Геометрическая кратность взаимно сопряженных собств. знач.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1589858 писал(а):

С другой стороны по ходу доказательства вроде бы используется только равная кратность сопряжённых СЗ

Нет, там в явном виде используется что клетке со значением $\lambda$ соответствует клетка того же размера со значением $\overline{\lambda}$. Представьте, что это не так: для $\lambda$ одна большая клетка, а для $\overline{\lambda}$ две маленьких, сумма размеров которых равна размеру большой.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1589862 писал(а):

Нет, там в явном виде используется что клетке со значением $\lambda$ соответствует клетка того же размера со значением $\overline{\lambda}$. Представьте, что это не так: для $\lambda$ одна большая клетка, а для $\overline{\lambda}$ две маленьких, сумма размеров которых равна размеру большой.

svv в сообщении #1589854 писал(а):

Поэтому контрпример у Вас в руках. Надо устроить так, чтобы собственное значение $\lambda$ имело (можно так сказать?) собственный вектор $x$, но $\overline\lambda$ не имело собственного вектора $\overline x$. А характеристический многочлен этого бы не заметил (он же видит только диагональ) и имел бы вещественные коэффициенты.

Да, я вроде бы понял.

То есть, например, вот такая матрица:

$$\begin{bmatrix} i&1& 0& 0\\ 0&i&0&0\\ 0&0&-i&0\\ 0&0&0&-i \end{bmatrix}$$

ХМ у нее имеет действительные коэффициенты. В ней $i$ имеет ГК 1, а $-i$ ГК 2. Можно было бы предположить, что она все равно подобна какой-то действительной матрице, но выше мы доказали, что для таких матриц ГК взаимно сопряженных значений будут одинаковы.

Получается, что мы доказали (без малого) такой вот критерий: матрица подобна действительной тогда и только тогда, когда ее комплексные (не действительные) значения присутствуют во взаимно сопряженных парах, и эти пары имеют одинаковые структуры корневых подпространств.

[vpb]

artempalkin в сообщении #1590032 писал(а):

(без малого)

А именно, осталось доказать, что прямая сумма двух жордановых клеток одного и того же размера с сопряженными с.з. подобна действительной матрице.

[artempalkin]

vpb в сообщении #1590087 писал(а):

А именно, осталось доказать, что прямая сумма двух жордановых клеток одного и того же размера с сопряженными с.з. подобна действительной матрице.

Нет, это как раз мы считаем доказанным (т.н. "вещественный аналог жордановой формы").
Доказать еще нужно, что корневые векторы высших высот должны совпасть. Но это доказывается так же, как и для собственных векторов.