Геометрическая кратность взаимно сопряженных собств. знач.

[artempalkin]

Пусть у нас есть действительная квадратная матрица, и у нее есть комплексные (и при этом не действительные) собственные значения. Понятно, что они будут в парах взаимно-сопряженных, и у этих пар будут равны алгебраические кратности, это следует из свойств многочленов с действительными коэффициентами.

Вчера я задался вопросом: а будут ли у них равны геометрические кратности? интуитивно да, а потом придумал доказательство, но матричное:

Ранги матриц $A$ и $\overline A$ совпадают. Тогда $\operatorname{rank} (A-\overline{\lambda} E)=\operatorname{rank} (\overline{A-\lambda E})=\operatorname{rank} (A-\lambda E)$, чтд.

Понятно, что трудно иногда провести чёткую грань между "матричным" и "операторным" доказательством, но нет ли какого-то "операторного" доказательства этого факта?

[mihaild]

Оно же и операторное, только вместо ранга нужно брать размерность образа (или, более наглядно, размерность ядра, но т.к. их сумма равна размерности пространства, то это неважно).

[svv]

Тем более, геометрическая кратность с.з. $\lambda$ — это просто по определению $\dim\ker(\mathsf A-\lambda\mathsf I)$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1589716 писал(а):

вместо ранга нужно брать размерность образа

Да, для оператора это тоже порой называется рангом (например, в учебниках Ким/Ильина).

svv в сообщении #1589742 писал(а):

Тем более, геометрическая кратность с.з. $\lambda$ — это просто по определению $\dim\ker(\mathsf A-\lambda\mathsf I)$.

А это вроде бы часто называется "дефектом".

На самом деле можно даже, вероятно, проще доказать: $Ax=\lambda x$, а следовательно $A\overline x=\overline {\lambda} \overline x$, и как бы все...

Но я думал над типа "геометрическим" доказательством, то есть, типа, почему, если для заданного комплексного числа найдется собственный вектор, то и для сопряженного тоже (в случае действительной матрицы)? Но, как бывает в таких случаях, я, наверное, не до конца понимаю, чтО именно мне нужно :)

[mihaild]

А для этого нужно сказать, что такое с геометрической точки зрения действительная матрица, и мне сходу неочевидно, как это сделать (потому что в другом базисе она уже не обязана быть действительной).
Видимо нужно сказать что у нас есть отображение пространства в себя, для которого выполнено условие $(a\vec x + \vec y)' = \overline{a} \vec x' + \vec y'$, это отображение переносится на операторы по правилу $A' x = A x'$, и у нас есть оператор, инвариантный относительно этого отображения. Ну тогда проходит ровно Ваше рассуждение.

[svv]

artempalkin в сообщении #1589754 писал(а):

А это вроде бы часто называется "дефектом".

Хорошо, так геометрическая кратность равна дефекту оператора $\mathsf A-\lambda\mathsf I$ (не рангу).

[мат-ламер]

artempalkin в сообщении #1589711 писал(а):

Вчера я задался вопросом: а будут ли у них равны геометрические кратности? интуитивно да,

Интуитивно мне тоже это кажется (дальше тему пока не читал, но собираюсь). Допустим, что это не так. Представим пример. Пусть у нас есть действительная матрица и мы её привели в ЖНФ. Пусть у нас будет одна клетка размером два на два с собственным значением $1+i$ . И пусть у нас будут ещё две клетки одиночного размера с собственными значениями $1-i$ . Как-то это странно будет выглядеть (для исходной действительной матрицы). Кажется, что для таких матриц, раз уж мы получили какую-то клетку с собственным значением $a+ib$ , то действуя аналогично, получим ровно такую же жорданову клетку с собственным значением $a-ib$ . Кроме того, у нашей ЖНФ какие-то отнюдь не совсем вещественные получились определитель и минимальный многочлен.

[artempalkin]

мат-ламер в сообщении #1589780 писал(а):

Как-то это странно будет выглядеть (для исходной действительной матрицы). Кажется, что для таких матриц, раз уж мы получили какую-то клетку с собственным значением $a+ib$ , то действуя аналогично, получим ровно такую же жорданову клетку с собственным значением $a-ib$ .

Да, я тоже думал о ЖНФ с точки зрения интуиции. Есть такая теорема - ЖНФ в действительной форме, как-то так. Там напрямую не доказывается, что геом. кратности для сопряженных СЗ равны, но вроде бы по сути следует (т.к. двум сопряженным СЗ ставится в соответствие одна типа жорданова квазиподклетка или как-то так)

-- 14.04.2023, 18:16 --

mihaild в сообщении #1589759 писал(а):

А для этого нужно сказать, что такое с геометрической точки зрения действительная матрица, и мне сходу неочевидно, как это сделать (потому что в другом базисе она уже не обязана быть действительной).

Да, об этом я не думал... Интересно... тут у меня возникает другой вопрос: верно ли, что если у матрицы характеристический многочлен имеет действительные коэффициенты, то она будет подобна действительной матрице?
Тут тоже, кажется, встает во весь рост вопрос, а чем, собственно, существенно действительные матрицы отличаются от общего вида...

[mihaild]

Поскольку характеристический многочлен не распределения размеров жордановых клеток, только от суммы их размеров, а подобие зависит, то пример подбирается легко.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1589780 писал(а):

дальше тему пока не читал, но собираюсь)

Чуток прочитал, но многое не понял.
artempalkin . Что у вас палочка над матрицей означает? Поэлементное сопряжение? Если вы хотите поиметь чисто операторное доказательство, то наверное надо заменить эту палочку на знак эрмитового сопряжения для оператора. Хотя может быть я ваши обозначения не понял.

[artempalkin]

мат-ламер в сообщении #1589786 писал(а):

Что у вас палочка над матрицей означает? Поэлементное сопряжение?

Ага

мат-ламер в сообщении #1589786 писал(а):

Если вы хотите поиметь чисто операторное доказательство, то наверное надо заменить эту палочку на знак эрмитового сопряжения для оператора.

Да, это док-во будет такое же по сути

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1589784 писал(а):

Поскольку характеристический многочлен не распределения размеров жордановых клеток, только от суммы их размеров, а подобие зависит, то пример подбирается легко.

Вот этот ваш комментарий я не понял...

artempalkin в сообщении #1589781 писал(а):

верно ли, что если у матрицы характеристический многочлен имеет действительные коэффициенты, то она будет подобна действительной матрице?

Но тут, конечно, ответ "да". Как раз по той самой теореме о "действительной жордановой форме", то есть что для произвольную комплексную жорданову форму можно привести к действительному некоторому варианту.
Соответственно, если у матрицы ХМ с действительными коэффициентами, то приводим к жордановой форме, а ее - к действительному варианту.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1589813 писал(а):

Но тут, конечно, ответ "да".

Тут ответ "нет".

artempalkin в сообщении #1589813 писал(а):

произвольную комплексную жорданову форму можно привести к действительному некоторому варианту

А сформулируйте эту теорему. Если это то, о чем я думаю, то там требуется чтобы комплексные клетки разбивались на сопряженные пары. А из действительности коэффициентов характеристического многочлена это не следует.

[svv]

artempalkin в сообщении #1589754 писал(а):

На самом деле можно даже, вероятно, проще доказать: $Ax=\lambda x$, а следовательно $A\overline x=\overline {\lambda} \overline x$, и как бы все...

Поэтому контрпример у Вас в руках. Надо устроить так, чтобы собственное значение $\lambda$ имело (можно так сказать?) собственный вектор $x$, но $\overline\lambda$ не имело собственного вектора $\overline x$. А характеристический многочлен этого бы не заметил (он же видит только диагональ) и имел бы вещественные коэффициенты.

[artempalkin]

mihaild
Получается, вы предполагаете, что сопряжённым СЗ могут соответствовать разные структуры подпространств?
Интуиция моя восстаёт против этого, но, конечно, почему нет с другой стороны...
Теорема эта про "вещественный аналог жордановой формы". Я сейчас пишу с телефона и могу сформулировать её когда буду с компьютера ближе завтра к вечеру... Но может быть вы посмотрите её на странице 280 Ким/Ильина. Я посмотрел, в самой формулировке оператор, действующий в действительном пространстве, то есть в нашем случае получается масло масляное (не может служить доказательством). С другой стороны по ходу доказательства вроде бы используется только равная кратность сопряжённых СЗ...

-- 15.04.2023, 20:03 --

То есть то, что структуры КП могут быть разными - это очевидно, но вот то, что нельзя привести к действительному виду интуитивный протест пока что