Простой философский вопрос

[avlanov]

Доброго здоровья всем участникам!

Простой философский вопрос: допустимо ли аналитическое (алгебраическое) доказательство в геометрии?
Почему спрашиваю? Возникла мысль, что если алгебра не нуждается в геометрических аксиомах, то почему бы не попробовать её - алгебру - использовать для доказательства тех же постулатов Евклида? По крайней мере, пятый постулат таким образом доказать как бы можно (оперируя линейными уравнениями). Вопрос, корректно ли это?

[zykov]

avlanov в сообщении #1558913 писал(а):

что если алгебра не нуждается в геометрических аксиомах,

Алгебра не нуждается. А вот связь между алгеброй и геометрией нуждается.
(А без этой связи, алгебра - просто алгебра, никакой геометрии в ней нет.)

[Mikhail_K]

avlanov в сообщении #1558913 писал(а):

Почему спрашиваю? Возникла мысль, что если алгебра не нуждается в геометрических аксиомах, то почему бы не попробовать её - алгебру - использовать для доказательства тех же постулатов Евклида? По крайней мере, пятый постулат таким образом доказать как бы можно (оперируя линейными уравнениями). Вопрос, корректно ли это?

Конечно, это вполне естественная идея. Но тогда геометрию надо строить на других основаниях - например, на аксиомах Вейля, погружённых в теорию множеств. Откуда-то ведь надо уравнение прямой взять, перед тем как системы уравнений решать. Например, см.
Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: книга для учителя
В частности, при этом подходе прямая не является базовым неопределяемым понятием, а вот вектор - является. Признаюсь, что самому мне такой подход очень симпатичен и я был бы рад построению школьного курса геометрии на основе аксиом Вейля. Но есть у него и недостаток: становится довольно сложно (но, конечно, возможно) ввести понятие меры угла. Ещё надо сказать, что к аксиомам Вейля относится группа аксиом скалярного произведения, с первого взгляда неочевидных и непрозрачных для тех, кто с геометрией вообще не знаком. Но это решаемая проблема, придать аксиомам скалярного произведения наглядный смысл в принципе возможно. Намёк на то, как это можно сделать, имеется в книге
Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы

[Slav-27]

avlanov в сообщении #1558913 писал(а):

Простой философский вопрос: допустимо ли аналитическое (алгебраическое) доказательство в геометрии?
Почему спрашиваю? Возникла мысль, что если алгебра не нуждается в геометрических аксиомах, то почему бы не попробовать её - алгебру - использовать для доказательства тех же постулатов Евклида? По крайней мере, пятый постулат таким образом доказать как бы можно (оперируя линейными уравнениями). Вопрос, корректно ли это?

Да, определённо допустимо. Одним из первых этим начал заниматься Рене Декарт. Первое время некоторые были недовольны и говорили, что алгебраические рассуждения превращают геометрию из искусства в ремесло, однако вскоре такие методы были широко приняты и сейчас все ими пользуются. Доказать аксиомы евклидовой геометрии методами линейной алгебры можно (правильно это называется "построить модель"), более того, это тривиальное упражнение, -- хотя и длинное, если всё делать аккуратно. Более того, линейно-алгебраические основания геометрии проще, чем аксиомы Евклида. Проблема там в том, что для этого нужно понятие вещественного числа, а оно хотя тоже не сильно сложное, но строгое определение получилось придумать только в 19 веке.

[vpb]

avlanov в сообщении #1558913 писал(а):

По крайней мере, пятый постулат таким образом доказать как бы можно (оперируя линейными уравнениями). Вопрос, корректно ли это?

Нет, некорректно. Вузовская аналитическая геометрия сама уже опирается на пятый постулат. А для геометрии Лобачевского аналитическая геометрия --- другая (впрочем, в некотором смысле выражающаяся через обычную).

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1558977 писал(а):

Вузовская аналитическая геометрия сама уже опирается на пятый постулат.

Если строить геометрию на основе аксиоматики Вейля (т.е. аксиом конечномерного евклидова аффинного пространства) - то нет. Даже есть школьные учебники, в которых это реализовано, не говоря о вузовских. Да, там возникают некоторые трудности с определением меры угла и с трактовкой аксиом скалярного произведения, но они решаемые.

"Элементарная геометрия", основанная на постулатах Евклида - кусок математики, чуждый всей современной математике. Основывать на нём вузовскую аналитическую геометрию - можно, но это не кажется красивой идеей.

[avlanov]

zykov в сообщении #1558960 писал(а):

avlanov в сообщении #1558913 писал(а):

что если алгебра не нуждается в геометрических аксиомах,

Алгебра не нуждается. А вот связь между алгеброй и геометрией нуждается.
(А без этой связи, алгебра - просто алгебра, никакой геометрии в ней нет.)

Вот этот момент интересен - что конкретно имеется в виду? Соответствие понятий алгебры и геометрии? Например, понятие "параллельности" это чисто геометрическое понятие. Применение термина "параллельности" к линейным уравнениям, скорее, умозрительно-условное. Параллельными могут быть прямые - атрибут геометрии. А постоянство разности значений двух линейный функций, независимое от значения аргумента (то, что в геометрии приводит к "явлению" параллельности) это уже математическое описание требуемых в данном случае ограничений, накладываемых на параметры линейных функций.

Это наводит на мысль, что конкретно 5-й постулат потому и нужен для геометрии, что нет доказательства того, что аналитически описанное выше условие равенства разности значений двух линейных уравнений соответствует в геометрии "явлению" параллельности. Утрируя, нет описания связи математики с "визуальностью", мы просто принимаем это как данность (полагаю, объяснять, что очевидность это не аргумент, не требуется). Я правильно вас понял?

-- 01.07.2022, 09:45 --

Slav-27 в сообщении #1558972 писал(а):

Доказать аксиомы евклидовой геометрии методами линейной алгебры можно (правильно это называется "построить модель"), более того, это тривиальное упражнение, -- хотя и длинное, если всё делать аккуратно. Более того, линейно-алгебраические основания геометрии проще, чем аксиомы Евклида. Проблема там в том, что для этого нужно понятие вещественного числа, а оно хотя тоже не сильно сложное, но строгое определение получилось придумать только в 19 веке.

Насколько я понимаю, ваше мнение противоречит мнению zykov, утверждающего о необходимости "затвердить" связь между аналитической и начертательной геометрией (постом выше я объяснил свое видение этого момента).

Но если правы вы, то тогда в чём дело? Почему от геометрических аксиом не отказываются (хотя бы от части их)? Почему бы не заменить пресловутый 5-й постулат неким "начальным геометрическим утверждением", имеющим чисто математическое объяснение?

[Mikhail_K]

avlanov в сообщении #1558996 писал(а):

тогда в чём дело? Почему от геометрических аксиом не отказываются (хотя бы от части их)? Почему бы не заменить пресловутый 5-й постулат неким "начальным геометрическим утверждением", имеющим чисто математическое объяснение?

Так именно так и делают. Нигде за пределами школьной геометрии и, возможно, чуть-чуть на первом курсе вузовской геометрии, Вы не встретите ни единого упоминания постулатов Евклида. "Элементарная геометрия", построенная на постулатах Евклида - тупиковый раздел математики, сохраняющийся на плаву только благодаря своей педагогической ценности. А по-хорошему, геометрию строят на других основаниях - на аксиомах конечномерного евклидова аффинного пространства (известных также как аксиомы Вейля).

avlanov в сообщении #1558996 писал(а):

Вот этот момент интересен - что конкретно имеется в виду? Соответствие понятий алгебры и геометрии?

Ну, чтобы доказывать постулаты Евклида алгебраическими средствами, надо, например, знать уравнение прямой. Но откуда его взять? Вот и требуются основания геометрии, в рамках которых это уравнение выводилось бы.

[avlanov]

vpb в сообщении #1558977 писал(а):

Вузовская аналитическая геометрия сама уже опирается на пятый постулат.

Вообще-то, страннно.
Мне думается, это от того, что в аналитической геометрии нет разделения на собственно геометрию и её математическое описание (другой вариант - есть, но не осознается). Примерно, как "математическая физика" математически описывает физическую реальность, но при этом не является самой этой реальностью. Так же и аналитическая геометрия в этом смысле это раздел математики, описывающий порядок в протяженностях, но не являющейся собственно протяженностью. Отсюда, кстати, вытекает и неопределенность самой геометтрии - что это такое. При этом, помимо математического описания, в геометрии присутствует и чисто геометрический способ - через геометрические же понятия и геометрические (протяженные) объекты. Например, теорема Пифагора имеет как аналитическое доказательство, так и чисто геометрическое ("визуальное"). В виду этого для геометрического описания (доказательства) геометрические аксиомы таки требуются. Но для аналитического они не должны быть нужны в принципе. Но в общем смысле относить геометрию к разделу математики по меньшей мере некорректно.

Аналитическое "доказательство" 5-го постулата, если не ошибаюсь, сводится к двум вещам:
1) математическое описание параллельности прямых в геометрии как условие постоянства разности значений 2-х линейных функций не зависимо от аргумента;
2) доказательство равенства (совпадения) всех линейных функций, удовлетворяющих первому условию, и имеющих одно общее значение ("проходящих через точку" в геометрии).

Второе условие нареканий не вызывает. Но первое требует, т.с. "аксиомы соответствия" - что данное математическое ограничение действительно соответствует параллельности прямых в геометрии...

-- 01.07.2022, 11:58 --

Mikhail_K в сообщении #1559005 писал(а):

...по-хорошему, геометрию строят на других основаниях - на аксиомах конечномерного евклидова аффинного пространства (известных также как аксиомы Вейля).

Ну, положа руку на сердце, геометрия на основе аксиом Вейля, это всё таки раздел математики - и сами аксиомы чисто математические, и все остальное. Геометрией она называется лишь по причине применяемости к геометрии, и в виду использования геометрических же понятий - как аналитическая геометрия является разделом математики. Можно сказать прямая, можно сказать линейная функция (ей соответствующая). Первое - из геометрии, второе - из математики.

Цитата:

Ну, чтобы доказывать постулаты Евклида алгебраическими средствами, надо, например, знать уравнение прямой. Но откуда его взять? Вот и требуются основания геометрии, в рамках которых это уравнение выводилось бы.

Видимо, это то, о чём я писал выше своими словами - требуется доказать, что уравнение первого порядка в геометрии "выглядит" именно прямой. Так?

[vpb]

Mikhail_K в сообщении #1558992 писал(а):

Элементарная геометрия", основанная на постулатах Евклида - кусок математики, чуждый всей современной математике.

Нет, уважаемый. Это вы чужды тем областям современной математики, которые не чужды элементарной геометрии по Евклиду.

-- 02.07.2022, 14:59 --

Mikhail_K в сообщении #1559005 писал(а):

"Элементарная геометрия", построенная на постулатах Евклида - тупиковый раздел математики,

А позвольте полюбопытствовать, какие книжки по этой самой элементарной геометрии вы читали (кроме Болтянского) ? Ибо для суждений, как говорил проф.Преображенский, "космического масштаба", типа объявления чего-то тупиковым, ненужным разделом (кажется, он еще что-то говорил на этот счет, но я запамятовал, что именно), нужны основания.

[Pphantom]

vpb, во-первых, не надо переходить на личности, тем более при отсутствии какого-либо повода для этого.

Во-вторых, мнение о несуществовании чего-либо, безусловно, может быть ошибочным, но его весьма сложно доказать. Куда проще (да, это намек) привести конкретный контрпример - область современной математики, удовлетворяющую требуемому условию.

[vpb]

Pphantom в сообщении #1559107 писал(а):

привести конкретный контрпример

Геометрия Лобачевского, например.

[Pphantom]

vpb в сообщении #1559109 писал(а):

Геометрия Лобачевского, например.

А она является областью современной математики?

[vpb]

Является.

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1559105 писал(а):

Нет, уважаемый. Это вы чужды тем областям современной математики, которые не чужды элементарной геометрии по Евклиду.

Всякое может быть. Но я почему-то практически уверен в том, что если и есть в современной математике "живые" разделы, близкие элементарной геометрии на основе постулатов Евклида (или, если угодно, аксиом Гильберта) - то это что-то очень узкое и далёкое от мейнстрима.

vpb в сообщении #1559105 писал(а):

А позвольте полюбопытствовать, какие книжки по этой самой элементарной геометрии вы читали (кроме Болтянского) ?

Знаком лишь с несколькими книгами для школьников и их учителей. В самом существовании элементарной геометрии как "живого" раздела математики я несколько сомневаюсь.

vpb в сообщении #1559109 писал(а):

Геометрия Лобачевского, например.

Ну, этот контрпример меня не убеждает. Как здесь уже было сказано, есть сомнения в том, что геометрия Лобачевского является актуальным разделом современной математики. Но даже если и так - плоскость/пространство Лобачевского можно вводить и изучать как пример риманова пространства, а не на основе евклидовых постулатов с отрицанием пятого постулата. Как ни крути, линейная алгебра и дифференциальная геометрия дают гораздо более мощный и удобный язык для любых геометрических исследований, чем постулаты Евклида.