Мне просто эта "новая" задача стала интересна.
О какой "новой задаче" говорите? Что ли об этой?
пусть

— вещественная матрица; всегда ли существуют матрицы

и

такие, что

?
Она банальна в симметричном или невырожденном случае.
В остальных случаях ищите контрпример по подсказке от
ИСН.
Полного описания "счастливых случаев" ожидать трудно.