Кинематика точки. Отрицательный радиус

[Andrianiy]

Всем привет. Есть такая задача:

Точка $M$ движется по окружности радиуса $R(t)=3\cos \frac{\pi t}{3}-2$ согласно уравнению $S(t)=5\sin \frac{\pi t}{3}$. Определить и построить для момента времени $t_1=2\ c$ скорость, касательное, нормальное и полное ускорение этой точки.

Я, конечно же, не прошу решать эту задачу, но меня смущает тот факт, что при некоторых значениях $t$ радиус становится отрицательным. Как понимать этот факт? Может быть когда радиус меняет свой знак, имеется в виду, что кривая меняет выпуклость на вогнутость?
А может это ошибка условии, забыли взять радиус в модуль?

Буду признателен за разъяснения, может кто-то сталкивался.

[zykov]

Вот например переход от $(r, \varphi)$ к $(x,y)$:

$$x=r\cos\varphi$$

$$y=r\sin\varphi$$

Какими будут $x$ и $y$ при отрицательном $r$?

[Andrianiy]

Я пока что не понимаю, что такое отрицательное $r$ ни в вашем вопросе с полярными координатами, ни в своём.
Был бы признателен за пояснение.

[Vicktorovna]

zykov в сообщении #1586747 писал(а):

Вот например переход от $(r, \varphi)$ к $(x,y)$:

$$x=r\cos\varphi$$

$$y=r\sin\varphi$$

Какими будут $x$ и $y$ при отрицательном $r$?

Г. Zukov изволит шутить, говоря об отрицательных r.
Не воспринимайте это всерьёз.

[Andrianiy]

В детстве у меня была книжка "Физики шутят". Надо найти перечитать, а то что-то разучился шутки понимать )

[Vicktorovna]

Andrianiy в сообщении #1586753 писал(а):

В детстве у меня была книжка "Физики шутят". Надо найти перечитать, а то что-то разучился шутки понимать )

Она первый раз вышла в 1966 году. Прекрасный юмор, отличные шутки. О вреде огурцов - одна из лучших

[svv]

Andrianiy
При $t=t_1=2\;\text{с}$ формула для $R(t)$ даёт как раз отрицательный радиус, и это плохо (хотя zykov предложил одну из разумных интерпретаций). Но как вообще понять то, что точка $M$ движется по окружности переменного радиуса? Если это значит, что расстояние $OM$ зависит от времени по указанному закону, эта мысль выражена безобразно.

-- Вс мар 26, 2023 00:51:04 --

Кроме того, в такой интерпретации при $t=t_1$ радиальная компонента скорости $\frac{dR}{dt}$ оказывается по модулю больше самой скорости $\frac{dS}{dt}$ (которая ещё и отрицательна ). А это уже полный капец, после которого задачу надо вернуть составителю на доработку.

[sergey zhukov]

Andrianiy
Мда. Если понимать условие прямо в том смысле, что точка при движении остается на окружности переменного радиуса $R(t)$ с неподвижным центром (т.е. радиальное перемещение точки равно $R(t)$), и при этом точка имеет заданное полное перемещение $S(t)$, т.е. должно быть $dS(t)^2=dR(t)^2+dL(t)^2$ ($L(t)$ - касательное перемещение), то условие противоречивое - в заданой точке радиальное перемещение получается больше полного, чего не может быть.

Возможно, имеется ввиду, что $R(t)$ и $S(t)$ - это именно радиальное и касательное перемещения точки (в этом смысле нужно понимать "движется по окружности согласно уравнению $S(t)$"). Т.е. задано такое движение в полярных координатах $r=R(t)$, $d\varphi =\frac{dS(t)}{R(t)}$. В полярных координатах переход к отрицательному радиусу имеет вполне очевидный смысл и проблем не создает. Это просто значит, что радиус-вектор откладывается в противоположном направлении (или, что то же самое, для отрицательного радиуса нужно взять модуль радиуса, но прибавить $\pi$ к $\varphi$).

Может быть так же, имеется ввиду, что точка движется по кривой с радиусом кривизны $R(t)$. Правда, этот радиус по определению не бывает отрицательным.

Вообще, задача похожа на ту, которая приводится в студенческой методичке в общем виде с указанием варианта конкретных условий из длинного списка вариантов. Там иногда могут попадаться и некорректные условия. Нужно смотреть, откуда эта задача, что там за тема разбирается.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1586760 писал(а):

Но как вообще понять то, что точка $M$ движется по окружности переменного радиуса?

плюс 100500

-- 26.03.2023, 08:34 --

ИМХО, $R$ надо трактовать именно как радиус кривизны.
А его знак, как то, с какой стороны от кривой расположен центр касательной окружности.
Тогда задача при $t_1=2$ решается легко и непринужденно, если "скорость, касательное, нормальное и полное ускорение этой точки" нужно найти по модулю.

Однако, в этом случае возникают проблемы в точках, где радиус кривизны обращается в ноль. В них возникает бесконечное радиальное ускорение.

-- 26.03.2023, 08:48 --

Вот, например, из википедии:

Цитата:

Если кривая лежит в одной плоскости, её кривизне можно приписать знак. Такая кривизна часто называется ориентированной. Это можно сделать следующим образом: если при движении точки в сторону возрастания параметра вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Если понимать в смысле "найти модуль", то непонятно, что значит "Определить и построить". Явно предполгается вектор какой-то нарисовать.

Все точки кривой, кроме заданной, (такие, например, как точки с бесконечной кривизной) я думаю, можно смело игнорировать. Они не имеют отношения к задаче.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1586773 писал(а):

Явно предполгается вектор какой-то нарисовать.

Векторы тут будет нарисовать проблематично.
Как минимум нужна начальная точка кривой и направление вектора скорости в ней.

[Andrianiy]

Спасибо, все замечания справедливы. Я вот ещё что заметил.
В этой задаче траектория точки задана так называемым естественным способом, то есть $S(t)$ - это координата точки на траектории её движения. То есть это длина кривой от начала движения до текущей координаты. И если мы посмотрим на конкретные данные, то при $t=1,5$ эта координата достигает своего максимального значения $S(1,5)=5$ и далее $S(t)$ начинает уменьшаться, то есть точка начинает возвращаться по этой же траектории назад. Но радиус кривизны дуги в это время вообще живёт своей жизнью.
Например, при $t=0,5$ и $t=2,5$ точка находится в одном и том же месте траектории $S=2,5$, но движется в разных направлениях. При движении в одном направлении у кривой радиус кривизны $R(0,5)\approx 0,6$, а в обратном у этой же кривой - $R(2,5)\approx -4,6$.
То есть модуль радиуса в этой задаче не спасает, всё равно какой-то сюр.

[sergey zhukov]

Andrianiy
Действительно, если $S(t)$ не растет монотонно (а это так и есть), то это не пройденный путь, а именно координата вдоль траектории. В таком случае $R(t)$ должна быть однозначной функцией $S(t)$, а этого здесь нет. Эта задача, видимо, должна решаться только в данной точке, функции $S(t)$ и $R(t)$ даны только для дифференциирования их в данной точке. А невязки вдоль всей траектории нужно игнорировать.

Я полагаю так, что задачи с неясно/неоднозначно сформулированными условиями - это даже хорошо. Всегда можно выбрать те условия, которые тебя больше устраивают.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1586796 писал(а):

Эта задача, видимо, должна решаться только в данной точке, функции $S(t)$ и $R(t)$ даны только для дифференциирования их в данной точке. А невязки вдоль всей траектории нужно игнорировать.

А потом получается как в известной задаче с американским прямоугольным треугольником.

(Оффтоп)

Цитата:

Гипотенуза прямоугольного треугольника (в американском стандартном экзамене) – 10 дюймов, а опущенная на неё высота – 6 дюймов. Найти площадь треугольника.
С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить, как американские школьники (дававшие ответ 30 квадратных дюймов), не мог.

[Andrianiy]

Кстати, да))
Нет, чтоб тупо производные взять, да в формулы подставить, я начал траекторию смотреть