Задача на умножение матриц

[Stepan-S]

Возник вопрос по задачам 1.36.1 и 1.36.2 из книги "Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи" Ким и Крицкова.

1.36.1. Существуют ли матрицы $A$ и $B$, для которых равенство $AXB = X^T$ выполняется при любой матрице $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ?

1.36.2. Можно ли свести операцию транспонирования матрицы общего вида к операциям умножения ее слева и справа на какие-либо наперед заданные матрицы?

Собственно вопрос (точнее, проблема) в том, что я и не знаю как подступиться. В первой задаче я пробовал подставлять какие-нибудь конкретные матрицы, в которых много нулей (разные матричные единицы), но как-то ни к чему и не пришёл. К тому же, хотелось бы применить какое-нибудь общее соображение, а не методом тыка найти контрпример. Это самая первая тема, поэтому следует как-то использовать только определение и основные свойства произведения матриц.
А во второй задаче ещё и непонятен выбор слов. Я полагаю, что задача стоит такая: пусть $X$ — вещественная матрица; всегда ли существуют матрицы $A$ и $B$ такие, что $AXB = X^T$? Верно я понимаю? Непонятно, почему их обозвали тогда наперед заданными.

[ИСН]

1. Смотря куда подставлять. Подставьте на место X матрицу, в которой вообще почти все нули, только где-нибудь одна единичка. Что будет?
2. Наперёд - это значит, что они заданы до того, как вы узнаете X.

[svv]

Коварная разница между
для любой $X$ существуют $A, B$ такие, что ...
и
существуют $A, B$ такие, что для любой $X$ ...

[Stepan-S]

ИСН в сообщении #1595014 писал(а):

1. Смотря куда подставлять. Подставьте на место X матрицу, в которой вообще почти все нули, только где-нибудь одна единичка. Что будет?

Я подставлял в $X$ всегда, надо было уточнить. Странно было бы подставлять что-нибудь в $A$ или $B$.
Пусть $X$ — матричная единица $E_{11} \in \mathbb{R}^{m \times n}$, тогда $X^T$ тоже будет матричной единицей в позиции (1, 1), но размера $n \times m$.

$AX = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, \quad AXB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \dots & a_{11}b_{1m} \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & \dots & a_{21}b_{1m} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}b_{11} & a_{n1}b_{12} & \dots & a_{n1}b_{1m} \end{bmatrix}. $

$a_{11}b_{11} = 1$, следовательно, $a_{11} \ne 0, b_{11} \ne 0$. Остальные элементы первого столбца $AXB$ должны быть равны нулю, следовательно, все элементы первого столбца матрицы $A$ кроме первого равны нулю.

Вот на этом моменте я останавливался. А теперь понял, как можно подкрутить. Надо просто рассмотреть другую матричную единицу и найти противоречия. Например, $E_{12}$. Тогда
$AX = \begin{bmatrix} 0 & a_{11} & \dots & 0 \\ 0 & a_{21} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & a_{n1} & \dots & 0 \end{bmatrix}$, а первый столбец $AXB$ имеет вид $[a_{11}b_{21} \; a_{21}b_{21} \; \dots \; a_{n1}b_{21}]^T$.
$AXB = E^T_{12} = E_{21}$, следовательно, $a_{21} \ne 0$, что противоречит первому примеру.
Если $m=n=1$, то в качестве $A$ и $B$ можно взять любые взаимно обратные числа, во всех остальных случаях подобных матриц не существует.

Ладно, с этой задачей вроде разобрался.

ИСН в сообщении #1595014 писал(а):

Наперёд - это значит, что они заданы до того, как вы узнаете X.

Ну вот я так тоже думал, но тогда получается, что во второй задаче спрашивается то же, что и в первой. Разве не так?

[bot]

Stepan-S в сообщении #1595026 писал(а):

Ну вот я так тоже думал, но тогда получается, что во второй задаче спрашивается то же, что и в первой. Разве не так?

Нет, не так. Читайте до просветления

svv в сообщении #1595025 писал(а):

для любой $X$ существуют $A, B$ такие, что ...
и
существуют $A, B$ такие, что для любой $X$ ...

Можно то же самое сказать иначе:

У каждого человека есть отец
и
Существует некто, который есть отец для каждого.

Неужто разницы не замечаете?

[Stepan-S]

bot в сообщении #1595031 писал(а):

Неужто разницы не замечаете?

Я замечаю разницу и ведь ровно об этом я и спрашивал в своём первом сообщении.

Stepan-S в сообщении #1595012 писал(а):

Я полагаю, что задача стоит такая: пусть $X$ — вещественная матрица; всегда ли существуют матрицы $A$ и $B$ такие, что $AXB = X^T$? Верно я понимаю? Непонятно, почему их обозвали тогда наперед заданными.

Но, если

ИСН в сообщении #1595014 писал(а):

2. Наперёд - это значит, что они заданы до того, как вы узнаете X.

то получается, что $A$ и $B$ уже заданы. Поэтому нельзя сказать, что речь идёт о

svv в сообщении #1595025 писал(а):

для любой $X$ существуют $A, B$ такие, что ...

а снова говорится о

svv в сообщении #1595025 писал(а):

существуют $A, B$ такие, что для любой $X$ ...

как и в первой задаче. Чудеса какие-то.

[iifat]

Stepan-S в сообщении #1595026 писал(а):

во второй задаче спрашивается то же, что и в первой

Ну, единственная разница, что я вижу — если выяснится, что для некоторых пар $m$, $n$ такие матрицы существуют, а для других нет, то это и будет ответ на первый вопрос, на второй же ответ будет «нет».

[Sinoid]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1595031 писал(а):

svv в сообщении #1595025 писал(а):

для любой $X$ существуют $A, B$ такие, что ...
и
существуют $A, B$ такие, что для любой $X$ ...

Можно то же самое сказать иначе:

У каждого человека есть отец
и
Существует некто, который есть отец для каждого.

Неужто разницы не замечаете?

Перестановка кванторов?

[bot]

Sinoid в сообщении #1595081 писал(а):

Перестановка кванторов?

Ну, разумеется. Простой перестановкой кванторов превращаем утверждение биологическое в теологическое.
Ровно про такую же перестановку говорил svv.

[Sinoid]

bot в сообщении #1595088 писал(а):

Ровно про такую же перестановку говорил svv.

Ну потому я и его включил в цитату.

[bot]

(Оффтоп)

Я так подумал, что знак вопроса в конце предложения выражает как минимум сомнение, а потому требует подтверждения или опровержения. Наверно, я что-то пропустил в правилах грамматики.

[Sinoid]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1595094 писал(а):

Я так подумал, что знак вопроса в конце предложения выражает как минимум сомнение, а потому требует подтверждения или опровержения. Наверно, я что-то пропустил в правилах грамматики.

Подтверждение, конечно, очень необходимо. Просто я там уже, как бы сказать, перетранслировал, что ли, от себя. Ладно. Спасибо за комментарий.

[Stepan-S]

iifat в сообщении #1595054 писал(а):

Ну, единственная разница, что я вижу — если выяснится, что для некоторых пар $m$, $n$ такие матрицы существуют, а для других нет, то это и будет ответ на первый вопрос, на второй же ответ будет «нет».

То есть, вы тоже не видите этой перестановки кванторов, на которую мне таинственно намекают? Спасибо, а то я уже совсем тупым себя почувствовал.

Хорошо, допустим там эта перестановка кванторов всё-таки есть (иначе получается бессмысленная задача), авторы перемудрили с русским языком. И стоит такая задача:
пусть $X$ — вещественная матрица; всегда ли существуют матрицы $A$ и $B$ такие, что $AXB = X^T$?
Как всё-таки к ней подступиться? Единственное, что мне приходит в голову — возня с двойными суммами. Но она видится какой-то совсем бесперспективной.

[iifat]

Stepan-S в сообщении #1595220 писал(а):

И стоит такая задача: пусть $X$ — вещественная матрица; всегда ли существуют матрицы $A$ и $B$ такие

Ну, вот опять. Вот она, эта перестановка кванторов, о которой вам столько наговорили. В ваших заданиях никакой перестановки кванторов нет, только у вас в голове.

[Stepan-S]

iifat в сообщении #1595291 писал(а):

Ну, вот опять. Вот она, эта перестановка кванторов, о которой вам столько наговорили. В ваших заданиях никакой перестановки кванторов нет, только у вас в голове.

Да я понял уже, что в тексте книги этого нет. Мне просто эта "новая" задача стала интересна. Это ж не преступление? Но я так понял, что надо сначала про обратную матрицу почитать, тогда эта "новая" задача становится банальной.