Определение непрерывной дифференцируемости на множестве

[мат-ламер]

krum в сообщении #1581329 писал(а):

может потому, что предел отношения там ,вообще говоря, даже определить невозможно

Определить производную в граничной точке можно и без отношения. Просто как предел по соответствующей базе. Другое дело, что надо ещё доказать, что это определение будет давать тот же результат, что и продолжение по непрерывности. Я написал, что есть нюанс. Но нюанс не в том смысле, что что-то не так математически. А что-то не так чисто методологически. Кто-то где-то чего-то не договаривает. Приведу пример. Сухарев, Тимохов, Фёдоров. Курс методов оптимизации. Параграф 6.2 - Метод проекции градиента. Пишут, что есть некое выпуклое замкнутое множество и есть дифференцируемая функция на этом множестве. А как это понимать, догадайтесь сами.

-- Вс фев 12, 2023 23:11:37 --

мат-ламер в сообщении #1581332 писал(а):

А как это понимать, догадайтесь сами.

Я бы догадался так. Просто применил бы обычное определение дифференцируемости, не заморачиваясь на счёт того, что в учебниках анализа оно определяется только для внутренних точек. Для выпуклых множеств наверное это прокатит.

[give_up]

С методологической точки зрения мне еще не нравится то, что обсуждаемый вами класс $C^1(\overline{S})$ вводится, насколько я помню, не в курсе матанализа, а в курсе функционального анализа или в УМФ. Однако, далеко не всегда эти предметы присутствуют в учебной программе, а если и присутствуют, то идут параллельно с курсом методов оптимизации, или даже после него, но обычно не раньше. Так как очевидно, что математический аппарат в функане и УМФ посильнее будет. Например, на всяких новомодных факультетах для программистов в вузах курс по методам оптимизации есть (так как всякое машинное обучение по сути и представляет из себя решение определенных оптимизационных задач), а вот курса по функану, и уж тем более по УМФ, там обычно нет. Есть у меня теория, что когда писались учебники Сухарева и Васильева, эти два курса были чуть ли не обязательными в технических вузах, но сейчас это точно не так.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1581335 писал(а):

Есть у меня теория, что когда писались учебники Сухарева и Васильева, эти два курса были чуть ли не обязательными в технических вузах, но сейчас это точно не так.

В моё время на факультетах прикладной либо вычислительной математики были курсы функционального анализа и УМФ, Сейчас, наверное, и факультеты по-другому называются. Типа факультет компьютерных наук.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1581332 писал(а):

Определить производную в граничной точке можно и без отношения. Просто как предел по соответствующей базе.

Пока обсуждалось содержание учебников и стандартные определения разговор имел смысл. Обсуждать Ваши фантазии смысла не вижу.

мат-ламер в сообщении #1581332 писал(а):

Другое дело, что надо ещё доказать, что это определение будет давать тот же результат, что и продолжение по непрерывности. Я написал, что есть нюанс

Вот и займитесь этим. Только не приписывайте Ваш ход мыслей Адамсу.

-- 12.02.2023, 23:48 --

Вообще, когда не нравится один учебник берут другой. Но, я так начинаю понимать, что дело тут не в учебниках.

-- 13.02.2023, 00:07 --

Я считаю, что эту тему надо снести как лженаучную. По форме ТС задал относительно вменяемый вопрос вроде бы по учебнику. Дальнейшее же показало, что тема была открыта для ознакомления почтеннейшей публики с измышлениями ТС и мат-ламер

[Red_Herring]

Беда в том, что если область не является открытой, то понятие частной производной в граничной точке малоосмысленно (и в любом случае определение, зависящее от координат ...)

Пример: в левой вершине частные производные неопределены, в верхней--только односторонняя $f_y $, в правой--только односторонняя $f_x $.

\begin{tikzpicture} \draw[cblue] (0,0)--(3,1)--(2,2)--(0,0); \fill[cyan] (0,0)--(3,1)--(2,2)--(0,0); \end{tikzpicture}

Надо или через дифференциалы, или (хотя и менее общее, но разумное) множество внутренность множества $S$ предполагается в нём плотной и частные производные, вычисленные во внутренности $S$ по непрерывности определяются на всём $S$.

[give_up]

krum в сообщении #1581338 писал(а):

Я считаю, что эту тему надо снести как лженаучную. По форме ТС задал относительно вменяемый вопрос вроде бы по учебнику.

А зачем сразу всю тему сносить? В постах на первой странице никакой лженауки нет. А то, что на второй странице она слегка ушла в оффтоп - то это типичное явление для этого форума. Тем более, что ответ на мой вопрос из первого поста по сути стал понятен из постов первой страницы. По Вашей логике если следовать, дак на этом форуме не меньше чем половину тем снести тогда надо, в которых обсуждение заняло более чем одну страницу.

krum в сообщении #1581338 писал(а):

Вообще, когда не нравится один учебник берут другой.

А вот это действительно дельный совет. Сегодня с утра я перерыл с десяток учебников и курсов лекций по матанализу и еще штук 7 по методам оптимизации. И вроде нашел все, что хотел. А именно, в книге В.Г. Жадана "Методы оптимизации. Часть I." (МФТИ, 2014) на с.153 (там описывается постановка задачи оптимизации $\min_{\mathbf{x} \in S} f(\mathbf{x})$) сказано, что

Цитата:

целевая функция $f(\mathbf{x})$ должна быть определена в некоторой области, содержащей множество $S$.

То есть, как я понял, выполняется $S \subseteq U \subseteq \operatorname{dom} f\subseteq \mathbb{R}^n$, где $U$ - некоторая область. Если сделать предположение, что $\operatorname{int}\operatorname{dom} f$ является областью (кажется, что для практических задач оптимизации это вполне естественное предположение), то я думаю, что можно просто положить $U = \operatorname{int}\operatorname{dom} f$ и переписать это условие в виде $S \subseteq \operatorname{int}\operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$. Последняя цепочка включений в точности совпадает с той, что я указал в первом посте этой темы.

Далее, в книге О.В. Бесова "Лекции по математическому анализу" (Физматлит, 2014) на с.148-149 написано следующее определение непрерывной дифференцируемости:

Цитата:

Функцию $f$, имеющую на множестве непрерывные частные производные первого порядка, называют непрерывно дифференцируемой на данном множестве. Заметим, что все точки этого множества должны быть внутренними точками области определения функции $f$ в соответствии с определением частной производной.

Это единственный учебник по матанализу из просмотренных мной, который не требует того, чтобы множество $S$ было открытым, а, как я понял, требует лишь, чтобы выполнялось включение $S \subseteq \operatorname{int}\operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$. То есть в этом учебнике определение непрерывной дифференцируемости на множестве, похоже, полностью совпадает с тем, что я составил в первом посте этой темы (процитирую его еще раз напоследок):

Цитата:

Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется непрерывно дифференцируемой на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$, если она является непрерывно дифференцируемой в каждой точке этого множества (т.е для каждой точки $\mathbf{x} \in S$ выполняется следующее: все частные производные первого порядка функции $f$ определены в некоторой ее окрестности $U(\mathbf{x})$ и непрерывны в самой точке $\mathbf{x}$).

В общем, вывод мой такой - если перерыть с десяток учебников, то есть хороший шанс найти подтверждение своим теориям .

[пианист]

give_up в сообщении #1581375 писал(а):

если перерыть с десяток учебников, то есть хороший шанс найти подтверждение своим теориям

Такое себе - искать "подтверждение своим теориям".
Можно вопрос: зачем Вам вообще нужна вся эта схоластика с производной?
Вы уже с ККТ разобрались?

[krum]

give_up в сообщении #1581375 писал(а):

В общем, вывод мой такой - если перерыть с десяток учебников, то есть хороший шанс найти подтверждение своим теориям

Ну я , собственно, так и понял, что задача была не разобраться в учебнике, поэтому и предложил снести тему. Кстати, определение Похожаева не совпадает с Вашим. Ройте дальше.

[give_up]

krum в сообщении #1581377 писал(а):

Ну я , собственно, так и понял, что задача была не разобраться в учебнике, поэтому и предложил снести тему. Кстати, определение Похожаева не совпадает с Вашим. Ройте дальше.

А в чем была, по-вашему, моя задача? И почему вы так уверены, что она должна привести к сносу этой темы? Для этого она должна грубо нарушать правила этого форума. Так что прежде чем требовать сноса моей темы, обоснуйте пожалуйста, какое именно правило форума я нарушил.

-- Пн фев 13, 2023 09:51:14 --

krum в сообщении #1581377 писал(а):

Кстати, определение Похожаева не совпадает с Вашим. Ройте дальше.

Определение чего? Непрерывной дифференцируемости на некотором подмножестве открытого множества? Если ссылаетесь на что-то, то будьте добры хоть название книги указать и год ее издания (и страницу желательно).

[krum]

give_up в сообщении #1581379 писал(а):

Если ссылаетесь на что-то, то будьте добры хоть название книги указать и год ее издания (и страницу желательно).

Пардон, я имел в виду Бесова, Вашу же цитату

-- 13.02.2023, 11:40 --

Спутал Бесова с Похожаевым, бывает, знаете ли.

[give_up]

krum
Ну вот Бесов пишет

Цитата:

Заметим, что все точки этого множества $S$ должны быть внутренними точками области определения функции $f$ в соответствии с определением частной производной.

Из этого я делаю вывод, что должно выполняться $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f$. Этот вывод неверный?

Если же он верный, то его цитату (в дословных цитатах Бесова не было обозначения множества $S$, но я его ввел для удобства, это их суть никоим образом не меяет)

Цитата:

Функцию $f$, имеющую на множестве $S$ непрерывные частные производные первого порядка, называют непрерывно дифференцируемой на данном множестве.

я могу истолковать лишь так (в цитате Бесова не указано, но он точно имеет в виду существование и непрерывность всех ч.п. первого порядка на $S$, это в его книге ясно следует из контекста):

Цитата:

Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется непрерывно дифференцируемой на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$, если она является непрерывно дифференцируемой в каждой точке этого множества (т.е для каждой точки $\mathbf{x} \in S$ выполняется следующее: все частные производные первого порядка функции $f$ определены в некоторой ее окрестности $U(\mathbf{x})$ и непрерывны в самой точке $\mathbf{x}$).

Если это мое толкование неправильное, то большая просьба указать, в чем именно. До меня никак не доходит

[krum]

Бесов не требует что бы производные существовали вне множества $S$, а Вы требуете.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1581375 писал(а):

Далее, в книге О.В. Бесова "Лекции по математическому анализу" (Физматлит, 2014) на с.148-149 написано следующее определение непрерывной дифференцируемости:
Цитата:

Функцию $f$, имеющую на множестве непрерывные частные производные первого порядка, называют непрерывно дифференцируемой на данном множестве. Заметим, что все точки этого множества должны быть внутренними точками области определения функции $f$ в соответствии с определением частной производной.

На мой взгляд немного странное определение. Перед этим Бесов нормально (с точки зрения моего вкуса) определил понятия дифференциала и дифференцируемости. В тех определениях понятия частной производной не было. Оно появляется чуть позже. Тогда логично было продолжать эту линию и определить непрерывно дифференцируемую функцию, как функцию, у которой непрерывен дифференциал (это ведь тоже функция) - как это сделано у Зорича в пункте 10.4.2.а.

[give_up]

krum в сообщении #1581410 писал(а):

Бесов не требует что бы производные существовали вне множества $S$, а Вы требуете.

Если я Вас правильно понял, Вы имеете в виду, что в книге Бесова определение непрерывной дифференцируемости на множестве можно записать так:

Цитата:

Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется непрерывно дифференцируемой на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$, если она является непрерывно дифференцируемой в каждой точке этого множества (т.е для каждой точки $\mathbf{x} \in S$ выполняется следующее: все частные производные первого порядка функции $f$ непрерывны в точке $\mathbf{x}$).

А мое определение отличается еще дополнительным требованием того, чтобы эти производные были определены в некоторой окрестности $U(\nathbf{x})$:

Цитата:

Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется непрерывно дифференцируемой на множестве $S \subseteq \operatorname{int} \operatorname{dom} f \subseteq \mathbb{R}^n$, если она является непрерывно дифференцируемой в каждой точке этого множества (т.е для каждой точки $\mathbf{x} \in S$ выполняется следующее: все частные производные первого порядка функции $f$ определены в некоторой ее окрестности $U(\mathbf{x})$ и непрерывны в самой точке $\mathbf{x}$).

И тут я бы с Вами даже согласился в том, что мое определение содержит избыточное требование по сравнению с определением Бесова, но меня смущает одно большое "НО": в книге Бесова на соседней странице 147 (прямо перед определением непрерывной дифференцируемости на множестве) формулируется и доказывается достаточное условие дифференцируемости. Приведу точную цитату оттуда:

Цитата:

Пусть в точке $x^{(0)}$ непрерывны все частные производные $\frac{\partial f}{\partial x_i} ~ (i=1,\ldots,n)$ функции $f$. Тогда $f$ дифференцируема в точке $x^{(0)}$.
Доказательство ради простоты записи проведём для функции двух переменных $(n=2)$. Непрерывность частных производных функции $f$ переменных $x,y$ в точке $(x_0,y_0)$ включает в себя предположение о существовании этих производных на некоторой окрестности $U_{\delta}((x_0,y_0))$. // далее в его книге идет дальнейшее доказательство этой теоремы, которое нам сейчас неинтересно ...

(Думаю то, что рассматривается функция двух переменных здесь не имеет значения, то же самое утверждение он бы написал и про функцию $n > 2$ переменных.)
В общем, эта его цитата меня привела к выводу, что определение Бесова непрерывной дифференцируемости на множестве $S$ выглядит точно также как у меня. Действительно, все точки множества $S$ являются внутренними точками области определения функции $f$, а значит, непрерывность функции $f$ в каждой из этих точек влечет то, что она определена в окрестности каждой точки $\mathbf{x} \in S$ (в том числе в окрестностях тех граничных точек множества $S$, которые ему принадлежат). Таким образом, Бесов действительно требует того, чтобы частные производные существовали вне множества $S$ в том случае, когда оно содержит хотя бы одну свою граничную точку. Да, и еще на всякий случай отмечу, что в его книге нигде не вводится некое отдельное определение непрерывной дифференцируемости в граничной точке множества, следовательно, есть все основания полагать, что в его определении дифференцируемости на множестве все обстоит так, как я описал. Если я неправ, то прошу указать в чем именно.

[give_up]

мат-ламер в сообщении #1581428 писал(а):

На мой взгляд немного странное определение. Перед этим Бесов нормально (с точки зрения моего вкуса) определил понятия дифференциала и дифференцируемости. В тех определениях понятия частной производной не было. Оно появляется чуть позже. Тогда логично было продолжать эту линию и определить непрерывно дифференцируемую функцию, как функцию, у которой непрерывен дифференциал (это ведь тоже функция) - как это сделано у Зорича в пункте 10.4.2.а.

Думаю, что изложение теории дифференцирования функции нескольких переменных в книге Бесова стоит сравнивать не с десятой главой второго тома Зорича (где изложена общая теория дифференцирования в произвольных нормированных пространствах), а с восьмой главой первого тома Зорича. В которой Зорич про понятие непрерывной дифференцируемости пишет лишь следующее (пункт 8.4.2):

Цитата:

Условимся в дальнейшем через $C^{(1)}(G; \mathbb{R})$ или, проще, через $C^{(1)}(G)$ обозначать множество функций, имеющих в области $G \subset \mathbb{R}^m$ непрерывные частные производные.

Эту цитату можно перефразировать так: функция называется непрерывно дифференцируемой на области, если в этой области непрерывны все ее частные производные (первого порядка).
Как я надеюсь, чуть выше в предыдущем посте мне удалось показать, что определение Бесова эквивалентно моему определению. А вышепроцитированное определение Зорича из п.8.4.2 является его частным случаем: действительно, если наложить на множество $S$ требование того, чтобы оно являлось областью, и переобозначить его символом $G$, то получится определение Зорича.
Наконец, в пункте 10.4.2.а второго тома Зорича он в примере 2 пишет следующее (о функции $f: U \subset X \to Y$, где $U$ - открытое множество, а $X = X_1 \times \ldots \times X_m$ - прямое произведение нормированных пространств):

Цитата:

если $X = \mathbb{R}^m, \, Y = \mathbb{R}$, то мы вновь получаем уже знакомое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функции $m$ действительных переменных (функции класса $C^{(1)}(U, \mathbb{R})$, где $U \subset \mathbb{R}^m$)

Очевидно, здесь он под "знакомым понятием" подразумевает свое определение из первого тома (пункта 8.4.2). Итак, определение из второго тома Зорича переходит в его же определение из первого тома при $X = \mathbb{R}^m, \, Y = \mathbb{R}$. Я это всё к тому, что Зорич вовсе не считает неправильным/нелогичным в случае функции $f: U \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ определять непрерывную дифференцируемость на множестве подобно Бесову - в терминах непрерывности частных производных, более того, он сам именно так и делает в пункте 8.4.2 первого тома. Да и, насколько мне известно, 99% авторов учебников по матанализу тоже так делают для функции $f: U \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$.