Определение непрерывной дифференцируемости на множестве

[give_up]

В нескольких учебниках по матанализу я нашел определение непрерывной дифференцируемости (для функции нескольких переменных) на открытом множестве или в области. Для примера два таких определения указаны ниже:
В учебнике Кудрявцева по матанализу (том 2, п. 38.1) есть определение непрерывной дифференцируемости на открытом множестве (для функции нескольких переменных):

Цитата:

Функция, имеющая на некотором открытом множестве непрерывные частные производные всех порядков до некоторого порядка $m$ включительно, называется $m$ раз непрерывно дифференцируемой на этом множестве.

В учебнике по матанализу Зорича (том 1, п.8.4.2) есть аналогичное определение непрерывной дифференцируемости в области:

Цитата:

Условимся в дальнейшем через $C^{(1)}(G; \mathbb{R})$ или, проще, через $C^{(1)}(G)$ обозначать множество функций, имеющих в области $G$ непрерывные частные производные.

Однако, мне нужно определить непрерывную дифференцируемость функции нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$ (т.е. на некотором подмножестве внутренности области определения функции), которое вовсе не обязательно является открытым (например, оно может быть замкнутым). Подскажите, корректно ли следующее определение:

Цитата:

Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется непрерывно дифференцируемой на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$, если она является непрерывно дифференцируемой в каждой точке этого множества (т.е для каждой точки $\mathbf{x} \in S$ выполняется следующее: все частные производные первого порядка функции $f$ определены в некоторой ее окрестности $U(\mathbf{x})$ и непрерывны в самой точке $\mathbf{x}$).

[krum]

give_up в сообщении #1581282 писал(а):

Подскажите, подойдет ли следующее определение:

для чего подойдет?

[give_up]

krum, я плохо выразился, исправил фразу "подойдет ли" на "корректно ли" (с точки зрения матанализа)

[krum]

В каком смысле корректно?

-- 12.02.2023, 17:10 --

Вы можете давать какие-угодно определения. Желательно только что бы определяемые объекты существовали, что бы определение не было внутренне противоречивым.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1581282 писал(а):

Однако, мне нужно определить непрерывную дифференцируемость функции нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$

Не совсем понятны ваши проблемы. Для любой точки из множества $\operatorname{int} \operatorname{dom} f$ вы можете определить и проверить непрерывную дифференцируемость функции $f$ . Значит то же самое вы можете сделать для любой точки из множества $S$ , поскольку это множество принадлежит множеству $\operatorname{int} \operatorname{dom} f$ .

Хотя, может я условие не понял.

[give_up]

мат-ламер
Ну, мне тоже так кажется, что можно. Просто раньше как-то вообще не думал про понятие непрерывной дифференцируемости на множествах, которые не являются открытыми (в том числе и про случай, когда они представляют из себя подмножества некоторого открытого множества). Вот и смутился.

krum в сообщении #1581285 писал(а):

В каком смысле корректно?

Поясню - мне нужно, чтобы это определение можно было применять при чтении книг по методам оптимизации. В книгах по методам оптимизации (классических учебниках Васильева и Сухарева, например) решается задача условной оптимизации $\min_{\mathbf{x} \in S} f(\mathbf{x})$, где $S$ - некоторое множество, которое называют допустимым. Про то, как именно оно соотносится с областью определения функции $f(\mathbf{x})$, там пишут лишь следующее: имеется функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$, определенная на $S$ или на некотором множестве, содержащем $S$. После чего там следует куча теорем, многие из которых формулируются примерно так: "Если функция $f(\mathbf{x})$ непрерывно дифференцируема на множестве $S$ (которое в общем случае не обязательно является открытым), то ... (дальше следует какое-нибудь утверждение)". И я хочу разобраться, что конкретно в такого рода литературе означает непрерывная дифференцируемость функции $f(\mathbf{x})$ на $S$, то есть что имеют в виду авторы этих учебников, когда пишут эту фразу. Свой вариант я предложил выше (сделав предположение, что в такой литературе неявно предполагают, что выполняется $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f$, а не просто $S \subseteq \operatorname{dom} f$), и хочу узнать, не будет ли оно противоречить всякой литературе по методам оптимизации. Видимо, авторы учебников по методам оптимизации считают этот момент очевидным даже для студентов второго-третьего курса. Но я давно вуз закончил и многое забыл, поэтому мне он как-то не кажется очевидным. Да и в учебниках по матанализу вообще не вводится понятие непрерывной дифференцируемости на множестве, которое в общем случае не является открытым (пусть даже и представляют из себя подмножество открытого множества). В общем, смутило меня это все как-то.

[krum]

give_up в сообщении #1581296 писал(а):

"Если функция $f(\mathbf{x})$ непрерывно дифференцируема на множестве $S$ (которое в общем случае не обязательно является открытым),

если дело обстоит именно так как Вы говорите -- меняйте учебник

-- 12.02.2023, 18:44 --

give_up в сообщении #1581296 писал(а):

Да и в учебниках по матанализу вообще не вводится понятие непрерывной дифференцируемости на множестве, которое в общем случае не является открытым

Вообще-то вводится. Например пространство $C^1(\overline D)$, где $D$ -- открытая область является стандартным.

[give_up]

krum в сообщении #1581301 писал(а):

Вообще-то вводится. Например пространство $C^1(\overline D)$, где $D$ -- открытая область является стандартным.

Подскажите, если можно, а в какой теме вводят это пространство в матанализе (я пролистал там главы про непрерывную дифференцируемость функции нескольких переменных и не нашел такого пространства).

Плюс всяко еще остается случай, когда множество $S$ не является открытым или замкнутым - вот для такого множества пространство $C^1(S)$ в матанализе точно не вводили (если мне память не изменяет).

[krum]

give_up в сообщении #1581305 писал(а):

кой теме вводят это пространство в матанализе (я пролистал там главы про непрерывную дифференцируемость функции нескольких переменных и не нашел такого пространства).

не знаю в какой, учебников много. Это стандартный объект для функана, для урчп.

give_up в сообщении #1581305 писал(а):

когда множество $S$ не является открытым или замкнутым - вот для такого множества пространство $C^1(S)$

про дифференцируемость функций на произвольном множестве я ничего не слышал

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1581296 писал(а):

Да и в учебниках по матанализу вообще не вводится понятие непрерывной дифференцируемости на множестве, которое в общем случае не является открытым

krum в сообщении #1581301 писал(а):

Вообще-то вводится.

Интересно всё-таки, что именно вводится и где именно.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1581310 писал(а):

Интересно всё-таки, что именно вводится и где именно.

нате
https://files.catbox.moe/6zvu2t.pdf стр 10

[мат-ламер]

krum в сообщении #1581311 писал(а):

нате

Спасибо! Однако есть нюанс.
Если рассматривать популярные учебники анализа на русском языке (к примеру, Зорича, Дьедонне, Картана - за все не скажу), то производная (дифференциал, градиент) определяется только для внутренних точек множества определения функции (считаем, что у нас функция из $R^n$ в $R$ ). И правильно делается. Студенты для начала должны разобраться с простыми случаями.

Если рассмотреть цитируемый текст, то там есть некоторое открытое множество. На этом множестве задана некая ограниченная равномерно непрерывная функция (эта функция может из себя представлять производную некоторого порядка). Тогда эту функцию можно распространить по непрерывности на замыкание исходного множества. Тогда на множестве всех таких функций можно производить некоторые дальнейшие действия (например, задать некоторый функционал). Явно не написано, но наверное можно было написать, что этим распространением по непрерывности можно определить производную на замыкании исходного множества. Но этого не делают, потому что, думаю, могут возникнуть нюансы, в которые углубляться не захотели.

-- Вс фев 12, 2023 21:21:57 --

Что касается популярных учебников по оптимизации на русском языке, то считаю, что топик-стартер затронул важную проблему, которая в учебниках заметается под ковёр. В задачах условной оптимизации зачастую рассматривают дифференцируемую функцию, заданную на некотором замкнутом множестве. Тут уже понимай как хочешь. Хорошо, если это множество выпуклое. Но непрерывно дифференцируемая функция, заданная на достаточно хорошем множестве (например, на внутренности круга), может не продолжаться по непрерывности на границу этого множества. (В некоторых учебниках УМФ, по-моему, тоже нет должной ясности по этому вопросу. Но, наверное, в некоторых и есть) .

-- Вс фев 12, 2023 21:36:24 --

Что касается учебников оптимизации, то часто предполагается достаточно простая ситуация. У нас задано некое выпуклое множество. На нём задана некая выпуклая функция. Мы можем эту функцию распространить на всё пространство, просто полагая, что она равна плюс бесконечности вне нашего множества. Тогда для любой точки мы можем определить для нашей функции субградиент. А вот, если множество и (или) функция не выпуклы, то всё гораздо сложнее.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1581317 писал(а):

Явно не написано, но наверное можно было написать, что этим распространением по непрерывности можно определить производную на замыкании исходного множества. Но этого не делают, потому что, думаю, могут возникнуть нюансы, в которые углубляться не захотели.

Нет там никаких нюансов. Производная является равномерно непрерывной функцией в $\Omega$. Равномерно непрерывная функция продолжается до непрерывной функции в замыкание свой области определения.

[мат-ламер]

krum в сообщении #1581324 писал(а):

Производная является равномерно непрерывной функцией в $\Omega$. Равномерно непрерывная функция продолжается до непрерывной функции в замыкание свой области определения.

А к этому никаких вопросов нет. С этим всё понятно. Вопрос возник, почему они не пишут, что определены производные на замыкании нашего множества.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1581327 писал(а):

Вопрос возник, почему они не пишут, что определены производные на замыкании нашего множества.

может потому, что предел отношения там ,вообще говоря, даже определить невозможно