Эфиристы

[Lukum]

Выцепил взгляд, в формуле$(5a)$ опечатка.

[schekn]

Lukum в сообщении #878150 писал(а):

Выцепил взгляд, в формуле$(5a)$ опечатка.

Я что-то не вижу.

[Lukum]

Сорри, я ошибся, невнимательно посмотрел.

[epros]

schekn в сообщении #878076 писал(а):

Попробовал найти решение уравнений Г-Э внутри статической сферической оболочки $a<r<b$, с постоянной плотностью $\varepsilon$.
[skip]
Хотелось бы уточнить, правильно ли решение, как перейти к сингулярной сфере и как далее найти то , что хочет epros для определения ТЭИ сингулярной сферы.

Я только не пойму: зачем все эти ухищрения? Если задача в том, чтобы перейти в пределе к тонкой сфере, так на порядок проще сразу с неё и начать.

[schekn]

epros в сообщении #878557 писал(а):

Я только не пойму: зачем все эти ухищрения? Если задача в том, чтобы перейти в пределе к тонкой сфере, так на порядок проще сразу с неё и начать.

Мне показалось, что так честнее. К тому же Вы не привели свое решение для ТЭИ тонкостенной сферы.
Кроме того надо все таки понять, что подразумевается под $M_1$ , которая фигурирует в Ваших формулах. Если я правильно понял, то для статической однородной оболочки $a<r<b$ это будет :

$M_1=\int_{a}^{b}4{\pi}r^2T_{0}^{0}dr=4/3{\pi}(b^3-a^3){\varepsilon}$

То есть интеграл по области, где вещество, как будто вещество погружено в евклидово пространство (?).

[epros]

schekn в сообщении #878579 писал(а):

Мне показалось, что так честнее. К тому же Вы не привели свое решение для ТЭИ тонкостенной сферы.

Что было нечестно? Какого решения я не привёл? Я же выписывал метрику.

schekn в сообщении #878579 писал(а):

Кроме того надо все таки понять, что подразумевается под $M_1$ , которая фигурирует в Ваших формулах. Если я правильно понял, то для статической однородной оболочки $a<r<b$ это будет :

$M_1=\int_{a}^{b}4{\pi}r^2T_{0}^{0}dr=4/3{\pi}(b^3-a^3){\varepsilon}$

Примерно так, с точностью до некоего множителя. SergeyGubanov выписывал формулу.

schekn в сообщении #878579 писал(а):

То есть интеграл по области, где вещество, как будто вещество погружено в евклидово пространство (?).

Причём тут евклидово пространство? Интегрируется компонента ТЭИ по трёхмерной области. Если Вас смущает наличие свободного индекса под интегралом, то есть способ проделать всё математически корректно: Возьмите нулевой вектор очевидным образом определённой тетрады и с его помощью «убейте» лишний индекс.

-- Пн июн 23, 2014 13:50:25 --

Впрочем, если Вам это непонятно, то можно вспомнить о том, что пространство внутри сферы действительно (а не «как будто») евклидово.

[schekn]

epros в сообщении #878602 писал(а):

то можно вспомнить о том, что пространство внутри сферы действительно (а не «как будто») евклидово.

Да что Вы, внутри оболочки $a<r<b$, которую я рассматриваю, оно не евклидово.
Еще меня смущает Ваш метод сшивки. Если посмотреть , как сшивает Толмен решение внутри статического шара и Вайнберг коллапсирующий шар с внешним Щварцшильдом, то они берут внутреннюю метрику именно в таком виде:

$ds^2=B(r,t)dt^2-A(r,t)dr^2-r^2d{\Omega^2}$

(для статического случая коэфициенты не зависят от времени).
То есть функция при угловом члене $-r^2$. А у Вас она получилась весьма экзотическая.



И я почему-то не нашел, где SergeyGubanov выписал ТЭИ и компоненты тензора Эйнштейна на самой сфере.

[epros]

schekn в сообщении #878624 писал(а):

Да что Вы, внутри оболочки $a<r<b$, которую я рассматриваю, оно не евклидово.

Не в оболочке, а под оболочкой. Чтобы Вам не насиловать мозг неевклидовостью в оболочке, достаточно взять её бесконечно тонкой.

schekn в сообщении #878624 писал(а):

Еще меня смущает Ваш метод сшивки. Если посмотреть , как сшивает Толмен решение внутри статического шара и Вайнберг коллапсирующий шар с внешним Щварцшильдом

Что конкретно смущает? За соответствие текстам других авторов я не отвечаю. У меня была задана метрика над сферой и была задача пришить к ней пространство Минковского под сферой. Разумеется, координаты под сферой при этом получатся «экзотические». Можно поступить иначе: взять удобные координаты в пространстве Минковского под сферой и пришить к ним решение Шварцшильда над сферой. Тогда получатся «экзотические» координаты над сферой.

schekn в сообщении #878624 писал(а):

И я почему-то не нашел, где SergeyGubanov выписал ТЭИ и компоненты тензора Эйнштейна на самой сфере.

Я говорил не о выписанных компонентах ТЭИ (их ещё нужно посчитать), а о формуле для массы через интеграл от нулевой компоненты ТЭИ.

[schekn]

epros в сообщении #878645 писал(а):

Не в оболочке, а под оболочкой. Чтобы Вам не насиловать мозг неевклидовостью в оболочке, достаточно взять её бесконечно тонкой.

Именно это я и считаю более честным, пусть это , как Вы говорите , будет сложнее для мозга. Метрику на внутренней поверхности оболочки сшить с Минковским, а внешнюю с Шварцшильдом. В пределе тонкой оболочки должен получить такое же решение как и у Вас для сингулярной сферы. Я ее не получил пока.

-- 23.06.2014, 18:58 --

epros в сообщении #878645 писал(а):

Я говорил не о выписанных компонентах ТЭИ (их ещё нужно посчитать)

Вот это и интересно посмотреть на них. Но вроде нулевая компонента простая , если плотность постоянна? Но у Лайтмана получилось хитрое выражение, которое я не могу понять.

epros в сообщении #878645 писал(а):

а о формуле для массы через интеграл от нулевой компоненты ТЭИ.

Так вроде я ее выписал в предыдущем сообщении ( это M1). Но как это связано с плотностью энергии по-прежнему поля неясно.

[epros]

schekn в сообщении #878774 писал(а):

В пределе тонкой оболочки должен получить такое же решение как и у Вас для сингулярной сферы.

Непонятно, зачем Вам это упражнение. Получите, конечно, если всё правильно посчитаете. Но мне это за Вами проделывать, честно говоря, лень.

schekn в сообщении #878774 писал(а):

Так вроде я ее выписал в предыдущем сообщении ( это M1). Но как это связано с плотностью энергии по-прежнему поля неясно.

Там не хватает множителя, который гарантирует независимость массы камней от масштаба нулевой координаты.

На этом этапе речь идет пока не об энергии поля, а о подсчёте общего количества (в килограммах) поднимаемых камней.

Следующий этап: Связать количество оставшихся (не поднятых) камней с ускорением свободного падения около них (непосредственно над ними). Получится та формула, которую я приводил вначале.

И только потом, используя эту формулу и исключив из неё массу поднятых камней, получаем связь между полем, ликвидированным в сферическом слое, и затраченной на это механической энергией.

[schekn]

epros в сообщении #879015 писал(а):

Там не хватает множителя, который гарантирует независимость массы камней от масштаба нулевой координаты.

Ну вообще-то говоря моя формула неточна, не очень понятно о каком множителе идет речь, но то о чем говорилось вначале: интегрирование нулевой компоненты ТЭИ по 3-х мерному пространству, то надо написать так ( я пока оставлю несингулярную оболочку):

$\int_{a}^{b}4{\pi}T_{0}^{0}r^2e^{\Lambda/2}dr$

(согласно формуле из ЛЛ-2 пар 100). Появилось $e^{\Lambda/2}$.

То есть здесь надо знать радиальную компоненту на сфере. Я ее получил, но не уверен, что правильно. А потом устремить $a$ к $b$. Согласно (6a) :

$M_1=\lim_{a{\rightarrow}b}4{\pi}{\varepsilon}\int_{a}^{b}\frac{r^2dr} {\sqrt{1-r_g/r+8{\pi}G{\varepsilon}(r^3-b^3)/3r}}$\quad(11a)

А что делать дальше не знаю.

-- 24.06.2014, 18:36 --

Еще , что смущает. У вас центр плоской метрики не совпадает с r=0.



Если сделать замену координат, чтобы привести вид плоской метрики к привычному Минковскому, надо угловой член заменить на $-\bar{r}^2$

$\frac{r+\sqrt{R^2-r_gR}-R} {\sqrt{1-r_g/R}}=\bar{r}$

тогда : $dr=d\bar{r}\sqrt{1-r_g/R}$

и

$ds^2=(1-r_g/R)dt^2-d\bar{r}^2-\bar{r}^2d{\Omega}^2$

В данных координатах, где уже центр совпадает с $\bar{r}=0$ радиальная компонента плоской метрики $\bar{g_{rr}}$ не сшивается с Шварцшильдовской.

Возникает вопрос о том, есть ли взаимооднозначное соответствие всех точек пространства Минковского внутри сферы с той плоской метрикой, которую Вы получили? Или у Вас в центре дырка?

Забавно также, что на бесконечности метрика Шварцшильда переходит в плоскую метрику вида:

$ds^2=dt^2-dr^2-r^2d{\Omega}^2$

А внутри:

$ds^2=d\bar{t}^2-d\bar{r}^2-\bar{r}^2d{\Omega}^2$

Со связью времен и радиальных координат:

$dr=d\bar{r}\sqrt{1-r_g/R}$ , $dt=d\bar{t}/\sqrt{1-r_g/R}$

[epros]

schekn в сообщении #879307 писал(а):

Ну вообще-то говоря моя формула неточна, не очень понятно о каком множителе идет речь, но то о чем говорилось вначале: интегрирование нулевой компоненты ТЭИ по 3-х мерному пространству, то надо написать так ( я пока оставлю несингулярную оболочку):

$\int_{a}^{b}4{\pi}T_{0}^{0}r^2e^{\Lambda/2}dr$

(согласно формуле из ЛЛ-2 пар 100). Появилось $e^{\Lambda/2}$.

Всё проще. SergeyGubanov приводил формулу.

schekn в сообщении #879307 писал(а):

Еще , что смущает. У вас центр плоской метрики не совпадает с r=0.

Ну и что? Отсчёт радиальной координаты можно начинать с любого числа.

schekn в сообщении #879307 писал(а):

Если сделать замену координат, чтобы привести вид плоской метрики к привычному Минковскому, надо угловой член заменить на $-\bar{r}^2$

$\frac{r+\sqrt{R^2-r_gR}-R} {\sqrt{1-r_g/R}}=\bar{r}$

тогда : $dr=d\bar{r}\sqrt{1-r_g/R}$

и

$ds^2=(1-r_g/R)dt^2-d\bar{r}^2-\bar{r}^2d{\Omega}^2$

Хорошо, что Вы это всё проделали. Для полноты картины остаётся выполнить замену временной координаты, чтобы избавиться от $1-r_g/R$, а также перейти от сферических пространственных координат к декартовым. Чисто чтобы убедиться, что метрика приводится к каноническому диагональному виду.

schekn в сообщении #879307 писал(а):

В данных координатах, где уже центр совпадает с $\bar{r}=0$ радиальная компонента плоской метрики $\bar{g_{rr}}$ не сшивается с Шварцшильдовской.

А зачем Вам это? Вы только что продемонстрировали, что внутри — пространство Минковского. А координаты — уж какие получились, такие и получились. В пространстве Минковского можно задать разные координаты.

schekn в сообщении #879307 писал(а):

Возникает вопрос о том, есть ли взаимооднозначное соответствие всех точек пространства Минковского внутри сферы с той плоской метрикой, которую Вы получили? Или у Вас в центре дырка?

Ну Вы шутник! Под сферой — область пространства Минковского, зачем Вам все точки? И какая дырка в центре, где Вы её усмотрели? Просто отсчёт радиальной координаты начинается не с нуля. Но центр есть.

[schekn]

epros в сообщении #879551 писал(а):

Всё проще. SergeyGubanov приводил формулу.

Извините, не нашел, как решил ее Сергей, к тому же он сделал ряд замечаний , в том числе относительно компонент тензора Эйнштейна на самой оболочке.
У Вас она решена по видимому некорректно.
Еще раз посмотрел, как решена задача у Лайтмана , они подчеркивают, что в координатах кривизны решить ее не удается, потому что радиальная компонента терпит разрыв. Общее внутреннее решение для сферически-симметричной звезды с веществом ( неважно, можно и оболочки):

$ds^2=e^{\nu}dt^2-\frac{dr^2} {1-2m(r)G/r}-r^2d{\Omega}\quad(12a)$

$m(r)$ при пересечении оболочки терпит разрыв. Меня еще смутило, что я не могу подсчитать такой интеграл:

$M_1=\lim_{{e{\rightarrow}0}}\int_{R-e}^{R+e}T_{0}^{0}4{\pi}r^2e^{\Lambda/2}dr \quad(13a)$

(Я заменил $a=R-e , b=R+e$). Согласно уравнениям Гильберта-Эйнштейна:

$T_{0}^{0}=(1/8{\pi}G)G_{0}^{0}\quad(14a)$

Подставляем сюда нулевую компоненту из $(1a)$:

$M_1=(1/2G)\lim_{e{\rightarrow}0}\int_{R-e}^{R+e}e^{-\Lambda}({\Lambda}'r+e^{\Lambda}-1)e^{\Lambda/2}dr \quad(15a)$

У меня предел всех частей интеграла (15а) дает нуль при стремлении толщины оболочки к нулю (Тут приходится брать Шварцшильдовскую компоненту $e^{\Lambda}=1/(1-rg/R)$). У Лайтмана ( я давал ссылку) сшивка происходит в изотропных координатах, там все сшивается аккуратно, центр как и надо в нуле, а поскольку в $G_{0}^{0}$ в изотропных входят вторые производные, то интегрирование (15а) отлично от нуля.

После этого , как сделаете все корректно в изотропных, можно уже поговорить о Вашей задаче с поднятием камней. Меняться будет не только M1 (поскольку она зависит от радиуса оболочки R) но и поперечные натяжения. Поэтому возможно, никакого изменения "энергии гравитационного поля" не произойдет, а все уйдет , например, на нагревание самой оболочки.

Если нет доступа к задачнику, то появится SergeyGubanov и более толково Вам объяснит Вашу ошибку.

[epros]

schekn в сообщении #879877 писал(а):

Еще раз посмотрел, как решена задача у Лайтмана , они подчеркивают, что в координатах кривизны решить ее не удается, потому что радиальная компонента терпит разрыв.

Я не знаю, где Вы смотрите и зачем, а также что это за «координаты кривизны» и почему Вы хотите именно их. Да меня это и не интересует. Но метрика, которую я привёл, нигде никаких разрывов не имеет. У неё есть только излом на сфере. Засим полагаю читать всё остальное ненужным. Начну читать после того, как Вы мне продемонстрируете, что разрыв метрики есть.

[schekn]

epros в сообщении #879930 писал(а):

У неё есть только излом на сфере

Координаты кривизны - это термин означающий координаты Шварцшильда в стандартной форме ( нужно объяснять?).
У Вас фактически нет массивной сферы, хотя излом есть. Я не вижу корректного решения сшивки и получения полной модели пространства-времени для массивной оболочки.