Почему физики так обращаются с дифференциалами?

[Anton_Peplov]

Даже не знаю, сюда или в ПРР(Ф). Пожалуй, сюда, поскольку речь о математическом аппарате. Но полезны будут ответы как математиков, так и физиков.

Листаю конспекты лекций по физике, читанных мне в одном провинциальном вузе сто лет назад. Тогда я не знал матанализа (у нас его преподавали из рук вон плохо) и все математические ходы лектора глотал не жуя. А вот теперь споткнулся.

Задача. Вывести уравнение для скорости звука в газе в гладкой горизонтальной трубе. Из физических соображений лектор заключает, что

$$ v^2 \approx \frac{\Delta p}{\Delta \rho} $$

где $v$ - скорость звука, $\Delta p$ и $\Delta \rho$ - малые приращения давления и плотности в тонком вертикальном слое газа.

Дальше лектор замечает, что в обычных условиях распространение звука адиабатное: за период звуковой волны теплообмен между участками сжатия и разрежения не успевает произойти. И вот тут случается математическое чудо № 1. Устремляя приращения в предыдущей формуле к нулю, лектор записывает:

$$ v^2 = \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_s $$

где $s$ - постоянная энтропия.
А, мол, если бы распространение звука было бы изотермическим (что не так, но Ньютон думал, что так), то было бы

$$ v^2 = \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_T $$

где $T$ - постоянная температура.

Ни в одном учебнике математики я не встречался с такой трактовкой понятия частной производной. В учебниках сказано, что $\dfrac{\partial p}{\partial \rho}$ - это когда мы фиксируем не какую-то одну переменную, а все переменные, от которых зависит $p$, кроме $\rho$, тем самым превращаем $p$ в функцию одной переменной $p = p(\rho)$, и дифференцируем ее. При фиксировании одной переменной получится частная производная, только если переменных всего две. То есть формула

$$ v^2 = \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_s $$

имеет смысл лишь в случае, когда $p$ есть функция двух переменных $p = p(\rho, s)$, а формула

$$ v^2 = \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_T $$

имеет смысл лишь в случае, когда $p$ есть функция двух переменных $p = p(\rho, T)$. И если $p = p(\rho, T)$ - это по сути термическое уравнение состояния, то $p = p(\rho, s)$ - это нечто неведомое мне и не уверен, что осмысленное.

Но на этом история не заканчивается. Лектор ставит целью вывести скорость звука в идеальном газе. Раз процесс адиабатный, говорит он, то запишем уравнение адиабаты

$$ p V^\gamma =\operatorname{const} $$

Где $p$ - давление, $V$ - объем, $\gamma$ - известная константа.
Найдя дифференциал от обеих частей уравнения адиабаты, имеем

$$ V^\gamma dp + \gamma p V^{\gamma-1} dV = 0 $$

Откуда

$$ dp = -\gamma p \frac{dV}{V} $$

С другой стороны,

$$ d \rho = - \rho\frac{dV}{V} $$

И вот тут случается математическое чудо № 2. Лектор объявляет, что раз мы находили дифференциалы из уравнения адиабаты, то

$$ \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_s = \dfrac{dp}{d \rho} $$

А стало быть,

$$ v^2 = \gamma \frac{p}{\rho} $$

что и требовалось доказать.

Почему отношение дифференциалов функции нескольких переменных приравнивается к частной производной? В учебниках анализа специально подчеркивается, что частная производная - это не дробь, значок $\partial$ в числителе не имеет никакого смысла в отрыве от знаменателя, сокращения "общих множителей числителя и знаменателя" не работают, и т.д.

Возможно, все дело в том, что лектор назвал частной производной то, что ею не является. Он вывел, что

$$ v^2 = \frac{dp}{d\rho} $$

, где дифференциалы находятся при постоянной энтропии. Это уравнение и использовал ниже. А обзывание правой части частной производной только все запутывает. Или нет?

И вообще, имеет ли отношение двух дифференциалов функций нескольких переменных полезный смысл? Да, в случае одной переменной это производная. Но для нескольких переменных это какой-то неведомый мне зверь. Он как-то называется? Где о нем можно почитать?

Вопросы. Можно ли делать так, как делал лектор? Если можно, то согласно каким теоремам матанализа? Если нельзя, то почему в итоге получается верный ответ? Можно предположить, что лектор знал ответ заранее и соорудил простой способ его получить. Но уж слишком хорошо этот способ притворяется правильным, слишком гладко.

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1568554 писал(а):

$p = p(\rho, s)$ - это нечто неведомое мне

Тоже уравнение состояния. Возможные состояния образуют двумерную поверхность в пятимерном пространстве $p, \rho, T, s, \epsilon$ ($\epsilon$ — энергия (плотность)). Любая пара из перечисленных величин может быть использована в качестве координат точки на этой поверхности, то есть состояния. Поэтому на поверхности возможных состояний любая из этих пяти величин может рассматриваться как функция любой пары этих величин. Нижний индекс при производной нужен, чтобы понимать как какая именно функция (какой пары координат состояния) рассматривается при этом дифференциируемая величина.

[Так что всего уравнений состояния 10 штук :-) $f(p, \rho, T) = 0$, $f(p, \rho, s) = 0$, $f(p, \rho, \epsilon) = 0$, $f(p, T, \epsilon) = 0$, $f(p, T, s) = 0$, $f(p, s, \epsilon) = 0$, $f(s, \rho, T) = 0$, $f(\epsilon, \rho, s) = 0$, $f(T, \rho, \epsilon) = 0$, $f(s, T, \epsilon) = 0$.]

[Из сказанного выше должно быть очевидно, почему естественный язык для термодинамики — это язык дифференциальных форм. Частные производные — это координатная возня.]

[Mihr]

Меня поначалу тоже символы частных производных сбивали с толку. Тут надо сообразить, что, поскольку макроскопические параметры газа не являются независимыми (они связаны между собой через уравнение состояния газа, в случае идеального газа это - уравнение Менделеева - Клапейрона), то изменить лишь один параметр, не меняя все остальные, не удастся. Поэтому говорить о частных производных в точности так, как в математике, в термодинамике - бессодержательно. Можно говорить лишь о производной одного параметра по другому в том или ином процессе. Именно символ процесса здесь и "зашифрован" той или иной буквой. Например, буква $S$ изображает адиабатический (изоэнтропийный) процесс: вместо того, чтобы писать $S=\operatorname{const}$, пишут просто $S$ - указывают, что́ в этом процессе остаётся постоянной величиной.

[rascas]

warlock66613 в сообщении #1568559 писал(а):

Возможные состояния образуют двумерную поверхность в пятимерном пространстве $p, \rho, T, s, \epsilon$ ($\epsilon$ — энергия

На мой взгляд энергия здесь лишняя, не надо к переменным добавлять термодинамические потенциалы.

[warlock66613]

rascas в сообщении #1568571 писал(а):

На мой взгляд энергия здесь лишняя

На мой взгляд без энергии здесь никак, всё-таки это очень фундаментальная величина. И я проверил по какому-то тексту математической термодинамики, там именно эти пять переменных (в нелокальном варианте). В принципе я не настаиваю, но я бы трактовал ситуацию с энергией как случайное совпадение одного из потенциалов с одной из координат состояния и различал энергию как потенциал и энергию как координату.

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1568554 писал(а):

И вот тут случается математическое чудо № 1.

С этим все просто. Термодинамические переменные $p,\rho, T$ связаны уравнением состояния $f(p,\rho, T)=0.$ Поэтому можно написать $p(\rho,T).$ Частная производная этой величины по $\rho$ это обычная частная производная, к которой Вы привыкли. Вместо этого можно вместо температуры ввести новую переменную - энтропию. Она будет обратимой, согласно великим термодинамическим принципам, функцией от $\rho$ и $T:\,s=s(\rho,T), \, T=T(\rho,s).$ Тогда $p=p(\rho,T(\rho,s))$ и

$$\frac{\partial p}{\partial\rho}=\frac{\partial p}{\partial\rho}+\frac{\partial p}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial\rho}.$$

Результат, естественно, будет отличаться от предыдущего. При этом обе эти производные стандартные, но уравнение записано в разных переменных. Что бы различать эти ситуации и для сокращения писанины пишут индекс при частной производной.

[GAA]

Anton_Peplov, как-то небрежно у Вас записано в конспекте.
В данном случае независимые переменные — $S$ и $\rho$. Уравнение адиабаты $p(m/\rho)^{\gamma} = p_0(m/\rho_0)^{\gamma}$ или $p = p_0(\rho/\rho_0)^{\gamma}$.
Следовательно $\left(\frac {\partial p} {\partial \rho}\right)_S = \gamma \rho^{\gamma-1} p_0/{\rho_0^{\gamma}}.$ (При вычислении производной формально она математически не частная, так как уравнение состояния не содержит $S.$)
Если производная находится в точке $\rho_0$, то $\left(\frac {\partial p} {\partial \rho}\right)_S = \gamma \frac {p_0} {\rho_0}$.
Вот это значение и подставляется в формулу для скорости (в случае, если теплообменом можно пренебречь). Зачем столько играться с дифференциалами мне не очень понятно. Лучше с формулой для скорости разобраться.

А если более удобная техника нужна, то лучше что-то почитать про «технику якобианов», например в учебнике Ландау и Лифшица, Статистическая физика, часть 1, гл. II, §16 «Соотношения между производными термодинамических величин». (Это в случае, если математика не интересует.)

[Slav-27]

Я бы сказал пост amon так. Пусть имеется какое-нибудь пространство (многообразие), выберем там координаты, например, $x,y,z$. Обозначение $\dfrac{\partial}{\partial x}$ для частной производной по координате $x$ плохое, потому что она зависит не только от выбора $x$-координат, но и от выбора $y$- и $z$-координат. Например, в координатах $x,y+x,z$ частная производная по первой координате другая, хотя сама координата такая же. Поэтому надо указывать не только координату, по которой берём производную, но и все остальные. В текстах про математику в таких случаях обычно переобозначают все координаты ($u:=x, v:=y+x, w:=z$, и пишут $\dfrac{\partial}{\partial u}$). Когда координата имеет физический смысл вроде температуры, переобозначать её неудобно и поэтому просто дописывают остальные.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1568554 писал(а):

Можно ли делать так, как делал лектор? Если можно, то согласно каким теоремам матанализа?

Можно, если хорошо понимаешь смысл дифференциального исчисления функций многих переменных. В частности не сложно понять, что отношение дифференциалов двух функций вдоль кривой, на которой одна функция выражается через другую, будет как раз производной одной функции по другой.

[GAA]

GAA в сообщении #1568585 писал(а):

Следовательно $\left(\frac {\partial p} {\partial \rho}\right)_S = \gamma \rho^{\gamma-1} p_0/{\rho_0^{\gamma}}.$

На всякий случай. Используя уравнение состояния, конечно, из этой формулы получаем $\left(\frac {\partial p} {\partial \rho}\right)_S = \gamma \frac {p}{\rho}.$ Но вот какие значения $p$ и $\rho$ для определения скорости нужно подставлять?

[Anton_Peplov]

О, сколько умных людей откликнулось, сколько разного интересного написали! Спасибо. Сразу на все посты ответить невозможно, буду переваривать понемногу.

amon в сообщении #1568580 писал(а):

Термодинамические переменные $p,\rho, T$ связаны уравнением состояния $f(p,\rho, T)=0.$ Поэтому можно написать $p(\rho,T).$ Частная производная этой величины по $\rho$ это обычная частная производная, к которой Вы привыкли. Вместо этого можно вместо температуры ввести новую переменную - энтропию. Она будет обратимой, согласно великим термодинамическим принципам, функцией от $\rho$ и $T:\,s=s(\rho,T), \, T=T(\rho,s).$ Тогда $p=p(\rho,T(\rho,s))$ и

$$\frac{\partial p}{\partial\rho}=\frac{\partial p}{\partial\rho}+\frac{\partial p}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial\rho}.$$

Буквально так записывать нельзя: левая часть равенства и первое слагаемое правой части есть одна и та же величина $\dfrac{\partial p}{\partial\rho}$, из чего автоматически следовало бы, что второе слагаемое равно нулю.

На случай, если в функции $p=p(\rho,T)$ от $\rho$ зависит еще и $T$, в математике есть понятие полной частной производной $\dfrac {Dp}{D\rho}$. Вот она действительно определяется по правилу дифференцирования сложной функции как

$$\frac{D p}{D \rho}=\frac{\partial p}{\partial\rho}+\frac{\partial p}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial\rho}.$$

Вероятно, в физике не принято называть такие производные полными частными?

-- 01.11.2022, 19:39 --

Padawan в сообщении #1568594 писал(а):

Можно, если хорошо понимаешь смысл дифференциального исчисления функций многих переменных. В частности не сложно понять, что отношение дифференциалов двух функций вдоль кривой, на которой одна функция выражается через другую, будет как раз производной одной функции по другой.

Я, видимо, пока плохо понимаю смысл дифференциального исчисления функций многих переменных. Но хочу понять хорошо. Можем мы оформить процитированное утверждение в виде теоремы с четко прописанными условиями, чтобы я попробовал его доказать?

Вот есть функция $p \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$, и функция $\rho \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$. Есть уравнение $F(p, \rho) = 0$ - это, видимо, "кривая, на которой одна функция выражается через другую". Продифференцировав левую часть уравнения, имеем $dF(dp, d \rho) = 0$. Отсюда можно выразить $dp$ и $d \rho$. Можно ли доказать, что

$$ \dfrac{dp}{d \rho} = \dfrac{\partial p}{\partial \rho} $$

или я как-то не так записал условие?

[lel0lel]

Можно назвать это условной производной, жаль такой термин не прижился. На самом деле это частная производная, просто в других координатах, а затем обычно возвращаются к старым или наиболее удобным координатам. То есть вы можете вычислять скорость роста некой функции по какой-то переменной, при условии, что переменные связаны необходимым набором условий (уравнений). Обычная частная производная это когда набор таких уравнений наиболее простой -- каждая переменная, по которой мы не собираемся дифференцировать суть константа.

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1568608 писал(а):

Буквально так записывать нельзя: левая часть равенства и первое слагаемое правой части есть одна и та же величина

Ровно поэтому и придумали символы $ \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_s $ и $ \left ( \dfrac{\partial p}{\partial \rho} \right )_T .$ Индекс показывает в каких переменных мы работаем.

Anton_Peplov в сообщении #1568554 писал(а):

математическое чудо № 2

А тут чуть хитрее, и надо использовать пассы с физическим бубном. Исходное уравнение состояния, на самом деле, выглядит так:

$$ p V^\gamma =F(s). $$

Это, если разобраться, просто уравнение Менделеева-Клайперона, переписанное в переменных $p,V,s.$ Прежде чем упражняться в математике, не худо бы выяснить, кто такие эти самые $p,V,s.$ Исходно, при записи уравнения состояния, предполагается, что система находится в равновесии и занимает конечный объем. Когда мы рассматриваем акустические волны - какое тут, к черту, равновесие, да и общий объем запросто может быть бесконечным. Кроме того, $p$ и $\rho$ могут иметь разные значения в разных точках, и, вроде как, термодинамике кирдык. В этом месте берем бубен и произносим следующее заклинание. Будем считать, что в маленьком по сравнению с длиной волны, но большом макроскопически объеме успевает установится термодинамическое равновесие. Тогда в этом объёмчике можно использовать термодинамику. Величина этого объёмчика и есть $V$ - величина, взятая от балды. Это все должно работать, если время соударений молекул $\tau$ много меньше, чем время, за которое меняется, скажем, $p$ (про $V$ - чуть ниже). Т.е. надо, что бы наше $V\ll\lambda^3$ и $\lambda/v\gg\tau$

Теперь пошла математика. Продифференцируем уравнение по $\rho.$ Получим

$$ V^\gamma \left(\frac {\partial p} {\partial \rho}\right)_S + \gamma p V^{\gamma-1} \frac {\partial V} {\partial \rho} = 0 $$

Осталось понять, кто такой $\frac {\partial V} {\partial \rho}.$ Для этого вспомним, что в Менделееве-Клайпероне масса внутри объёма сохраняется. Поэтому, нарисовав в начале какой-то объёмчик, дальше мы должны менять его так, что бы внутри него масса газа не менялась. Тогда возникает связь термодинамических переменных

$$\rho=\frac{m}{V},$$

причем $m$ есть константа на веки веков, и дальше все просто. Если все пляски с бубном убрать под ковер, то получится то, что написано у Вас или у GAA.

[GAA]

Anton_Peplov в сообщении #1568608 писал(а):

в математике есть понятие полной частной производной $\dfrac {Dp}{D\rho}$.

В моей деревне нет понятия полной частной производной, но есть замена переменных. В данном случае запись amon можно переписать в виде

$$\frac{\partial p(\rho, S)}{\partial\rho}=\frac{\partial p(\rho, T)}{\partial\rho}+\frac{\partial p(\rho, T)}{\partial T}\frac{\partial T(\rho, S)}{\partial\rho} \qquad (*).$$

Пример.
$\frac{\partial p(\rho, S)}{\partial\rho}$ было найдено в моём предыдущем сообщении. Там $\gamma = C_p/C_v$.

Найдём правую часть. Для идеального газа [в узком смысле] $S-S_0= C_v \ln T +R\nu \ln (m/\rho)$. Следовательно $T(\rho, S) = \exp \left( \frac {S-S_0-R\nu\ln (m/\rho)}{C_v}\right)$.
Используя уравнение состояния $\frac {pm} {\rho T} = \frac {p_0m} {\rho_0 T_0}$, получаем $p(\rho, T) = \frac {p_0 \rho}{\rho_0T_0}T$.
$\frac{\partial p(\rho, T)}{\partial\rho} = p/\rho$;
$\frac{\partial p(\rho, T)}{\partial T}\frac{\partial T(\rho, S)}{\partial\rho} = \frac p {\rho} \frac {R\nu}{C_v}$.
А вся правая часть $\frac p {\rho} \left(1+ \frac {Rv}{C_v}\right) = \frac p {\rho} \frac {C_v+ R\nu}{C_v} = \frac {C_p}{C_v}\frac p {\rho}= \gamma \frac p {\rho}$.
Т.е. левая и правая части (*) равны.

-- Tue 01.11.2022 21:50:52 --

Другая часть моей деревни записывает (*) в виде

$$\left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_S = \left( \frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_T+\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{\rho}\left( \frac{\partial T}{\partial\rho}\right)_S.$$

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1568608 писал(а):

Вот есть функция $p \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$, и функция $\rho \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$. Есть уравнение $F(p, \rho) = 0$ - это, видимо, "кривая, на которой одна функция выражается через другую".

Есть кривая $\Gamma\subset\mathbb R^n$ такая, что на $\Gamma$ выполнено $p=f(\rho)$. Кривая -- это траектория адиабатического процесса в данном случае, насколько я понял. Если в какой-то точке $x\in\Gamma$ взять касательный вектор $h$ к $\Gamma$, то

$$ \frac{dp(x,h)}{d\rho(x,h)}=f'(\rho(x)) $$