Про относительность одновременности

[svv]

zykov в сообщении #1567971 писал(а):

А натикало у них по разному.

Ну, с этим никто не спорит. Просто предлагается совершенно нестандартная (и, на мой взгляд, очень неудачная) терминология для описания этой ситуации. Вот такая:

Встречаются Петя (путешественник) и Дима (домосед). По часам Пети с момента расставания (4-точка $O$) прошёл 1 год, по часам Димы 10 лет. И при встрече Петя говорит Диме: хоть мы пожимаем друг другу руки, но данной 4-точке $A$ на моей мировой линии синхронна (в понимании Ruslan_Sharipov) совершенно другая точка $B$ на твоей мировой линии, которая была по твоим часам 9 лет назад.

И в переводе это значит только, что собственное время по часам Пети в точке $A$ равно собственному времени по часам Димы в точке $B$ и составляет 1 год (для обоих — отсчитывая с момента расставания).


Тут пора опять спросить уважаемого Ruslan_Sharipov: правильно ли я Вас понял? Похоже, что правильно:

Ruslan_Sharipov в сообщении #1567906 писал(а):

Ситуация похожа с той, что имеет место в парадоксе близнецов. Близнец, вернувшийся из космического похода, может перевести стрелки своих часов и свой календарь на время и дату землян. Но это никак не отменит того, что его брат, остававшийся на Земле, постарел сильнее, чем он.

[zykov]

В одной 4-точке все 4 координаты (время и 3 пространственных) должны быть однозначны.
Иначе это просто не система координат.

[svv]

Согласен, это не система координат.

[Cos(x-pi/2)]

Ruslan_Sharipov

Ruslan_Sharipov в сообщении #1567888 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #1567232 писал(а):

Получается, что в якобы "правильной" системе покоя поезда $x,t'$ скорость света не только не равна $c,$ зависит от скорости $v$ относительно исходной ИСО, но и оказывается разной вдоль $\vec{v}$ и в противоположном направлении.

Всё верно. Но это не есть основание считать данную систему $x,t'$ плохой.

Это есть основание считать данную систему непригодной на роль ИСО при изучении задач физики. Ведь в опытах обнаружена неизменность величины скорости света. Этот экспериментальный факт и привёл физиков к общепринятому теперь релятивистскому представлению об ИСО, к преобразованиям Лоренца, связывающим друг с другом равноправные ИСО, к специальной теории относительности (СТО), обосновывающей понятие собственного времени.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1567888 писал(а):

Единственным признаком того, что скорость света одинакова во всех направлениях и во всех координатах, является то, что лучи света идут вдоль образующих световых конусов. Сами световые конусы могут задаваться разными уравнениями в разных системах координат, но геометрически это одни и те же объекты.

В практических задачах в расчётные формулы приходится подставлять не световые конусы, а конкретные величины :) Вы уклонились от прямого ответа на вопрос о соотношении между $\Delta t'$ и $\Delta t$ и о скорости света в вашем примере. Но поскольку Вы пользуетесь понятием собственного времени (видимо, таким же как в СТО, это чувствуется и по вашим комментариям к сюжету с близнецами), то предполагаю, что в вашем примере подразумевается формула из СТО (с известным значением $c,$ - таким же, какое дали бы стандартные измерения в ИСО $x,t):$

$\Delta t' = \Delta t \,\sqrt{1-(v/c)^2}$

Так ли это, решите Вы. И вот задачка из вашего же примера: какую величину расстояния до наблюдателя $B'$ определит наблюдатель $A'$ обычным в реальной практике радарным методом - по времени полёта импульса электромагнитного излучения от $A'$ до цели и (вследствие отражения) обратно.

Как изображать световые конусы, ясно из уже приводившегося рисунка. Там уже показан радарный импульс, испущенный в событии $A';$ он достигает наблюдателя $B'$ в событии $C.$ Осталось изобразить отражённый в событии $C$ импульс (очевидно, его мировая линия будет аналогична $B'D),$ и через скорость света и времена полёта импульса туда и обратно определить расстояние $A'B',$ измеряемое таким образом наблюдателем $A'$ с собственным временем $t'.$ Интересно, какой у Вас ответ получится?

[Ruslan_Sharipov]

Да, Вы правы, радарный метод даёт

$$\Delta t'+\Delta t''=\frac{2L}{c\sqrt{1-(v/c)^2}},$$

что указывает на наличие лоренцевского удлинения расстояния между точками $A$ и $B$. Я был не прав.

[Cos(x-pi/2)]

Ruslan_Sharipov, да, ответ у Вас верный.

(Об эффекте лоренцева изменения длины, если говорить вкратце, стоит подчеркнуть, что его не следует считать кажущимся. Это реальный эффект. Он чисто релятивистский, и поэтому с непривычки представляется нам возникающим "непонятно, по какой причине".

Так же, как странное постоянство $c,$ и как удивительное различие собственных времён по-разному движущихся тел, и как другие релятивистские явления (например, наличие у частицы с массой $m$ энергии покоя $mc^2,$ которая реально проявляется-таки на опыте в реакциях рождения из этой частицы других частиц), эффект лоренцева изменения расстояний или наблюдаемой длины тел не имеет объяснения в терминах явлений из привычной нам нерелятивистской физики. Однако он реален, и поэтому не следует пытаться его "изгнать" какими-либо переделками релятивистской теории, уже многократно проверенной на опыте.)

[Ruslan_Sharipov]

В продолжение темы предлагаю рассмотреть следующую задачу.

Задача. По какому закону должны ускоряться точки поезда Маглев в лабораторной инерциальной системе координат, чтобы в процессе ускорения в его корпусе не возникали бы продольные деформации? Считаем, что поезд имеет длину $L$ и ускоряется в положительном направлении оси $x$-ов.

Решение. Пусть в начальный момент времени задний конец поезда находится в начале координат лабораторной системы координат и пусть $a$ – параметр, определяющий положение некоторой точки в поезде в начальный момент времени $t=0$ до начала ускорения. Тогда $0\leqslant a\leqslant L$. Движение точек поезда в лабораторной системе координат можно описать функцией $x(a,t)$, причём $x(a,0)=a$.

Рассмотрим две близкие точки поезда $A$ и $B$, отвечающие значениям параметра $a$ и $a+\Delta a$. Расстояние между ними в движении будем определять радарным методом, как это было предложено Cos(x-pi/2). Для времени прохождения света от $A$ до $B$ по лабораторным часам получим уравнение

$$\begin{xalignat*}{2} &x(a,t)+c\,\Delta t_1=x(a+\Delta a,t+\Delta t_1).&&\qquad\qquad\eqno{(1)} \end{xalignat*}$$

Для времени прохождения отражённого света обратно от $B$ до $A$ по лабораторным часам получим аналогичное уравнение

$$\begin{xalignat*}{2} &x(a+\Delta a,t+\Delta t_1)-c\,\Delta t_2=x(a,t+\Delta t_1+\Delta t_2).&&\qquad\qquad\eqno{(2)} \end{xalignat*}$$

Уравнения (1) и (2) нелинейны. Но их можно линеаризовать, считая $\Delta a$, $\Delta t_1$ и $\Delta t_2$ бесконечно малыми одного порядка при $\Delta a\to 0$. Это даёт

$$\begin{xalignat*}{3} &c\,\Delta t_1=x'\,\Delta a+\dot x\,\Delta t_1, &&\qquad\qquad x'\,\Delta a-c\,\Delta t_2=\dot x\,\Delta t_2. &&\qquad\qquad\eqno{(3)} \end{xalignat*}$$

Через $x'$ и $\dot x$ обозначены частные производные функции $x(a,t)$ по переменным $a$ и $t$ соответственно. Уравнения (3) легко решаются и дают

$$\begin{xalignat*}{3} &\Delta t_1=\frac{x'\,\Delta a}{c-\dot x}, &&\qquad\qquad \Delta t_2=\frac{x'\,\Delta a}{c+\dot x}. &&\qquad\qquad\eqno{(4)} \end{xalignat*}$$

Сложив величины (4), мы получим полное время радарного ожидания

$$\begin{xalignat*}{2} &\Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2=\frac{2\,c\,x'\,\Delta a}{c^2-\dot x^2}. &&\qquad\qquad\eqno{(5)} \end{xalignat*}$$

Далее следует пересчёт к собственному времени точки $A$:

$$\begin{xalignat*}{2} &\Delta t'=\Delta t\,\sqrt{1-(\dot x/c)^2}. &&\qquad\qquad\eqno{(6)} \end{xalignat*}$$

Из (5) и (6) выводится радарное расстояние между точками $A$ и $B$:

$$\begin{xalignat*}{2} &\Delta a'=\frac{c\,\Delta t'}{2}=\frac{x'\,\Delta a}{\sqrt{1-(\dot x/c)^2}}. &&\qquad\qquad\eqno{(7)} \end{xalignat*}$$

Условие отсутствия продольных деформаций в корпусе поезда Маглев выражается равенством $\Delta a'=\Delta a$. В силу (7) это равенство приводит к дифференциальному уравнению в частных производных на функцию $x(a,t)$:

$$\begin{xalignat*}{2} &(x')^2+\frac{\dot x^2}{c^2}=1. &&\qquad\qquad\eqno{(8)} \end{xalignat*}$$

У уравнения (8) есть тривиальное решение $x(a,t)=a$, означающее, что поезд вообще не начинает двигаться. Другое тривиальное решение $x(a,t)=c\,t$ не имеет физического смысла, поскольку оно не удовлетворяет начальному условию $x(a,0)=a$. Интересно, есть ли у него какие-либо нетривиальные решения, удовлетворяющие начальному условию $x(a,0)=a$, которые можно выписать явно?

[zykov]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1569030 писал(а):

$$\begin{xalignat*}{2} &(x')^2+\frac{\dot x^2}{c^2}=1. &&\qquad\qquad\eqno{(8)} \end{xalignat*}$$

Частные производные не так пишутся. Например так можно $\frac{\partial x}{\partial r}$ или $\frac{\partial x}{\partial t}$.
TeX код:

Используется синтаксис LaTeX

\frac{\partial x}{\partial r}
\frac{\partial x}{\partial t}

[Ruslan_Sharipov]

zykov в сообщении #1569034 писал(а):

Частные производные не так пишутся.

Будь по Вашему:

$$\begin{xalignat*}{2} &\Bigl(\frac{\partial x}{\partial a}\Bigr)^2+\frac{1}{c^2}\,\Bigl(\frac{\partial x}{\partial t}\Bigr)^2=1. &&\qquad\qquad\eqno{(8)} \end{xalignat*}$$

[zykov]

Получается Эллиптическое уравнение.
Здесь динамика, хотя обычно оно в статике возникает.

[Cos(x-pi/2)]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1569030 писал(а):

Интересно, есть ли у него какие-либо нетривиальные решения, удовлетворяющие начальному условию $x(a,0)=a$, которые можно выписать явно?

Хорошее студенческое упражнение. Вот

(ответ :))

но лучше попытайтесь сначала прийти к нему самостоятельно.

[Ruslan_Sharipov]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1569080 писал(а):

Хорошее студенческое упражнение. Вот ответ.

Ага, значит ответ существует. Это замечательно!!!

Cos(x-pi/2) в сообщении #1569080 писал(а):

Но лучше попытайтесь сначала прийти к нему самостоятельно.

Нет, здесь я поступлю как ленивый студент. Воспользуюсь готовым ответом. Только запишу его по другому:

$$\begin{xalignat*}{2} &x(a,t)=-C+\sqrt{(C+a)^2+(c\,t)^2}. &&\qquad\qquad\eqno{(9)} \end{xalignat*}$$

Здесь $C$ – что-то типа константы интегрирования. Выбор

$$\begin{xalignat*}{2} &C=\frac{c^2}{g}=0,968456594\text{\ светового года} &&\qquad\qquad\eqno{(10)} \end{xalignat*}$$

обеспечивает комфортное для пассажиров начальное ускорение $\ddot x(0,0)=g=9,80665\text{\ м/c}^2$. Да здравствуют межзвёздные железные дороги!

[Cos(x-pi/2)]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1569091 писал(а):

Только запишу его по другому

Тогда в $(10)$ должно быть:

$$C+a=\dfrac{c^2}{g}$$

Вот ещё полезное для размышлений упражнение про лоренцево сокращение: можно рассмотреть воображаемый аналог "радарного метода" - с мячиком вместо светового импульса, чтобы не думалось, будто за наблюдение лоренцева изменения длины ответственны именно свойства света. Пусть в системе покоя наблюдателей $A$ и $B,$ т.е. в системе отсчёта $x',t',$ мячик вылетает от $A$ к $B$ и затем отскакивает от $B$ назад к $A$ с известной скоростью $v_0.$ Расчёт (в этом и состоит упражнение, типа "упростить выражение") показывает, что время полёта мячика туда и обратно, умноженное на $v_0,$ даёт для удвоенного расстояния между $A$ и $B$ такой же ответ, как в радарном результате:

$$\dfrac{2L}{\sqrt{1-(v/c)^2}},$$

где $L$ - расстояние между наблюдателями $A$ и $B,$ $v$ - их скорость в системе $x,t.$ При выводе этого результата в случае с мячиком важно учесть релятивистское "сложение" скоростей $v$ и $\pm v_0.$ В случае со светом (вместо мячика) оно даёт постоянство скорости света.

[Ruslan_Sharipov]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1569128 писал(а):

Тогда в (10) должно быть:

$$C+a=\dfrac{c^2}{g}$$

Нет не должно быть. $C$ – это константа. Она не может зависеть от переменной $a$. Я беру ускорение по хвостовой точке поезда. Там оно максимально. Ближе к носу поезда оно меньше. Это логично. Для того, чтобы компенсировать лоренцево удлинение, носовые точки притормаживают.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1569128 писал(а):

Можно рассмотреть воображаемый аналог "радарного метода" - с мячиком вместо светового импульса.

Верю, что можно, но делать не буду. Лень.

[Ruslan_Sharipov]

Пусть, двигаясь по закону (9), поезд Маглев набирает скорость $v$, после чего отключает двигатели. В лабораторной системе координат момент отключения двигателей будет разным для разных точек поезда:

$$\begin{xalignat*}{2} &t_{\text{откл}}=\frac{v\,(C+a)}{c^2\,\sqrt{1-(v/c)^2}}. &&\qquad\qquad\eqno{(11)} \end{xalignat*}$$

Координата $x(a,t)$ в момент отключения даётся формулой

$$\begin{xalignat*}{2} &x_{\text{откл}}=-C+\frac{C+a}{\sqrt{1-(v/c)^2}}. &&\qquad\qquad\eqno{(12)} \end{xalignat*}$$

Выражения (11) и (12) линейны по параметру $a$. Это значит, что точки отключения двигателей формируют прямую линию в плоскости $x,t$. Замечательным образом эта прямая линия параллельна оси $x$-ов лоренцевской системы координат, движущейся со скоростью $v$ относительно лабораторной системы. То есть двигатели поезда отключаются одновременно в этой системе отсчёта. Это добрый знак.

Недобрый знак состоит в том, что пассажиры из разных частей поезда подходят к линии отключения двигателей с разным багажом собственного времени, полученным в ходе ускорения. Разница невелика. При начальном ускорении $g$, длине поезда в 1 км и достигнутой скорости $v=c/2$ разница в собственном времени между носовыми и хвостовыми пассажирами составляет примерно $1,8\cdot 10^{-6}$ секунды. Эта небольшая разница говорит о том, что даже при бездеформационном ускорении в поезде Маглев с учётом всех нюансов парадокса Белла, о которых я не знал на момент написания первого поста в теме, согласованного перехода на новое время всеми пассажирами поезда Маглев не происходит.