Наивные вопросы о СТО

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Энергия покоя и масса системы частиц

В статье Окуня "Понятие массы" читаем:

Окунь писал(а):

Рассмотрим атом водорода, состоящий из протона и электрона. Энергия покоя атома $E_0$ с хорошей точностью может быть представлена
суммой четырех слагаемых:

$$ E_0 = m_p c^2 + m_e c^2 + E_{kin} + U $$

Где $m_p$ масса протона, $m_e$ - масса электрона,$ E_{kin}$ и $U$ - кинетическая и потенциальная энергии электрона.
Потенциальная энергия $U$ обусловлена взаимным притяжением электрических зарядов протона и электрона, которое не дает электрону улететь от протона. Из теории, исчерпывающе проверенной опытом, следует, что

$$ E_{kin} + U = - E_{kin} = - \dfrac{mv_e^2}{2} $$

где $v_e \approx c/137$ - скорость электрона в атоме водорода. Отсюда

$$ m_H = \dfrac{E_0}{c^2} = m_p + m_e - \dfrac{mv_e^2}{2c^2} $$

Таким образом, масса атома водорода на несколько стотысячных долей массы электрона меньше, чем $m_p + m_e$.

Все понятно и логично. В школе учат, что масса ядра меньше суммарной массы нуклонов на энергию связи, ну и в атоме примерно так же, ок.

Но есть деталь, которая не дает мне покоя. В этом выводе существенно, что потенциальная энергия электрона отрицательна. Всегда считал эту отрицательность условной: провели нулевой уровень на бесконечности, вот и получили, что энергия меньше нуля. Провели бы на половине первого боровского радиуса, и энергия была бы положительной. Но разве масса покоя атома может зависеть от того, где мы проводим нулевой уровень потенциальной энергии электрона?

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1638533 писал(а):

Провели бы на половине первого боровского радиуса, и энергия была бы положительной. Но разве масса покоя атома может зависеть от того, где мы проводим нулевой уровень потенциальной энергии электрона?

вы уважаемый для начала определитесь область ваших философских изысканий. Она классичееская (как приближение к описанному ниже квагово-релятивистском случаю когда $(m_p+m_e)c^2>> |U|$ на 9 порядков)$ как у окуня в этой статье, и тогда масса аддитивна и можно прибавить любую константу... Или квантовуо-релятивистскую - где квантовны уровни энергии общей системы протон + электрон(включая все массы покоя)

[Mikhail_K]

Anton_Peplov
В теории относительности (полная) энергия определена точно, а не с точностью до константы - что следует из самой формулы $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.
Наоборот, деление энергии на виды (такие как кинетическая, потенциальная, внутренняя) имеет только приближённый смысл.
Поэтому "стыковка" формул теории относительности с формулами нерелятивистской физики предполагает определённый (и не произвольный) выбор нулевого уровня потенциальной энергии в последних.

И приведённые в статье формулы намекают на то, как именно он должен выбираться. Когда частицы далеко удалены друг от друга и не взаимодействуют, энергия их взаимодействия $U$ должна быть равна нулю. Если бы протон и электрон не взаимодействовали (были свободными частицами), энергия системы из электрона и протона была бы равна сумме их энергий, в силу аддитивности энергии, см. (5.3); но это и означало бы, что в процитированной формуле $U=0$.

[Утундрий]

Anton_Peplov в сообщении #1638533 писал(а):

В этом выводе

Это не вывод, а "объяснение на трёх пальцах". Энергия — нулевая компонента 4-вектора и нельзя прибавить к ней константу, не изменив самого вектора.

[Anton_Peplov]

Спасибо за ответы. В целом понял, в чем дело, но главное - понял, что моего "напальцевого" понимания СТО не хватает, чтобы корректно переходить от релятивистской динамики к классической и обратно.

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1638553 писал(а):

но главное - понял, что моего "напальцевого" понимания СТО не хватает, чтобы корректно переходить от релятивистской динамики к классической и обратно.

По-моему вопрос доступен для "напальцевого" объяснения и понимания. В систему влили некую энергию $E$ . Значит её масса увеличилась на $E/c^2$ . (Здесь число $E$ может быть как положительным, так и отрицательным).

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1638533 писал(а):

В этом выводе существенно, что потенциальная энергия электрона отрицательна.

В этом выводе используется теорема вириала для кулоновского потенциала ($2T=-U$). Она предполагает, что потенциал - однородная функция степени -1. Для этого необходимо положить константу равной нулю, поскольку функция $\frac{1}{r}+C$ не является однородной.