Дифференциальное уравнение

[Парджеттер]

Добрый день.
Имею следующий вопрос.
У меня есть упрощенное уравнение некоторого явления

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} = - \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

где $\gamma = const$.

Я так понимаю, такое уравнение не решается аналитически. Вводится предположение $|y|<<1$, тогда, если разложить экспоненту в ряд и отбросить члены высшего порядка

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - (1 - y(\xi) )= - \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

или

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} + y(\xi) = \frac{e^{- \gamma \xi}}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

Можно ли найти здесь частное решение?

[ewert]

Парджеттер писал(а):

Можно ли найти здесь частное решение?

Можно даже общее. Методом вариации произвольных постоянных. Но -- лишь в квадратурах (получающиеся интегралы не берутся).

[Парджеттер]

ewert писал(а):

Можно даже общее. Методом вариации произвольных постоянных.

Ну понятно, что если у меня будет частное, то и общее тоже будет.

ewert писал(а):

(получающиеся интегралы не берутся).

Спасибо. Я так и думал. Но надеялся...

[V.V.]

Ну, Mathematica записывает частное решение в гипергеометрических функциях...

[ewert]

V.V. писал(а):

Ну, Mathematica записывает частное решение в гипергеометрических функциях...

делать ей нечего (поди их ещё эффективно сосчитай, эти функции)

[V.V.]

ewert писал(а):

поди их ещё эффективно сосчитай, эти функции

Про них человечество много знает, можно качественно исследовать...

[Парджеттер]

Так. Еще вот такой вопрос.
Предположим, я как-то получаю что-то похожее на решение вот этой штуковины

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} = - \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

(1)
Допустим численно, а потом интерполирую, чтобы получить функцию какую-нибудь. Обозначу это "решение" $Y(\xi)$.

А у меня есть уравнение, такого вида

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} + \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}= \zeta(y'(\xi), y(\xi), \xi)$$

(2)
где

$$\zeta(y'(\xi), y(\xi), \xi)$$

- какой-то очень страшный крокодил.

Пусть я записываю выражение

$$H = \frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} + \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}} - \zeta(y'(\xi), y(\xi), \xi)$$

и подставляю сюда $Y(\xi)$.
Что я получу при этом? Это будет ли некоторая ошибка между решениями уравнения (1) и уравнения (2)? Или это просто будет какая-то хрень не поддающаяся разумному определению и не имеющая смысла?

[Leonov]

Парджеттер писал(а):

Это будет ли некоторая ошибка между решениями уравнения (1) и уравнения (2)? Или это просто будет какая-то хрень не поддающаяся разумному определению и не имеющая смысла?

Будет лабуда. Надо провести натурные испытания, а не дурью маяться

[Парджеттер]

Leonov писал(а):

Надо провести натурные испытания, а не дурью маяться

В данном случае ни о каких натурных испытаниях не может быть речи.

[Brukvalub]

Да Вы, Парджеттер, просто не обращайте внимания. Видимо, После долгого отсутствия, у Leonovа опять засорился нужник, вследствие чего он был вынужден сегодня гадить в Форуме. С ним и раньше такое случалось, это и понятно, нужду не пересидишь, сами знаете...
Например, в другой теме Leonov сегодня нагадил совершенно для себя стандартно:

Leonov писал(а):

Лучше идите работать. Все математики - тунеядцы делающие вид что они что-то делают.

Делайте выводы...

[ewert]

И тем не менее. Никакой другой хрени, кроме ровно $(- \zeta(Y'(\xi), Y(\xi), \xi))$, получить не удастся. Да и той не удастся -- т.к. сама $Y(\xi)$ никак не фиксирована никакими доп. усл.

[Парджеттер]

ewert писал(а):

И тем не менее. Никакой другой хрени, кроме ровно $(- \zeta(Y'(\xi), Y(\xi), \xi))$, получить не удастся. Да и той не удастся -- т.к. сама $Y(\xi)$ никак не фиксирована никакими доп. усл.

Хмм... так что можно будет сказать о результате? Он не имеет никакого смысла?

[Парджеттер]

p.s. Я просто объясню свою настойчивость. Мне этот прием посоветовал применить один академик РАН, но я не понял несколько, что это дает. Поэтому пытаюсь понять. Он утверждал, что это будет некая мифическая разница между решением уравнения с нулевой правой частью и решением этого усложненного уравнения.

[ewert]

Парджеттер писал(а):

p.s. Я просто объясню свою настойчивость. Мне этот прием посоветовал применить один академик РАН, но я не понял несколько, что это дает. Поэтому пытаюсь понять. Он утверждал, что это будет некая мифическая разница между решением уравнения с нулевой правой частью и решением этого усложненного уравнения.

Я не знаю, что имел в виду академик. По-моему, так эта разница будет воистину мифической, ибо никакого малого (ну или по вкусу большого) параметра, связывающего решение возмущённого уравнения с решением исходного -- нет и не предвидится.

Ну или я его не заметил; тогда извинюсь.

[Парджеттер]

ewert писал(а):

Я не знаю, что имел в виду академик.

Я тоже пребываю в удивлении от этого утверждения, причем уже давно
_________________

ewert, благодарю Вас за консультацию.

p.s. Я так понимаю, раз никто больше мнение свое не высказывает, значит мнение остальных совпадает с Вашим