Дифференциальное уравнение

[e7e5]

Парджеттер писал(а):

Добрый день.
Имею следующий вопрос.
У меня есть упрощенное уравнение некоторого явления
Вводится предположение $|y|<<1$

А это описываемое явление допускает такое предположение?
Если да, то может его по другому можно как-то описать?

[ewert]

e7e5 писал(а):

Парджеттер писал(а):

Добрый день.
Имею следующий вопрос.
У меня есть упрощенное уравнение некоторого явления
Вводится предположение $|y|<<1$

А это описываемое явление допускает такое предположение?
Если да, то может его по другому можно как-то описать?

Любое явление допускает линейные приближения. Т.е. если и не сам игрек мал, то пусть он мало отличается от константы; суть дела от этого не изменится.

[e7e5]

ewert писал(а):

Любое явление допускает линейные приближения.

Физические явления, возможные в природе - вот здесь я не уверен, почему всегда может быть допущено линейное приближение. Нужно понять явление и быть уверенным, что такое можно допустить. В уравнении можно, но мне кажется не факт, что так просто можно уравнение перенести на реальное явление (я), которые быть может нам еще неизвестны...., а не наооборот. На мой взгляд, лучше сделать ревью.... вопроса на предмет другого подхода к явлению.

[zoo]

Парджеттер писал(а):

Добрый день.
Имею следующий вопрос.
У меня есть упрощенное уравнение некоторого явления

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} = - \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

где $\gamma = const$.

давайте с нуля начнем, прежде чем обсуждать методы, что Вам нужно от этого уравнения? как ставится задача? это гамильтонова система или нет? если да то выпишите гамильтониан

[Парджеттер]

zoo писал(а):

давайте с нуля начнем, прежде чем обсуждать методы, что Вам нужно от этого уравнения?

От невозмущенного (1) - по сути дела мало чего. Решение. Если не аналитическое, то численное (оно получено). А прежде всего, меня интересует возмущенное уравнение и возможность использования решения невозмущенного для получения информации о решении возмущенного. То есть меня интересует прежде всего любая информация о решении возмущенного уравнения (2). В принципе, я могу выписать сюда функцию $\zeta$, но мне кажется это мало что даст (она сложная).

zoo писал(а):

как ставится задача?

Найти решение уравнения (2) (или (1)) при граничных условиях
$y(- \infty) = 0$, $y'(-\infty) = 0$.

zoo писал(а):

это гамильтонова система или нет? если да то выпишите гамильтониан

Хмм... ну это не задача механики. А так, я никогда не пытался рассуждать о гамильтоновости в задачах физики плазмы. Не знаю.

Добавлено спустя 55 минут 11 секунд:

Мне что-то уже начинает казаться, что я поместил тему не в тот раздел. Это же не есть стандартная задача.

[V.V.]

А какой порядок будет у решения одноородной задачи, если подставить в "крокодила" из правой части?

[ewert]

Парджеттер писал(а):

Найти решение уравнения (2) (или (1)) при граничных условиях
$y(- \infty) = 0$, $y'(-\infty) = 0$.

Во-первых, полезно напомнить, что имеется в виду под уравнениями (1) и (2).
Во-вторых, условия -- начальные (а если всё же граничные, то что имелось в виду?)
В-третьих: Вы уверены, что условия -- именно на минус бесконечности? Там ведь правая часть линеаризованного уравнения стремится к константе и, следовательно, никакое его решение не может стремиться к нулю при уходе влево. (Правда, распространяется ли это утверждение на исходное уравнение -- так с ходу не знаю.)

[zoo]

Парджеттер писал(а):

zoo писал(а):

давайте с нуля начнем, прежде чем обсуждать методы, что Вам нужно от этого уравнения?

От невозмущенного (1) - по сути дела мало чего. Решение. Если не аналитическое, то численное (оно получено). А прежде всего, меня интересует возмущенное уравнение и возможность использования решения невозмущенного для получения информации о решении возмущенного. То есть меня интересует прежде всего любая информация о решении возмущенного уравнения (2). В принципе, я могу выписать сюда функцию $\zeta$, но мне кажется это мало что даст (она сложная).

zoo писал(а):

как ставится задача?

Найти решение уравнения (2) (или (1)) при граничных условиях
$y(- \infty) = 0$, $y'(-\infty) = 0$.

zoo писал(а):

это гамильтонова система или нет? если да то выпишите гамильтониан

Хмм... ну это не задача механики. А так, я никогда не пытался рассуждать о гамильтоновости в задачах физики плазмы.

Система (1) у Вас гамильтонова
$H=\frac{1}{2}p^2+e^{-y}+\frac{y}{1+e^{-\gamma \xi}}$
$\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p},\quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial y}$
делаем замену (неканоническую)
$u=p,\quad v=\frac{1}{2}p^2+e^{-y}$
Получаем
$\dot v=-\frac{u}{1+e^{-\gamma\xi}}$
$\dot u=v-1/2u^2-\frac{1}{1+e^{-\gamma\xi}}$ (**)
В этих переменных должно быть
$v(-\infty)=1,\quad u(-\infty)=0$ (*)

Теперь непонятно вот что. Вы утверждаете, что есть решение с условием (*)
но отправляя $\xi\to -\infty$ в уравнении (**)
мы видим, что $\dot u(\xi)\to 1$ это странно т.к. одновременно $u(\xi)\to 0$ Бывают ли такие функции? Такого сорта странность имеется и в исходных переменных, я просто для памяти записал некоторые соображения
Это противоречие снимается если $\gamma<0$.

[Парджеттер]

ewert писал(а):

Во-первых, полезно напомнить, что имеется в виду под уравнениями (1) и (2).

Ну это не так уж сложно:

Парджеттер писал(а):

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} = - \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

(1)
<....>

$$\frac{d^2 y(\xi)}{d \xi^2} - e^{-y(\xi)} + \frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}= \zeta(y'(\xi), y(\xi), \xi)$$

(2)
где

$$\zeta(y'(\xi), y(\xi), \xi)$$

- какой-то очень страшный крокодил.

ewert писал(а):

Во-вторых, условия -- начальные (а если всё же граничные, то что имелось в виду?)

Как Вам сказать. С точки зрения математики, конечно, они начальные. Но вообще, эта бесконечность весьма условна. То есть это уравнение вообще справедливо (имеет физический смысл) в весьма малой окрестности нуля. Хотя, конечно, в переменных $\xi$ она не такая уж маленькая (они обезразмерены на радиус Дебая, который весьма мал для данной задачи).

ewert писал(а):

В-третьих: Вы уверены, что условия -- именно на минус бесконечности?

Уверен. Это физические условия.

ewert писал(а):

Там ведь правая часть линеаризованного уравнения стремится к константе и, следовательно, никакое его решение не может стремиться к нулю при уходе влево.

Да, я знаю.
Если Вы обратите внимание, функция

$$\frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

представляет собой "ступеньку", особенно при больших значениях $\gamma$. Поэтому при достаточно больших отрицательных $\xi$ ее можно обнулить и получим однородное уравнение, решение которого записывается в тригонометрических функциях. А там предел при $\xi \to - \infty$ просто не существует. Конечно, при нахождении численного решения за бесконечность принималось какое-то число. Но вообще, все это плохо вяжется.

ewert писал(а):

(Правда, распространяется ли это утверждение на исходное уравнение -- так с ходу не знаю.)

Не должно.

zoo писал(а):

Система (1) у Вас гамильтонова
$H=\frac{1}{2}p^2+e^{-y}+\frac{y}{1+e^{-\gamma \xi}}$
$\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p},\quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial y}$
делаем замену (неканоническую)
$u=p,\quad v=\frac{1}{2}p^2+e^{-y}$
Получаем
$\dot v=-\frac{u}{1+e^{-\gamma\xi}}$
$\dot u=v-1/2u^2-\frac{1}{1+e^{-\gamma\xi}}$ (**)
В этих переменных должно быть
$v(-\infty)=1,\quad u(-\infty)=0$ (*)
[/math]

Это хорошо, что она гамильтонова. Но что это дает в свете сказанного выше?

[zoo]

давайте уточним $\gamma<0$?

[Парджеттер]

zoo писал(а):

давайте уточним $\gamma<0$?

Нет. Тогда ступенька будет в обратную сторону. А должно быть наоборот.

[zoo]

Парджеттер писал(а):

Нет. Тогда ступенька будет в обратную сторону. А должно быть наоборот.

может Вы тогда прокомментируете мой пост, в котором я нашел противоречие в случае $\gamma>0$

[Парджеттер]

zoo писал(а):

Парджеттер писал(а):

Нет. Тогда ступенька будет в обратную сторону. А должно быть наоборот.

может Вы тогда прокомментируете мой пост, в котором я нашел противоречие в случае $\gamma>0$

Я, честно сказать, подумал, что быть может противоречие следует из того, что я говорил выше:

Парджеттер писал(а):

ewert писал(а):

Там ведь правая часть линеаризованного уравнения стремится к константе и, следовательно, никакое его решение не может стремиться к нулю при уходе влево.

Да, я знаю.
Если Вы обратите внимание, функция

$$\frac{1}{1+e^{- \gamma \xi}}$$

представляет собой "ступеньку", особенно при больших значениях $\gamma$. Поэтому при достаточно больших отрицательных $\xi$ ее можно обнулить и получим однородное уравнение, решение которого записывается в тригонометрических функциях. А там предел при $\xi \to - \infty$ просто не существует. Конечно, при нахождении численного решения за бесконечность принималось какое-то число. Но вообще, все это плохо вяжется.

Попросту говоря, задача на упрощенное уравение стоит некорректно.

[zoo]

Ваши аргументы, сами понимаете, неформальные, ступенька получается в результате еще одного предельного перехода $\gamma\to+\infty$ которого может и не быть и никто не знает как он взаимодействует с пределом $t\to-\infty$.

[Парджеттер]

zoo писал(а):

Ваши аргументы, сами понимаете, неформальные, ступенька получается в результате еще одного предельного перехода $\gamma\to+\infty$ которого может и не быть

Я не имел в виду "резкую" ступеньку. Ступенька гладкая. Эта функция именно такой была взята для этого. Так что предельный переход здесь не нужен. А нуль там будет и без всякого предельного перехода. Чисто физически.

zoo писал(а):

и никто не знает как он взаимодействует с пределом $t\to-\infty$.

Вы хотели сказать $\xi \to -\infty$?