ХРИН 01 Системы отсчёта и сопутствующие координаты

[Утундрий]

Некоторые определения и соглашения

Физическое тело - непроизводное понятие, которое нельзя определить, но можно проиллюстрировать. Примеры: атом, я, звезда, галактика.

Событие - то, что случается с физическими телами. Пример: "Муха села на варенье" - это событие.

Пространство событий - совокупность всех возможных событий. Будем считать, что пространство событий локально устроено как четырёхмерное вещественное пространство $\mathbb{R}^4$.

Координаты событий - упорядоченная четвёрка вещественных чисел $(x^0,x^1,x^2,x^3)$, которую иногда будем обозначать одной буквой $x$, отмечающая события так, что разным четвёркам чисел соответствуют различные события.

Интервал $\delta s$ - вообще говоря комплексное число, квадрат которого даётся выражением $(\delta s)^2 \equiv g_{\mu \nu}(x) dx^{\mu} dx^{\nu}$, где по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование в диапазоне от $0$ до $3$.

Договоримся, что греческие индексы будут принимать значения $0,1,2,3$, а латинские: $1,2,3$. Так что, например, $a_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}=a_{00} dx^0 dx^0 +( a_{0i}+a_{i0}) \ dx^0 dx^i+a_{ik} dx^i dx^k$.

Итервал связывает два бесконечно близких события $x$ и $x+dx$, создавая между ними некое "метрическое отношение".

Метрика - десять функций $g_{\mu \nu}=g_{\nu \mu}$ четырёх переменных $(x^0,x^1,x^2,x^3)$, входящих в определение интервала.

Времениподобный интервал - интервал, квадрат которого положителен. Важный тип "метрического отношения", означающий, что два отмеченных события могут принадлежать истории одного и того же физического тела.

Мировая линия - кривая в $\mathbb{R}^4$, каждый элементарный интервал которой времениподобен. Всякое физическое тело движется по какой-нибудь мировой линии.

Система отсчёта - континуум мировых линий, "заметающих" пространство событий так, что через каждое событие проходит ровно одна мировая линия.

§1 Системы отсчёта и сопутствующие координаты

Пусть задан интервал, в котором линии $x^i=const$ являются мировыми. Это сразу даёт условие

$$g_{00}>0 \eqno (1,1)$$

с учётом которого квадрат интервала может быть представлен в виде

$$ (\delta s)^2 =\left( \sqrt{g_{00}} \ dx^0 + \dfrac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} \ dx^i \right)^2-\left(-g_{ik}+\dfrac{g_{0i} \ g_{0k}}{g_{00}} \right) dx^i dx^k \eqno (1,2) $$

Введём ряд величин, которыми будем в дальнейшем постоянно пользоваться

$$\begin{array}{rcl} h & \equiv & \sqrt{g_{00}}\ > \ 0 \\ a_i & \equiv & -\dfrac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} \\ \overline{g}_{ik} & \equiv & -g_{ik}+\dfrac{g_{0i} \ g_{0k}}{g_{00}} \\ \delta \overline{\tau} & \equiv & \sqrt{g_{00}} \ dx^0 + \dfrac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} \ dx^i \\ (\delta \overline{l})^2 & \equiv & \overline{g}_{ik} dx^i dx^k \end{array} \eqno (1,3)$$

В новых терминах интервал $(1,2)$ принимает канонический вид

$$(\delta s)^2 =(\delta \overline{\tau})^2-(\delta \overline{l})^2 \eqno (1,4)$$

Отсюда можно вывести, что квадратичная форма $\overline{g}_{ik} dx^i dx^k$ определяет радарное расстояние между двумя бесконечно близкими мировыми линиями с пространственными координатами $x^i$ и $x^i+dx^i$. Критерием положительной определённости этой формы является выполнение следующих неравенств

$$\overline{g}_{11}>0, \qquad \left| {\begin{array}{cc} \overline{g}_{11} & \overline{g}_{12} \\ \overline{g}_{21} & \overline{g}_{22} \\ \end{array} } \right| >0, \qquad \overline{g} \equiv \left| {\begin{array}{ccc} \overline{g}_{11} & \overline{g}_{12} & \overline{g}_{13} \\ \overline{g}_{21} & \overline{g}_{22} & \overline{g}_{23} \\ \overline{g}_{31} & \overline{g}_{33} & \overline{g}_{33} \end{array} } \right| >0 \eqno (1,5)$$

Отметим что из последнего неравенства следует существование матрицы $\overline{g}^{ik}$ со свойством

$$\overline{g}^{is}\overline{g}_{sk}=\delta^i_k \eqno (1,6)$$

Попробуем сформулировать условия $(1,5)$ в терминах $g_{\mu \nu}$. Для этого выразим компоненты метрического тензора через величины $(1,3)$. Ковариантные компоненты находятся сразу

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} g_{00} & = & h^2 \\ g_{0i} & = & -h a_i \\ g_{ik} & = & - \overline{g}_{ik} +a_i a_k \end{array} } \right. \eqno (1,7)$$

Для нахождения контравариантных компонент распишем тождества $g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu}=\delta^{\mu}_{\nu}$ и получим следующую систему уравнений

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} h^2 g^{00} - h a_s g^{0s} & = & 1 \\ h^2 g^{i0} - h a_s g^{is} & = & 0 \\ -h a_k g^{00} +( - \overline{g}_{sk} +a_s a_k) g^{0s} & = & 0 \\ -h a_k g^{i0} +( - \overline{g}_{sk} +a_s a_k) g^{is} & = & \delta^i_k \end{array} } \right. \eqno (1,8)$$

Откуда находим

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} g^{00} & = & \dfrac{1}{ h^2 } (1-a_s a^s)\\ g^{0i} & = & -\dfrac{1}{h} a^i \\ g^{ik} & = & - \overline{g}^{ik} \end{array} } \right. \eqno (1,9)$$

где введено обозначение

$$a^i \equiv \overline{g}^{is} a_s \eqno (1,10)$$

Рассмотрим теперь определитель $g \equiv \det (g_{\mu \nu})$ и воспользуемся известной формулой

$$\frac{\partial g}{\partial a_i}=g g^{\mu \nu}\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial a_i}=g \left( g^{00}\frac{\partial g_{00}}{\partial a_i}+2 g^{0s}\frac{\partial g_{0s}}{\partial a_i}+g^{sm}\frac{\partial g_{sm}}{\partial a_i} \right) \eqno (1,11) $$

Подставляя сюда $(1,7)$ и $(1,9)$, находим

$$\frac{\partial g}{\partial a_i}=0 \eqno (1,12) $$

Значит, при вычислении $g$ можно положить $a_i=0$, что даёт

$$ g = \left| {\begin{array}{cccc} h^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\overline{g}_{11} & -\overline{g}_{12} & -\overline{g}_{13} \\ 0 & - \overline{g}_{21} & - \overline{g}_{22} & -\overline{g}_{23} \\ 0 & -\overline{g}_{31} & - \overline{g}_{33} & -\overline{g}_{33} \\ \end{array} } \right| =-h^2 \overline{g} \eqno (1,13)$$

Заметим, что при выводе никак не использовался тот факт, что латинские индексы пробегают именно три значения. Поэтому совершенно аналогично можно получить

$$\left| {\begin{array}{ccc} g_{00} & g_{01} & g_{02} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} \\ \end{array} } \right| =\left| {\begin{array}{ccc} h^2 & 0 & 0 \\ 0 & -\overline{g}_{11} & -\overline{g}_{12} \\ 0 & - \overline{g}_{21} & - \overline{g}_{22} \end{array} } \right| = h^2 \left| {\begin{array}{cc} \overline{g}_{11} & \overline{g}_{12} \\ \overline{g}_{21} & \overline{g}_{22} \end{array} } \right| \eqno (1,14)$$

а также

$$\left| {\begin{array}{cc} g_{00} & g_{01} \\ g_{10} & g_{11} \\ \end{array} } \right| =\left| {\begin{array}{cc} h^2 & 0 \\ 0 & -\overline{g}_{11} \\ \end{array} } \right| = - h^2 \overline{g}_{11} \eqno (1,15)$$

Отсюда, применяя $(1,5)$ и вспоминая $(1,1)$, находим

$$ g_{00}>0, \quad \left| {\begin{array}{cc} g_{00} & g_{01} \\ g_{10} & g_{11} \\ \end{array} } \right| <0, \quad \left| {\begin{array}{ccc} g_{00} & g_{01} & g_{02} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} \\ \end{array} } \right|>0, \quad g<0 \eqno (1,16)$$

Теперь мы можем сформулировать следующий критерий.

Будем считать, что координатная запись интервала "задаёт" систему отсчёта тогда и только тогда, когда компоненты метрического тензора удовлетворяют неравенствам $(1,16)$. Такие координаты будем называть сопутствующими определяемой ими системе отсчёта.

Задача
Интервал имеет вид

$$(\delta s)^2 =\left( 1-\dfrac{1}{r} \right) (dt)^2-\dfrac{r}{r-1} (dr)^2-r^2 \left[ (d \theta )^2+\sin^2(\theta) (d \varphi)^2 \right] $$

В каких областях изменения координат $t, r, \theta, \varphi$ (и при каком выборе $x^0$) линии $x^i=const$ являются мировыми?

[Утундрий]

И ноль реакции? Тут либо всё понятно (что допускаю) , либо ничего не понятно (во что не верю). Но хотя бы решение задачи кто-нибудь напишите.

[EUgeneUS]

Утундрий
Я прочитал. Даже возникла иллюзия понимания, которая развеялась при переходе к задаче

[Razgulyay]

Такое решение задачи?

(Оффтоп)

Если $x^0 = t,\ x^1 = r,\ x^2 = \theta,\ x^3 = \varphi$, то $ g_{\mu \nu} = \left( {\begin{array}{cccc} 1 - \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{r}{r-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2(\sin\theta)^2 \\ \end{array} }\right) $ и по $(1,16)$ условие выглядит как $r>1$.

[Утундрий]

Razgulyay
Да. А вторая область?

[Razgulyay]

Утундрий в сообщении #1601696 писал(а):

Razgulyay
Да. А вторая область?

(Оффтоп)

Если теперь поменять местами $t$ и $r$: $x^0 = r,\ x^1 = t,\ x^2 = \theta,\ x^3 = \varphi$, то $ g_{\mu \nu} = \left( {\begin{array}{cccc} -\frac{r}{r-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2(\sin\theta)^2 \\ \end{array} }\right) $ и условие выглядит как $0<r<1$.
Другие перестановки не подходят и полных квадратов тоже нет, так что по-видимому, всё.

[Утундрий]

Именно так.

Только почему оффтоп? Кто не успел, тот опоздал. И я тоже не могу продолжать, пока вы не продемонстрируете понимание.

Хотя вопросов могло быть и больше. Я вот сходу штук пять могу задать к собственному тексту.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1601696 писал(а):

Razgulyay
Да. А вторая область?

а третья... котроая покроет горизонт - на котором и ка известно есть устранимая особенность, исчезающая при смене координат... А ваша задача неправильно сформулирована с точки зрения дифференциальной геометрии ... ваши области не сшиты (как раз без третьей карты), и посему не формируют многообразие, поэтому как бы вы вообще некооректно говорить об областях - это два разных многообразия (да расширяемых, да сшиваемых, но их условия это никак не следует)

[Утундрий]

pppppppo_98 в сообщении #1603879 писал(а):

вообще некооректно говорить об областях

Почему? Это же области.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1603893 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1603879 писал(а):

вообще некооректно говорить об областях

Почему? Это же области.

потому что в формулировки в которой вы сформулировали задачу, у вас метрический тензор не определен при r=1. И стало быть области то они области только разных многогобразий. Если подходить с формально-математической точки зрения.

А вот какой педагогический смысл утверждения я понять не могу. Вы хотите что бы студенты не забывали, что при переходе через горизонт координата t становится пространственно-подобной? забудут... Даже метры в этом вопросе нет-нет да и начинают инсинуации.

[Утундрий]

Это понятно, в чём некорректность?

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1603902 писал(а):

Это понятно, в чём некорректность?

В третий раз пишу у вас тезор метрический бы бесконечный при r=1. И не откуда не следует что названные вами области хоть как-то сяазаны

[Утундрий]

pppppppo_98 всообщении #1603912 писал(а):

В третий раз пишу у вас тезор метрический бы бесконечный при r=1. И не откуда не следует что названные вами области хоть как-то сяазаны

И что с того? Это не имеет никакого отношения к задаче. Прочтите внимательней, что следует найти и учтите, что при этом разрешается пользоваться только уже пройденным материалом.

[pppppppo_98]

Вы конечно художник. Вы так видите. Только если на то уж пошло то сначала определяется многообразие с топологией, и дифференциальной структурой с касательным многообразием, затем на этом многообразии вводится метрический тензор. Ну так принято при индуктивном построении дифференциальных метрических многообразий. Но ещё раз повторю вы ходужн к - у вас может быть свой взгляд.

У меня последний вопрос а в чем смысл этой задачи- убедиться что читатели умеют умножать?

[Утундрий]

pppppppo_98 в сообщении #1603922 писал(а):

в чем смысл этой задачи

Проиллюстрировать введение системы отсчёта путём явного указания сопутствующих ей координат.

По поводу "высокой теории". Всё-же, прежде чем заниматься аппликацией, неплохо бы изучить все свойства простого куска поверхности.