --

mihaild в сообщении #1603422 писал(а):

определение заданной метрикой топологии

Кстати, а как его можно нормально ввести без базы? (и без аксиомы выбора )

[mihaild]

Geen в сообщении #1603457 писал(а):

Кстати, а как его можно нормально ввести без базы?

Грубейшая топология, в которой расстояние непрерывно.

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1603457 писал(а):

niskon в сообщении #1603455 писал(а):

То есть, множество называется открытым в метрическом пространстве, если оно совпадает со своей внутренностью.

Вы не могли бы дать какую-либо ссылку на курс? А то Вы очень странные вещи рассказываете.

А в чем странность? Все же правильно.
$X \in \Omega \Longleftrightarrow X = \operatorname{Int} X$ (справедливо для любой топологии $\Omega$, а не только для метрических пространств)

[niskon]

mihaild в сообщении #1603456 писал(а):

А, ну тогда это просто странная формулировка (непонятно зачем называть множество открытым до введения топологии).

Почему? Сначала было дано определение топологии (было сказано, что все элементы топологии по определению открыты). Потом в качестве примера преводилась метрическая топология. После этого вводилось понятие базы окрестностей. И затем пример база метрической топологии.

Geen в сообщении #1603457 писал(а):

Вы не могли бы дать какую-либо ссылку на курс? А то Вы очень странные вещи рассказываете.

http://dfgm.math.msu.su/files/0ngit/ivanov/2023/ViG23-topology.pdf

[mihaild]

niskon в сообщении #1603460 писал(а):

Сначала было дано определение топологии (было сказано, что все элементы топологии по определению открыты). Потом в качестве примера преводилась метрическая топология.

Просто ИМХО немного неудачно отдельно определять открытые множества в топологическом пространстве, отдельно в метрическом, и только после этого говорить что открытые множества в метрическом смысле задают топологию - лучше сразу определить топологию, и получить определение открытых множеств автоматически. Но это не то чтобы очень важно.

В любом случае, пользуясь теми определениями, доказать, что открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, можете?

[Geen]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1603458 писал(а):

Грубейшая топология, в которой расстояние непрерывно.

Да, но это надо уже уметь сравнивать топологии и иметь определение непрерывности.... (хотя выглядит правильно)

-- 31.07.2023, 23:45 --

EminentVictorians в сообщении #1603459 писал(а):

справедливо для любой топологии $\Omega$, а не только для метрических пространств

Вот именно.

[Anton_Peplov]

Емнип, у Колмогорова-Фомина делается примерно как у ТС. Сначала изучаются метрические пространства, вводится понятие открытого шара, открытого множества как объединения открытых шаров. Доказываются какие-то теоремы, по сути топологические. Потом доказывается, что объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.
А потом авторы говорят: смотрите, если забыть про метрику и принять этот доказанный факт за определение открытого множества, мы сохраним все теоремы, доказанные в этом параграфе! Вот это, дети, называется топологическим пространством.
Подход "от метрики" призван, разумеется, мотивировать базовые понятия топологии, объяснить студенту, почему они такие, а не другие.

[Geen]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1603463 писал(а):

Подход "от метрики" призван, разумеется, мотивировать базовые понятия топологии, объяснить студенту, почему они такие, а не другие.

Лично мне не нравится индуктивный подход - к примеру, про метрические пространства известно много теорем (к этому моменту), и приходится судорожно соображать какие могут поломаться...
Правильнее было бы перебрать все разумные варианты и показать, что разумный только один...

[niskon]

mihaild в сообщении #1603461 писал(а):

доказать, что открытые шары образуют базу топологии метрического пространства

Я не очень понимаю, что именно нужно доказать. Открытые шары образуют базу топологии. Это я уже проверил. Насколько я понимаю, теперь нужно проверить, что полученная база топологии порождает метрическую топологию? Но метрическая топология - это семейство всех возможных открытых подмножеств метрического пространства. А любое открытое множество можно представить в виде объединения открытых шаров, которые и задают базу топологии, следовательно эта база порождает метрическую топологию.

[mihaild]

niskon в сообщении #1603466 писал(а):

Открытые шары образуют базу топологии. Это я уже проверил.

Это на самом деле проверять было не нужно.

niskon в сообщении #1603466 писал(а):

А любое открытое множество можно представить в виде объединения открытых шаров

Да, именно это и нужно.
Какой там следующий вопрос был - база индуцированной топологии? Опять же, начните с определения индуцированной топологии, и подумайте, как можно из базы исходного пространства сделать базу нового.

[KhAl]

mihaild писал(а):

Это на самом деле проверять было не нужно.

было нужно. Читайте в конспекте определение 2.15 и определение после задачи 2.16 -- я был прав. хотя подозреваю, что ТСа нельзя обвинить в том, что он что-то проверил, скорее он пересказывает "своими словами" пример 2.20...

-- 01.08.2023, 05:19 --

niskon ну, нужно проверить, что (какое бы ни было $A$) $A = \operatorname{Int} A$ тогда и только тогда, когда $A$ открыто относительно базы $\beta_\rho$. Нужно для начала развернуть определения (тупо списать из конспекта), слева от т.т.т. получится что-то вроде (проверьте!) $\forall a \in A{:}\; \exists \varepsilon \,{>}\, 0{:}\; U_{\varepsilon}(a) \subset A$, а справа -- $\forall a \in A{:}\; \exists V \in \beta_{\rho}{:}\;\; a \in V \text{ и } V \subset A$. Почему это одно и то же?

[mihaild]

KhAl в сообщении #1603480 писал(а):

было нужно

Нет, не нужно. Задача же доказать, что открытые шары являются базой топологии, порожденной метрикой. Для этого нужно доказать, что они открыты и любой элемент топологии представляется их объединением. Ничего про пересечение проверять не надо, это получится автоматически.

[KhAl]

У Иванова просто другое определение базы (сначала вводится "база окрестностей", удовлетворяющая некоторым свойствам, затем по ней строится топология). С точки зрения Вашего (общепринятого) определения, разумеется, всё так, но нужно доказывать эквивалентность.

Если Вы считаете, что сейчас стоит использовать общепринятое определение вместо того, что у лектора, не буду спорить. Вы лучше меня знаете.

[niskon]

mihaild в сообщении #1603467 писал(а):

Какой там следующий вопрос был - база индуцированной топологии?

Индуцированная топология: $ \tau_y = \{ Y \cap U $ | $ U \in \tau_x \}; Y \subset X $
В качестве базовой окрестности, возьмем: $ \beta_y = \{ Y \cap U $ | $ U \in \beta_x \} ;$
Нужно проверить:
1) $ \beta_y $ – базовая окрестность.
2) Топология, образованная $\beta_y $, является индуцированной.

1) Насколько я понимаю, все-таки, мне нужно проверить определение базовой окрестности, следуя конспекту. Тогда, это вроде бы очевидно:
1. $ \forall a \in Y \exists U_x \in \beta_x : a \in U_x \Rightarrow \exists U_y = Y \cap U_x \in \beta_y : a \in U_y $
2. $ U_y_1 = Y \cap U_x_1 , U_y_2 = Y \cap U_x_2 : U_y_1 \cap U_y_2 \ne \varnothing $
Тогда $\exists U_x \subset U_x_1 \cap U_x_2 \in \beta_x , U_y = Y \cap U_x \in \beta_y \Rightarrow \forall a \in U_y_1 \cap U_y_2 \exists U_y \in \beta_y : a \in U_y \subset U_y_1 \cap U_y_2 $

2) Не до конца понимаю, что именно нужно доказать для этого. Нужно доказать, что любое открытое множество индуцированной топологии можно представить в виде объединения элементов базовой окрестности индуцированной топологии? Не очень понимаю, как это сделать

KhAl в сообщении #1603480 писал(а):

Почему это одно и то же?

Наверно потому что, и слева и справа - открытые шары.