Наивные вопросы о СТО

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Энергия покоя и масса системы частиц

В статье Окуня "Понятие массы" читаем:

Окунь писал(а):

Рассмотрим атом водорода, состоящий из протона и электрона. Энергия покоя атома $E_0$ с хорошей точностью может быть представлена
суммой четырех слагаемых:

$$ E_0 = m_p c^2 + m_e c^2 + E_{kin} + U $$

Где $m_p$ масса протона, $m_e$ - масса электрона,$ E_{kin}$ и $U$ - кинетическая и потенциальная энергии электрона.
Потенциальная энергия $U$ обусловлена взаимным притяжением электрических зарядов протона и электрона, которое не дает электрону улететь от протона. Из теории, исчерпывающе проверенной опытом, следует, что

$$ E_{kin} + U = - E_{kin} = - \dfrac{mv_e^2}{2} $$

где $v_e \approx c/137$ - скорость электрона в атоме водорода. Отсюда

$$ m_H = \dfrac{E_0}{c^2} = m_p + m_e - \dfrac{mv_e^2}{2c^2} $$

Таким образом, масса атома водорода на несколько стотысячных долей массы электрона меньше, чем $m_p + m_e$.

Все понятно и логично. В школе учат, что масса ядра меньше суммарной массы нуклонов на энергию связи, ну и в атоме примерно так же, ок.

Но есть деталь, которая не дает мне покоя. В этом выводе существенно, что потенциальная энергия электрона отрицательна. Всегда считал эту отрицательность условной: провели нулевой уровень на бесконечности, вот и получили, что энергия меньше нуля. Провели бы на половине первого боровского радиуса, и энергия была бы положительной. Но разве масса покоя атома может зависеть от того, где мы проводим нулевой уровень потенциальной энергии электрона?

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1638533 писал(а):

Провели бы на половине первого боровского радиуса, и энергия была бы положительной. Но разве масса покоя атома может зависеть от того, где мы проводим нулевой уровень потенциальной энергии электрона?

вы уважаемый для начала определитесь область ваших философских изысканий. Она классичееская (как приближение к описанному ниже квагово-релятивистском случаю когда $(m_p+m_e)c^2>> |U|$ на 9 порядков)$ как у окуня в этой статье, и тогда масса аддитивна и можно прибавить любую константу... Или квантовуо-релятивистскую - где квантовны уровни энергии общей системы протон + электрон(включая все массы покоя)

[Mikhail_K]

Anton_Peplov
В теории относительности (полная) энергия определена точно, а не с точностью до константы - что следует из самой формулы $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.
Наоборот, деление энергии на виды (такие как кинетическая, потенциальная, внутренняя) имеет только приближённый смысл.
Поэтому "стыковка" формул теории относительности с формулами нерелятивистской физики предполагает определённый (и не произвольный) выбор нулевого уровня потенциальной энергии в последних.

И приведённые в статье формулы намекают на то, как именно он должен выбираться. Когда частицы далеко удалены друг от друга и не взаимодействуют, энергия их взаимодействия $U$ должна быть равна нулю. Если бы протон и электрон не взаимодействовали (были свободными частицами), энергия системы из электрона и протона была бы равна сумме их энергий, в силу аддитивности энергии, см. (5.3); но это и означало бы, что в процитированной формуле $U=0$.

[Утундрий]

Anton_Peplov в сообщении #1638533 писал(а):

В этом выводе

Это не вывод, а "объяснение на трёх пальцах". Энергия — нулевая компонента 4-вектора и нельзя прибавить к ней константу, не изменив самого вектора.

[Anton_Peplov]

Спасибо за ответы. В целом понял, в чем дело, но главное - понял, что моего "напальцевого" понимания СТО не хватает, чтобы корректно переходить от релятивистской динамики к классической и обратно.

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1638553 писал(а):

но главное - понял, что моего "напальцевого" понимания СТО не хватает, чтобы корректно переходить от релятивистской динамики к классической и обратно.

По-моему вопрос доступен для "напальцевого" объяснения и понимания. В систему влили некую энергию $E$ . Значит её масса увеличилась на $E/c^2$ . (Здесь число $E$ может быть как положительным, так и отрицательным).

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1638533 писал(а):

В этом выводе существенно, что потенциальная энергия электрона отрицательна.

В этом выводе используется теорема вириала для кулоновского потенциала ($2T=-U$). Она предполагает, что потенциал - однородная функция степени -1. Для этого необходимо положить константу равной нулю, поскольку функция $\frac{1}{r}+C$ не является однородной.

[sergey zhukov]

Вопрос № 3. Причинность и световые конусы

В книжке Пола Нахина “Тайны машины времени” есть такое утверждение:

Цитата:

Может ли наблюдатель предсказать свое будущее на основе совершенного знания своего прошлого? Возможно, вы удивитесь, но ответ – нет. Наличие совершенного знания о своем прошлом световом конусе не включает в себя знание всего прошлого, поэтому если вы попытаетесь предсказать свое собственное будущее (скажем, через минуту), в вашем текущем месте могут быть влияния (скажем, через 59 секунд), которые появятся в будущем, о которых вы, по определению, не можете знать.

Разве это так и есть? Если взять плоское пространство-время и рассмотреть весь конус прошлого для некоторого события А, то разве на основании этих данных нельзя построить все остальное пространство-время? Понятно, что любое событие вне конуса A (например, В) зависит, в частности, от событий вне конуса А (красная область). Но как-то кажется, что так или иначе бесконечное основание конуса А (во временной бесконечности в прошлом) то же самое, что и бесконечное основание конуса В, и поэтому ничего нового принципиально нового (такого, что не следовало бы из конуса А) в красной области не может быть. Разве бесконечно удаленная гиперповерхность в прошлом не является поверхностью Коши?

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1724894 писал(а):

Но как-то кажется, что так или иначе бесконечное основание конуса А (во временной бесконечности в прошлом) то же самое, что и бесконечное основание конуса В, и поэтому ничего нового принципиально нового (такого, что не следовало бы из конуса А) в красной области не может быть.

Неверно предположение о бесконечности прошлого - возраст Вселенной конечен и потому вблизи линии отсечения внизу (момент времени 0) будут красные области, причинно не связанные с белой областью, а значит и влияющие неизвестным нам (которые А) образом на точку B.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1724894 писал(а):

Разве это так и есть?

IMHO, это очевидно. И "бесконечное основание светового конуса" тут совершенно не при чем.

1. Пусть от Тау Кита рептилоиды послали сейчас сигнал к Земле. "Сейчас" - в ИСО Земли.
2. Мы сейчас об этом не знаем - событие отправки сигнала рептилоидами лежит вне нашего конуса будущего и вне нашего конуса прошлого.
3. Через 12 лет сигнал дойдет до Земли (если был испущен). Это означает, что событие отправки сигнала рептилоидами через 12 лет будет лежать в нашем конусе прошлого.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1724899 писал(а):

IMHO, это очевидно. И "бесконечное основание светового конуса" тут совершенно не при чем.

1. Пусть от Тау Кита рептилоиды послали сейчас сигнал к Земле. "Сейчас" - в ИСО Земли.

Ну если наш конус бесконечен назад, то и рептилоиды (ну или то из чего они потом возникли) туда попали, ещё до того как они послали сигнал нам. Зная их состояние в далёком прошлом, мы вычислили, что сигнал послан ими в нашем "сейчас" и будет принят нами в нашем будущем.

[sergey zhukov]

Dmitriy40
Да, если все в конечном прошлом имело начало, то ясно, что конус нашего прошлого конечен, его основание тоже конечно и представляет собой только "часть начала".

wrest
Да, рептилиды не появились из воздуха в некоторой точке пространства-времени. Они имеют "корни" в нашем конусе прошлого.

Похоже, неправильно ставить вопрос о бесконечно удаленной гиперповерхности начальных условий и вообще бесконечном конусе. Если же конус конечен, то все понятно.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1724904 писал(а):

Зная их состояние в далёком прошлом,

А мы не можем знать их состояние в далёком прошлом - всегда будет момент, когда часть их пространства-времени находится вне нашего конуса прошлого и мы его знать не можем, хотя на них оно вполне себе влияет. Или по картинке: при любом сколь угодно низком горизонтальном сечении $t=\operatorname{const}$ слева будет часть красной области вне белого конуса. Предельный переход что мол в бесконечности конусы сливаются - не слишком правомерен, размер красной области слева не стремится к нулю.

sergey zhukov в сообщении #1724906 писал(а):

Похоже, неправильно ставить вопрос о бесконечно удаленной гиперповерхности начальных условий и вообще бесконечном конусе. Если же конус конечен, то все понятно.

Именно.

-- добавлено через 3 минуты --

sergey zhukov в сообщении #1724906 писал(а):

wrest
Да, рептилиды не появились из воздуха в некоторой точке пространства-времени. Они имеют "корни" в нашем конусе прошлого.

Проблема что не все их "корни" в нашем конусе прошлого и значит возможна ситуация с непредсказуемым нами их поведением.

[sergey zhukov]

Dmitriy40
Просто в СТО кроме пространственноподобной и времениподобной бесконечностей есть еще светоподобная бесконечность. Мне показалось, что, может, тут как раз дело в каких-то начальных условиях на светоподобной бесконечности, а не только на пространственноподобной?

А, впрочем, ясно уже, что даже если и так, то светоподобная бесконечность в конус моего прошлого даже на бесконечности не входит.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1724909 писал(а):

А, впрочем, ясно уже, что даже если и так, то светоподобная бесконечность в конус моего прошлого даже на бесконечности не входит.

Рассуждая про бесконечности полезно вспомнить, что в классическом матанализе бесконечности - это предельные переходы или в лучшем случае асимптотики, и что не любые два предельных перехода коммутируют. Тут присутствуют две такие некоммутирующие бесконечности: бесконечное пространство и бесконечное время.