Найти плотность распределения случайной величины

[ShMaxG]

upjump в сообщении #1570511 писал(а):

а почему еще один индикатор появляется?

Потому что с вероятностью единица $U_{(1)} \le U_{(2)} \le U_{(n)}$, значит и $u_1 \le u_2 \le u_n$ должно появиться, иначе вероятность (и стало быть плотность) равны нулю.

upjump в сообщении #1570511 писал(а):

$f_{U_{(1)},U_{(2)},U_{(n)}}(u_1,u_2,u_n) = $
$\binom{n}{1}P(u_1< \xi <u_1+\varepsilon) \binom{n-1}{1}P(u_2< \xi <u_2+\varepsilon) \binom{n-2}{1}P(u_n< \xi <u_n+\varepsilon) P(u_2+\varepsilon < \xi <u_n)^{n-3}=$
$n(n-1)(n-2)p(u_1)p(u_2)p(u_n)(F(u_n)-F(u_2))$

В этих выкладках $\xi$ у вас - равномерно распределенная на $[0,1]$ величина, и $F$ -- ее функция распределения. А в Вашем стартовом сообщении $F$ -- это функция распределения случайной величины, для которой получена выборка и порядковые статистики $x_1,\dots,x_n$.

[ShMaxG]

Задача имеет короткое и простое решение, если воспользоваться известным в (advanced) математической статистике фактом: вектор порядковых статистик $(U_{(1)},U_{(2)},\dots,U_{(n)})$ имеет такое же распределение, как и вектор

$$\left( \frac{E_1}{E_1+\dots+E_{n+1}},\,\frac{E_1+E_2}{E_1+\dots+E_{n+1}},\dots,\frac{E_1+\dots+E_n}{E_1+\dots+E_{n+1}}\right),$$

где $E_i\in\mathrm{Exp}(1)$ независимы и имеют стандартное показательное распределение. В таком случае

$$\frac{U_{(n)}-U_{(2)}}{U_{(n)}-U_{(1)}}=\frac{E_3+\dots+E_n}{E_2+\dots+E_n}=\frac{\Gamma_{n-2}}{E_2+\Gamma_{n-2}},$$

где $\Gamma_{n-2}$ имеет гамма-распределение $\Gamma(n-2,1)$, причем $E_2$ и $\Gamma_{n-2}$ независимы. Остается вычислить

$$\mathbb{P}\left(\frac{\Gamma_{n-2}}{E_2+\Gamma_{n-2}}<t\right)=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\mathcal{I}\left(\frac{x}{x+y}<t\right)p_{\Gamma(n-2,1)}(x)p_{\mathrm{Exp}(1)}(y)\,dxdy,$$

что является несложной задачей, гораздо проще, чем вычисление интегралов до этого.

[upjump]

Цитата:

$E_i\in\mathrm{Exp}(1)$

Что такое $\mathrm{Exp}(1)$? Это же не обычная экспонента в единице?

[ShMaxG]

upjump в сообщении #1570576 писал(а):

Цитата:

$E_i\in\mathrm{Exp}(1)$

Что такое $\mathrm{Exp}(1)$? Это же не обычная экспонента в единице?

Показательное распределение с параметром 1.

-- Вс ноя 20, 2022 19:07:12 --

upjump в сообщении #1570462 писал(а):

$F_\eta(y) = P(\frac{P_\xi(x_n)-P_\xi(x_2)}{P_\xi(x_n)-P_\xi(x_1)}<y) = P(P(x_2<\xi<x_n | x_1<\xi<x_n)<y) = P(P(x_2<\theta<x_n | x_1<\theta<x_n)<y) = P(\frac{F_\theta(x_n)-F_\theta(x_2)}{F_\theta(x_n)-F_\theta(x_1)}<y)=P(1-F_\theta(x_2)<y)=P(x_2>F^{-1}_\theta(1-y))=P(\theta>F^{-1}_\theta(1-y))^{n-2}=y^{n-2}$

Интересно, но мне удалось причесать это формально таким образом, чтобы это было верно. Удаляя ненужные равенства, можно написать:

$$F_{\eta}(y)=\mathbb{P}(\eta<y)=\mathbb{P}(\omega:\eta(\omega)<y)=\mathbb{P}\left(\omega: \frac{F_{\xi}(X_{(n)}(\omega))-F_{\xi}(X_{(2)}(\omega))}{F_{\xi}(X_{(n)}(\omega))-F_{\xi}(X_{(1)}(\omega))} < y \right)=$$

$$=\mathbb{P}\left(\omega: \frac{\mathbb{P}(\omega': X_{(2)}(\omega) \le \xi(\omega') < X_{(n)}(\omega))}{\mathbb{P}(\omega': X_{(1)}(\omega) \le \xi(\omega') < X_{(n)}(\omega))} < y \right) =$$

$$= \mathbb{P}(\omega:\mathbb{P}(\omega':X_{(2)}(\omega) \le \xi(\omega') < X_{(n)}(\omega))\,|\,X_{(1)}(\omega) \le \xi(\omega') < X_{(n)}(\omega))) < y)=$$

$$=\mathbb{P}(\omega:\mathbb{P}(\omega':\xi(\omega')<X_{(2)}(\omega)\,|\,X_{(1)}(\omega) \le \xi(\omega') < X_{(n)}(\omega)) < y)=$$

$$=\mathbb{P}(\omega:\mathbb{P}(\omega':\theta_{\omega}(\omega')<X_{(2)}(\omega))< y)=\mathbb{P}(\omega:\mathbb{P}(\omega':\theta_{\omega}(\omega')<\theta_{\omega(2)}(\omega))< y)=$$

$$=\mathbb{P}(\omega:F_{\theta_{\omega}}(\theta_{\omega(2)}(\omega))< y)=\mathbb{P}(\omega:\theta_{\omega(2)}(\omega)< F_{\theta_{\omega}}^{-1}(y))=\mathbb{P}(\omega:\theta_{\omega}(\omega)< F_{\theta_{\omega}}^{-1}(y))^{n-2}=y^{n-2},$$

где $\theta_{\omega}(\omega')$ - вспомогательная случайная величина, это та же величина $\xi(\omega')$, только обусловленная на событие $\xi(\omega')\in[X_{(1)}(\omega),X_{(n)}(\omega)]$, $\theta_{\omega(2)}(\omega')$ - это вторая порядковая статистика случайной величины $\theta_{\omega}(\omega')$. Важно заметить, что для $\omega'=\omega$ она совпадает с порядковой статистикой $X_{(2)}(\omega)$.

[upjump]

ShMaxG
Я не могу понять что из себя представляет плотность $p_{Exp(1)}(y)$. Могли бы Вы объяснить? То есть это плотность по случайной величине $Exp(1)$. Как-то в голове не укладывается как выглядет это распределение. Мне понятно что такое, например, плотность $p_{\xi}(y) = e^{-y}$ по случайной величине $\xi$, что пробегает интервал $[0,\infty]$.

[ShMaxG]

upjump в сообщении #1570596 писал(а):

Я не могу понять что из себя представляет плотность $p_{Exp(1)}(y)$.

Это плотность стандартного показательного распределения, Вы же ее сами выписали: $p_{Exp(1)}(y)=e^{-y}$ для $y \ge 0$.

-- Вс ноя 20, 2022 20:00:03 --

upjump
Скажите, пожалуйста, откуда взялась эта задача?

[upjump]

Цитата:

Скажите, пожалуйста, откуда взялась эта задача?

Б.В.Гнеденко, Курс теории веротяностей. Упражнения в конце 4-й главы, задача 28.

-- 20.11.2022, 19:58 --

ShMaxG
Я пытаюсь разобраться как формально описать плотность случайной величины $p_{\xi}(x)=e^{-x}$. Подскажите такое описание верно?

$p_{\xi}(x) = \mathbb{P}(\omega:\xi(\omega)=x) = e^{-x}$

Upd
Вижу, что чушь написал. Вероятность будет $0$, а не $e^{-x}$.

[ShMaxG]

upjump
Прежде, чем браться за такие зубодробительные задачи, Вам следует сначала разобраться в самых-самых базовых вещах теории вероятностей, а именно проработать всю четвертую главу Гнеденко и порешать сначала простейшие задачи на эти темы. Мы на форуме не можем быть вам преподавателями... Посмотрите сначала в книгу, как определяется плотность распределения, что это такое. Ответ на вопрос: нет, не верно.

Чтобы уметь решать задачу 28, Вам нужно сначала научиться решать задачи 2, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 18. Они тоже не все очевидные, но достаточно элементарные, в каждой из них какая-то своя идейка, которая потом используется для решения задачи 28.

[upjump]

ShMaxG

Цитата:

Чтобы уметь решать задачу 28, Вам нужно сначала научиться решать задачи 2, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 18. Они тоже не все очевидные, но достаточно элементарные, в каждой из них какая-то своя идейка, которая потом используется для решения задачи 28.

Я решил все задачи из этой главы кроме 28-й и 8-й. И сверил ответы из других решебников, они верны. Но я не понимаю как сделать переход из $p_{Exp(1)}(y)$ в $e^{-y}$.

Цитата:

Мы на форуме не можем быть вам преподавателями...

Да, я понимаю. Я благодарен вам за подробное решение задачи в нескольких вариантах, включая разбор моего, это действительно большая трата времени. Тогда, думаю, можно закрыть эту тему.

[ShMaxG]

upjump
Да, я тоже думаю, что тема исчерпана. Резюмируя, скажу, что уверен полностью в правильности первых двух решений. Третье решение пока еще вызывает определенные вопросы, введение вспомогательной величины и особенно последняя строчка, поэтому я бы его не рекомендовал, считайте это просто моей попыткой формализовать Ваши мысли. Первое решение лобовое и работает всегда (может быть оно не всегда эффективно или разумно, но так можно вычислить очень много вероятностей). Второе решение опирается на некоторую advanced-теорию математической статистики, в которой описываются свойства так называемых спейсингов (интервалов между порядковыми статистиками), в этих терминах решение становится гораздо короче.

[upjump]

ShMaxG
Я наконец разобрал и понял предложенные Вами решения! Очень понравилось применения индикаторных функций, для формулирования условия, наверное такой ход очень удобен в задачах на условную вероятность. Не дает покоя только одно обозначение во втором решение:
$\Gamma_{n-2}$ - это же просто именование случайной величины и ничего более, она не равна $\Gamma(n-2)$, а просто равна сумме случайных величин $E_3+\dots+E_n$?

[Combat Zone]

upjump в сообщении #1571056 писал(а):

Очень понравилось применения индикаторных функций, для формулирования условия, наверное такой ход очень удобен в задачах на условную вероятность.

Скажите, при чем тут условная вероятность? Индикаторная функция используется много где, и в вашей задаче она фигурировала при методе решения в лоб. Если вы перечитаете все, вы увидите, что в тех способах нигде условной вероятности нет.

upjump в сообщении #1571056 писал(а):

Не дает покоя только одно обозначение во втором решение:
$\Gamma_{n-2}$ - это же просто именование случайной величины и

Там написано, что это такое. Гамма-распределение с параметрами (n-2, 1).

upjump в сообщении #1570612 писал(а):

Я решил все задачи из этой главы кроме 28-й и 8-й. И сверил ответы из других решебников, они верны. Но я не понимаю как сделать переход из $p_{Exp(1)}(y)$ в $e^{-y}$.

Я старый солдат, и не знаю слов любви Гм. Разрешите, я поработаю Станиславским. Не верю, что вы осознанно и верно решили все эти задачи после главы "Случайные величины", а потом по каким-то причинам не можете сказать, что такое плотность. Ну не верю. Во что могу поверить - что вам удалось убедить себя, что вам удалось решить эти задачи. И да, даже сошлось с ответом. Это запросто.
Бесплатный совет: advanced статистику оставьте пока гурманам. Будет более чем достаточно для первого знакомства, если вы что-то такое запомните, какие-то слова про порядковые статистики, порядковые статистики равномерного распределения, и что надо же, они как-то особенно устроены.

[ShMaxG]

upjump в сообщении #1571056 писал(а):

$\Gamma_{n-2}$ - это же просто именование случайной величины и ничего более, она не равна $\Gamma(n-2)$, а просто равна сумме случайных величин $E_3+\dots+E_n$?

Это обозначение случайной величины, равной (в данном контексте) $E_3+\dots+E_n$. Обозначение $\Gamma_{n-2}$ для этой случайной величины я использовал, потому что она имеет гамма-распределение $\Gamma(n-2,1)$, что не нужно путать с числом $\Gamma(n-2)$, т.е. значением гамма-функции в точке $n-2$.

-- Вт ноя 22, 2022 23:43:35 --

upjump в сообщении #1571056 писал(а):

Очень понравилось применения индикаторных функций

Да, это удобно, когда нужно сначала просто формулу какую-то написать и не хочется сразу расставлять пределы интегрирования переменных в повторном интеграле. Это делает запись компактнее и проще для восприятия.

А еще индикаторная функция помогает коротко записывать плотности вероятностей для некоторых распределений. Возьмем например случайную величину $\xi$ с равномерным на отрезке $[a,b]$ распределением. Плотность распределения этой случайной величины равна $1/(b-a)$ на отрезке $[a,b]$ и нулю вне этого отрезка. Компактно это записывается так:

$$p(x)=\frac{1}{b-a}\,\mathcal{I}(x\in[a,b]).$$

Это очень удобная запись в математической статистике, когда нужно перемножать подряд идущие плотности распределений. Например плотность случайного вектора $(X_1,\dots,X_n)$, где величины независимы в совокупности, и каждая величина имеет распределение как выше, равна

$$p(x_1,\dots,x_n)=\prod_{k=1}^n \frac{1}{b-a}\mathcal{I}\,(x_k \in [a,b]) = \frac{1}{(b-a)^n}\mathcal{I}(x_{(1)} \ge a, x_{(n)} \le b).$$

Произведение индикаторов от чего-то - это тоже индикатор от чего-то (другого).

Combat Zone в сообщении #1571067 писал(а):

Скажите, при чем тут условная вероятность?

Может быть и причем. На выписанные мной выражения (вероятность = интеграл) можно посмотреть с двух точек зрения. С одной стороны вероятность = интеграл от плотности по области. С другой стороны, вероятность = интегралу условной вероятности от плотности переменных, которые в условной вероятности зафиксировались (формула полной вероятности для непрерывного случая). Этот прием называется техникой обусловливания (или обуславливания). Если обусловить по всем переменным в выражении, то под вероятностью не останется ничего случайного и она превратиться в индикатор. Хотя обычно обуславливают не по всем переменным, а только по независимым, чтобы условная вероятность превратилась в просто вероятность.

[upjump]

Цитата:

Скажите, при чем тут условная вероятность?

Я лишь предположил, что использование индикаторных функций должно быть удобно в решений задач на условную вероятность, так как в индикаторную функцию кладется(невероятно!) условие.

Цитата:

Если вы перечитаете все, вы увидите, что в тех способах нигде условной вероятности нет.

В двух предложенных мне способах нету, в моем есть.

Цитата:

Там написано, что это такое. Гамма-распределение с параметрами (n-2, 1).

Там написано: $\Gamma_{n-2}$ имеет гамма-распределение $\Gamma(n-2,1)$. Меня немного путают обозначения. Хотел убедиться что под ним ничего не спрятано. То есть было бы понятно обозначение, к примеру, $\eta$ - случайная величина, имеющая гамма-распределение с параметрами $(n-2,1)$.

Цитата:

не можете сказать, что такое плотность

Я понимаю, что такое плотность. Это неотрицательная функция под интегралом, для случая непрерывной случайной величины. Сама по себе она не является вероятностью. Я просто немного запутался в обозначениях описанных в решении и начал выдумывать поиск перехода из $p_{Exp(1)}(y)$ в $e^{-y}$, не вчитавшись что ее(плотность) не надо искать, а она уже задана, по дефолту.

Цитата:

Во что могу поверить - что вам удалось убедить себя, что вам удалось решить эти задачи. И да, даже сошлось с ответом

Хотелось бы находить решения задач одной лишь силой веры. Поверил и получил ответ.

Цитата:

Бесплатный совет: advanced статистику оставьте пока гурманам. Будет более чем достаточно для первого знакомства, если вы что-то такое запомните, какие-то слова про порядковые статистики, порядковые статистики равномерного распределения, и что надо же, они как-то особенно устроены.

Я не лезу в advanced статистику, у меня не тот уровень. Ваш совет неактуален.

[Combat Zone]

upjump в сообщении #1571075 писал(а):

Ваш совет неактуален.

Отлично.